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- 2021-06-24 发布
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1.1.2
分类计数原理
与
分步计数原理
(
二
)
1
、分类加法计数原理
:完成一件事,有
n
类办法,在第
1
类办法中有
m
1
种不同的方法
,
在第
2
类办法中有
m
2
种不同的方法
……
在第
n
类办法中
有
m
n
种不同的方法
.
那么 完成这件事共有 种不同的方法
.
2
、分步乘法计数原理
:
完成一件事,需要分成
n
个步骤,做第
1
步有
m
1
种不同的方法
,
做第
2
步有
m
2
种不同的方法
……
,做第
n
步有
m
n
种不同的方法
.
那么完成这件事共有 种不同的方法
.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的
共同点:
不同点:
分类加法计数原理与分类有关,
分步乘法计数原理与分步有关。
回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事,共有
n
类办法,关键词“
分类
”
区别
1
完成一件事,共分
n
个步骤,关键词“
分步
”
区别
2
区别
3
每类办法都能独立地完成这件事情,它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果,
只须一种方法就可完成这件事
。
每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,
只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
。
各类办法是
互相独立
的。
各步之间是
互相
关联的。
即:
类类独立,步步关联
。
例
1.
五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,报名方法的种数为多少?又他们争夺这四项比赛的冠军,获得冠军的可能性有多少种?
解:(
1
)
5
名学生中任一名均可报其中的任一项,因此每个学生都有
4
种报名方法,
5
名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为
4×4×4×4×4=
种
.
(
2
)每个项目只有一个冠军,每一名学生都可能获得其中的一项获军,因此每个项目获冠军的可能性有
5
种故有
n
=5×
5
×
5
×
5
=
种
.
例
2.
给程序模块命名,需要用
3
个字符,其中首个字符要求用字母
A~G
或
U~Z
,后两个要求用数字
1
~
9
,问最多可以给多少个程序命名?
分析:
要给一个程序模块命名,可以分三个步骤:第一步,选首字符;第二步,先中间字符;第三步,选末位字符。
解:
首字符共有
7+6
=
13
种不同的选法,
答:
最多可以给
1053
个程序命名。
中间字符和末位字符各有
9
种不同的选法
根据分步计数原理,最多可以有
13×9×9
=
1053
种不同的选法
例
3.
核糖核酸(
RNA
)分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个
RNA
分子
是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称
为碱基的化学成分所占据,总共有4个不同的碱基,分别用
A
,
C
,
G
,
U
表
示,在一个
RNA
分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位
置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类
RNA
分子由
100
个碱基组
成,那么能有多少种不同的
RNA
分子?
U
U
U
A
A
A
C
C
C
G
G
G
分析
:
用
100
个位置表示由
100
个碱基组成的长链,每个位置都可以从
A
、
C
、
G
、
U
中任选一个来占据。
第
1
位
第
2
位
第
3
位
第
100
位
4
种
4
种
4
种
4
种
……
解:
100
个碱基组成的长链共有
100
个位置,在每个位置中,从
A
、
C
、
G
、
U
中任选一个来填入,每个位置有
4
种填充方法。根据分步计数原理,共有
种不同的
RNA
分子
.
例
4.
电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有
0
或
1
两种数字的计数法,即二进制,为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成,问
(
1
)一个字节(
8
位)最多可以表示多少个不同的字符?
(
2
)计算机汉字国标码(
GB
码)包含了
6763
个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?
第
1
位
第
2
位
第
3
位
第
8
位
2
种
2
种
2
种
2
种
……
如
00000000
,
10000000
,
11111111.
开始
子模块
1
18
条执行路径
子模块
3
28
条执行路径
子模块
2
45
条执行路径
子模块
5
43
条执行路径
子模块
4
38
条执行路径
结束
A
例
5.
计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路(即程序从开始到结束的线),以便知道需要提供多少个测试数据。一般的,一个程序模块又许多子模块组
成,它的一个具有许多执行路径的程序模块。问:这个程序模块有多少条执行路径?另外为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数,你能帮助程序员设计一个测试方式,
以减少测试次数吗?
开始
子模块
1
18
条执行路径
子模块
3
28
条执行路径
子模块
2
45
条执行路径
子模块
5
43
条执行路径
子模块
4
38
条执行路径
结束
A
分析:
整个模块的任意一条路径都分两步完成
:第
1
步是从开始执行到
A
点;第
2
步是从
A
点执行到结束。而第步可由子模块
1
或子模块
2
或子模块
3
来完成;第二步可由子模块
4
或子模块
5
来完成。因此,分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。
开始
子模块
1
18
条执行路径
子模块
3
28
条执行路径
子模块
2
45
条执行路径
子模块
5
43
条执行路径
子模块
4
38
条执行路径
结束
A
再测试各个模块之间的信息交流是否正常,需要测试的次数为:
3*2=6
。
如果每个子模块都正常工作,并且各个子模块之间的信息交流也正常,那么整个程序模块就正常。
这样,测试整个
模块的次数就变为
172+6=178
(次)
2
)在实际测试中,程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱,即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样,他可以先分别单独测试
5
个模块,以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为:
18+45+28+38+43=172
。
例
6.
随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现,那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照
?
课堂练习
1
、乘积
展开后共有几项?
2
、某商场有
6
个门,如果某人从其中的任意一个门进入商场,并且要求从其他的门出去,共有多少种不同的进出商场的方式?
3
.
如图
,
该电路
,
从
A
到
B
共有多少条不同的线路可通电?
A
B
课堂练习
所以
,
根据分类原理
,
从
A
到
B
共有
N = 3 + 1 + 4 = 8
条不同的线路可通电。
在解题有时既要分类又要分步。
解
:
从总体上看由
A
到
B
的通电线路可分三类
,
第一类
, m
1
= 3
条
第二类
, m
2
= 1
条
第三类
, m
3
= 2×2 = 4,
条