2020届高考理科数学二轮专题复习课件：高考大题 满分规范（五） 25页

高考大题 • 满分规范 ( 五 ) 解析几何类解答题 【典型例题】 (12 分 )(2019· 全国卷 Ⅰ) 已知抛物线 C:y 2 =3x 的焦 点为 F, 斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A,B, 与 x 轴的 交点为 P. (1) 若 |AF|+|BF|=4, 求 l 的方程 . (2) 若 　　　求 |AB|. 【题目拆解】 本题可拆解成以下几个小问题 : (1) 设出直线 l 方程为 :y= x+m, 求出 m 值 , 即得直线的方程 . (2)① 通过方程的思想及向量运算求出 A,B 两点的纵坐标的值 ; ② 利用弦长公式求得 |AB|. 【 标准答案 】 【解析】 (1) 设直线 l 方程为 :y= x+m, ………… ① A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 由抛物线焦半径公式可知 :|AF|+|BF|=x 1 +x 2 + =4, 所以 x 1 +x 2 = , …………………………………… ② 联立 得 :9x 2 +(12m-12)x+4m 2 =0, …… ③ 则 Δ=(12m-12) 2 -144m 2 >0, 所以 m< , 所以 x 1 +x 2 = 解得 :m=- , 所以直线 l 的方程为 :y= x- , 即 :12x-8y-7=0. …………………………………………………… ④ (2) 设 P(t,0), 则可设直线 l 方程为 :x= y+t, … ⑤ 联立 得 :y 2 -2y-3t=0, …………… ⑥ 则 Δ=4+12t>0, 所以 t>- , 所以 y 1 +y 2 =2,y 1 y 2 =-3t. 因为 所以 y 1 =-3y 2 , 所以 y 2 =-1,y 1 =3, ………………… ⑦ 所以 y 1 y 2 =-3, 则 |AB|= …………………………………………………… ⑧ 【阅卷现场】 第 (1) 问 第 (2) 问 得 分 点 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 1 1 1 3 1 1 2 2 6 分 6 分 第 (1) 问踩点得分说明 ① 待定系数法设出直线的方程得 1 分 ; ② 根据抛物线的定义求出 x 1 +x 2 = 得 1 分 ; ③ 准确消元得到关于 x 的一元二次方程得 1 分 ; ④ 求得最终结果得 3 分 ; 第 (2) 问踩点得分说明 ⑤ 设直线 l 方程为 :x= y+t 得 1 分 ; ⑥ 得到关于 y 的一元二次方程得 1 分 ; ⑦ 求出 y 1 ,y 2 值得 2 分 ; ⑧ 求出 |AB| 得 2 分 . 高考状元 · 满分心得 1. 解决圆锥曲线解答题的关注点 掌握圆锥曲线的定义及其几何性质是关键 , 利用根与系数的关系 , 运用整体思想求解直线与圆锥曲线的位置关系是难点 . 2. 待定系数法求方程 利用待定系数法求直线或圆锥曲线的方程必不可缺 , 若已知直线上一点 , 通常设点斜式方程 , 若已知直线的斜率 , 往往设直线的斜截式方程 , 如本例 (1). 设直线的点斜式方程时 , 应注意考查直线的斜率不存在的情况 , 这一点易忽视 . 3. 解析几何与其他知识的交汇问题的处理技巧 解析几何问题时常与平面向量、不等式、函数与方程等内容密切联系 , 应设法将题设条件转化到根与系数的关系上来 , 利用根与系数的关系 , 采用整体法解题 , 达到设而不求的目的 . 4. 解决轨迹问题的常用方法 轨迹问题也是常考的一种题型 , 注意定义法、直接法、相关点法在求解中的灵活运用 . 跟踪演练 · 感悟体验 1.(2019· 天津高考 ) 设椭圆 (a>b>0) 的左焦 点为 F, 上顶点为 B. 已知椭圆的短轴长为 4, 离心率为 . (1) 求椭圆的方程 . (2) 设点 P 在椭圆上 , 且异于椭圆的上、下顶点 , 点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点 , 点 N 在 y 轴的负半轴上 . 若 |ON|=|OF|(O 为原点 ), 且 OP⊥MN, 求直线 PB 的斜率 . 【解析】 (1) 设椭圆的半焦距为 c, 依题意 ,2b=4, 又 a 2 =b 2 +c 2 , 可得 a= ,b=2,c=1. 所以 , 椭圆的方程为 (2) 由题意 , 设 P(x P ,y P )(x P ≠0),M(x M ,0). 设直线 PB 的斜率为 k(k≠0), 又 B(0,2), 则直线 PB 的方程为 y=kx+2, 与椭圆方程联立 整理得 (4+5k 2 )x 2 +20kx=0, 可得 x P =- , 代入 y=kx+2 得 y P = , 进而直线 OP 的斜率 在 y=kx+2 中 , 令 y=0, 得 x M =- . 由题意得 N(0,-1), 所以直线 MN 的斜率为 - . 由 OP⊥MN, 得 化简得 k 2 = , 从而 k=± . 所以直线 PB 的斜率为 或 - . 2.(2019· 贵阳模拟 ) 过点 M(2,0) 的直线 l 与抛物线 C:y 2 =2px(p>0) 交于 A,B 两点 ,O 为坐标原点 ,OA⊥OB. (1) 求 p 的值 . (2) 若 l 与坐标轴不平行 , 且 A 关于 x 轴的对称点为 D, 求证 : 直线 BD 恒过定点 . 【解析】 (1) 当直线 l ⊥x 轴时 , 可得 A(2,2 ),B(2, -2 ), 由 OA⊥OB 得 4-4p=0, 所以 p=1, 当直线 l 与 x 轴不垂直时 , 设 l 的方程为 y=k(x-2), 代入 y 2 =2px 得 ky 2 -2py-4pk=0,(k≠0) 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ), 则 y 1 y 2 =-4p,x 1 x 2 = =4, 由 OA⊥OB 得 x 1 x 2 +y 1 y 2 =0, 即 4-4p=0, 所以 p=1, 综上所述 p=1. (2) 由 (1) 知抛物线方程为 y 2 =2x, 由于 A,D 关于 x 轴对称 , 故 D 的坐标为 (x 1 ,-y 1 ), 所以直线 BD 的方程为 y+y 1 = 即 2x+(y 1 -y 2 )y-y 1 y 2 =0, 又 y 1 y 2 =-4p=-4, 所以 2x+(y 1 -y 2 )y+4=0, 所以直线 BD 恒过点 (-2,0).