山西省长治市第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 18页

www.ks5u.com ‎2018—2019学年第二学期高一期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，故选择A.‎ 利用诱导公式求三角函数值，解题步骤是“负化正，大化小，小化锐，再求值”.‎ 考点：三角函数诱导公式的应用.‎ ‎2. 已知 D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 得，故选A。‎ 或。‎ ‎3.若向量与向量为共线向量，且，则向量的坐标为( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出向量的坐标为，根据两个向量共线,写出要求向量的坐标的表示形式,根据要求向量的模长是,利用向量的模长公式,写出关于的方程,解方程即可.‎ ‎【详解】根据题意，设向量的坐标为，‎ 由向量与向量为共线向量得，‎ 即，所以，‎ 因为，即有，‎ 解得，‎ 时，，‎ 时，‎ 所以向量的坐标为或。‎ 故本题正确答案为C。‎ ‎【点睛】本题考查两个向量的共线关系,考查向量的模长的运算,本题是一个基础题.‎ ‎4.使得成立，且的个数是（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的值为,可得:,进而用表示出，根据可得，据此可以确定的取值，问题就可迎刃而解了.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 的值为：，共4个.‎ 故选B ‎【点睛】本题是关于正切函数的题目，关键是掌握正切函数的性质.‎ ‎5.若，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出的值．‎ ‎【详解】 ‎ 等号两边平方得， ‎ 求得 ‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式，属于基本知识的考查.‎ ‎6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为根据三角函数的平移变换求解即可.‎ ‎【详解】因为 ‎ 所以的图象向右平移个单位，即可得到 故选C ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，属于基础题.‎ ‎7.函数是奇函数，则的一个值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得，结合余弦函数的性质得，取求解即可.‎ ‎【详解】 的定义域为 ‎ ，则 当时，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了奇函数的性质和余弦函数的性质，属于基础题.‎ ‎8.化简得到（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过平方把和,化为平方式,根据与的大小关系,去掉根号,然后求出结果.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以A选项是正确的 ‎【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角5所在象限，以及它的正弦、余弦值的大小和符号是本题解答的关键，这是学生的易错点．‎ ‎9.当时，函数的（ ）‎ A. 最大值是1，最小值是 B. 最大值是1，最小值是 C. 最大值是2，最小值是 D. 最大值是2，最小值是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为，根据自变量的范围求出括号内角的范围,根据正弦曲线得到函数的值域.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ 当时，‎ 即 故选D ‎【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及正弦函数的最值，属于基础题.‎ ‎10.为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的（ ）‎ A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 因为和分别是和的单位向量 所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量 所以的方向与的角平分线重合 即射线过的内心 故选B ‎【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.‎ ‎11.若函数在一个周期内图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由周期求出，再根据，求得的值，即可得到的值.‎ ‎【详解】由函数图像 可得 ‎ ‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了正弦函数图象的性质以及平面向量的数量积公式，关键是从函数图象得出四分一周期的值，从而求出.‎ ‎12.定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，‎ 是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°,即0°＜α＜90°-β，从而有0＜sinα＜sin（90°-β）=cosβ＜1，由f（x）满足f（2-x）=f（x）函数为偶函数，即f（-x）=f（x），可得f（2-x）=f（x），即函数的周期为2，因为函数在[-3，-2]上是减函数，则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，根据周期性可知在0，1]单调递增，从而可判断.‎ ‎【详解】∵α，β是钝角三角形的两个锐角，可得0°＜α+β＜90°，‎ 即0°＜α＜90°-β，‎ ‎∴0＜sinα＜sin（90°-β）=cosβ＜1，‎ ‎∵f（x）满足f（2-x）=f（x），∴函数关于x=1对称 ‎∵函数为偶函数，即f（-x）=f（x），‎ ‎∴f（2-x）=f（x），即函数周期为2，‎ ‎∴函数在在[-3，-2]上是减函数，‎ 则根据偶函数的性质可得在[2，3]单调递增，‎ 根据周期性可知在0，1]单调递增，‎ ‎∴f（sinα）＜f（cosβ）‎ 故选D.‎ 点评：本题主要考查了函数的奇偶性、单调性等综合应用，解决的关键一是由f（2-x）=f（x），偶函数满足的f（-x）=f（x），可得函数的周期，关键二是要熟练掌握偶函数对称区间上的单调性相反的性质，关键三是要α，β是钝角三角形的两个锐角可得0°＜α+β＜90°，即0°＜α＜90°-β．本题是综合性较好的试题．‎ 考点：偶函数；函数单调性性质．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.函数的定义域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正切函数的定义域求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解得:‎ 故函数 定义域为 ‎【点睛】本题考查了正切函数的定义域，属于基础题.