【数学】2020届一轮复习人教版（理）第8章第3讲圆的方程学案 10页

第3讲　圆的方程 ‎[考纲解读]　1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)‎ ‎2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2020年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.‎ ‎1．圆的定义及方程 ‎2．点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：‎ 设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离 ‎(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；‎ ‎(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；‎ ‎(3)d0，解得m<－2或m>2.‎ ‎(2)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．‎ 答案　x2＋(y－3)2＝2‎ 解析　设圆心C的坐标为(a，b)，‎ 则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．‎ 半径r＝|AB|＝ ＝.‎ 所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.‎ ‎(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　(－1,1)‎ 解析　因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－10)．‎ 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.‎ 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.‎ 由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①‎ 又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②‎ ‎1＋9－D＋3E＋F＝0.③‎ 解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.‎ 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.‎ 条件探究1　把举例说明1三点坐标改为“(1,3)，(4,2)，(1，－7)”‎ ‎，求此圆的方程．‎ 解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则 解得 ‎∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.‎ 条件探究2　把举例说明2条件“在两坐标轴上的四个截距的和为2”改为“在x轴截得的弦长等于2”，其他条件不变，求此圆的方程．‎ 解　设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，‎ 令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，①‎ 设x1，x2是方程①的两个根，‎ 则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.‎ 由|x1－x2|＝2得D2－4F＝52，②‎ 又因为圆过(4,2)，(－1,3)，所以 即 解②③④组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－54，E＝－260，F＝716.‎ 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－54x－260y＋716＝0.‎ 求圆的方程的两种方法 ‎(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．见巩固迁移1.‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．见举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)‎ A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0‎ C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0‎ 答案　B 解析　设该圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．‎ 由题意得 所以 解得b＝5，r＝5，所以该圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0.‎ ‎2．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)‎ A．(x－)2＋(y－1)2＝4‎ B．(x－)2＋(y－)2＝4‎ C．x2＋(y－2)2＝4‎ D．(x－1)2＋(y－)2＝4‎ 答案　D 解析　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.‎ 题型 　与圆有关的最值问题 角度1　建立函数关系求最值 ‎1．(2018·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．‎ 答案　12‎ 解析　＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，‎ ‎∵P(x，y)在圆上，‎ ‎∴·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，‎ ‎∵2≤y≤4，∴·≤12.‎ 角度2　借助几何性质求最值(多维探究)‎ ‎2．(2018·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．‎ 答案　　－ 解析　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．‎ 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.‎ 如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ 结论探究1　若举例说明2中条件不变，求y－x的最大值与最小值．‎ 解　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.‎ 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ 结论探究2　若举例说明2中条件不变，求x2＋y2的最大值与最小值．‎ 解　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．‎ 又圆心到原点的距离为 ＝2，‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.‎ 求解与圆有关的最值问题的方法 ‎(1)借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．‎ ‎①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．见举例说明2.‎ ‎②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．见举例说明2结论探究1.‎ ‎③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．见举例说明2结论探究2.‎ ‎(2)建立函数关系式求最值 根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值．见举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 答案　A 解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2‎ ‎＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.‎ ‎2．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．‎ 答案　4‎ 解析　圆心O到直线x－2y＋5＝0的距离为＝，‎ 则||min＝.‎ ‎∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即·＝0，‎ ‎∴·＝(＋)·＝2＝||2－||2≥5－1＝4.‎ 题型 　与圆有关的轨迹问题 ‎1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．‎ 解　解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.‎ 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，‎ 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，‎ 化简得x2＋y2－2x－3＝0.‎ 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．‎ 解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．‎ 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．‎ ‎2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．‎ 解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.‎ 因为平行四边形的对角线互相平分，‎ 所以＝，＝，‎ 整理得 又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.‎ 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.‎ ‎1．掌握“三方法”‎ ‎2．明确“五步骤”‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2018·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ 解　(1)设AP的中点为M(x，y)，‎ 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)，‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.‎ 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