‎ ‎14.已知，则在方向上的投影为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据投影的定义求解即可.‎ ‎【详解】由数量积定义可知在方向上的投影为，则 ‎ ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了投影和数量积公式，掌握在方向上的投影为是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15.已知，，且与的夹角为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知条件代入向量的模长公式计算可得 ‎【详解】 ，，的夹角为 则有 则 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查的是平面向量数量积的运算以及向量模的计算，解题时可以采用平方的思想，属于基础题 ‎16.如图放置的边长为的正方形的顶点A,D分别在轴、轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,根据三角形的边角关系求得，，利用平面向量的数量积公式以及正弦函数的最值求解即可.‎ 详解】设 由于，故 ‎ 又因为，，所以 ‎ ‎， 则 同理可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，的最大值为2.‎ 故本题的正确答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及正弦型函数的最值，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共70分.）‎ ‎17.已知 ‎（1）若,求实数的值；‎ ‎（2）若,求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用向量共线的坐标关系求解即可；‎ ‎（2）分别写出的坐标，利用，即可得出实数的值.‎ ‎【详解】（1）‎ 又 ‎ ‎（2） 由题知 且 ，‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量共线和垂直的坐标关系，属于基础题.‎ ‎18.已知，‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式将题设条件展开求解即可；‎ ‎（2）利用（1）中 求出，得到，结合两角和的正切公式即可求解.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以 .‎ ‎（2）， 所以， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角的三角函数的关系和同角三角函数的关系，解题过程中用到了方程的思想，属于基础知识的考查.‎ ‎19.设平面内的向量，，，其中为坐标原点，点是直线上的一个动点，且 ‎（1）求的坐标；‎ ‎（2）求的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意,可设,再由点P在直线OM上,得到与共线,由此共线条件得到之间的关系,代入,解出的值；‎ ‎（2）由（1）可知求出的坐标及,再由夹角的向量表示公式求出的余弦值 ‎【详解】（1）设.‎ ‎∵点在直线上，‎ ‎∴与共线，而，‎ ‎∴，即，有. ‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即. ‎ 又， ∴，‎ 所以，，此时. ‎ ‎（2）.‎ 于是. ‎ ‎【点睛】本题考查了向量共线的条件,向量的坐标运算,数量积的坐标表示,‎ 向量的模的求法及利用数量积计算夹角的余弦,本题综合性强,运算量大,谨慎计算是正确解题的关键 ‎20.已知电流与时间的关系式为.‎ ‎（1）如图是在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；‎ ‎（2）如果在任意一段秒（包含秒）的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？‎ ‎【答案】（1）；（2）943.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知中函数的图象，我们可以分析出函数的最大值，最小值，周期及特殊点坐标，根据函数的解析式中参数与函数性质的关系，易得到函数的解析式．‎ ‎（2）由已知中如果在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，则函数的周期，则易求出满足条件的ω值．‎ ‎【详解】（1）由图可知，‎ 设， ‎ 则周期， ‎ ‎ ‎ 时，,即， 而 故 ‎ ‎（2）依题意，周期即 ‎ 又故最小正周期 ‎【点睛】本题主要考查了由图象求的解析式以及最值问题，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求（x）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）,的增区间是．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期．（2）利用正弦函数的单调区间，再求的单调性．（3）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方．‎ 试题解析：（1）因为－1＝－1‎ ‎，故最小正周期为 得 故的增区间是．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 于是，当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值－1．‎ 考点：（1）求三角函数的周期和单调区间；（2）求三角函数在闭区间的最值．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的实数的值或范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）为奇函数；（2）存在，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数的定义证明即可；‎ ‎（2）根据为奇函数，可得到函数在上的单调性，且，原不等式可化为，结合在上的单调性得到，令，原不等式可转化为时，是否存在,使得对任意的均成立，将分离出来利用基本不等式即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）定义域关于原点对称，又 为奇函数. ‎ ‎（2）为奇函数，． ‎ ‎，‎ ‎，‎ 即． ‎ 在上是增函数，且为奇函数，‎ 在上也为增函数．‎ ‎，即，‎ 即，‎ ‎．‎ 令，‎ 则满足条件的应该使不等式对任意的均成立． ‎ 设，‎ 则或或，解之得，或，‎ 故满足条件的存在，取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的证明以及不等式的恒成立问题，若奇函数在处有定义，则，这一点容易被忽略，对于不等式的恒成立问题，一般是构造函数，利用函数的最值来解决问题.‎ ‎ ‎