2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十三圆锥曲线中求值与证明问题苏教版 7页

核心素养测评五十三 圆锥曲线中求值与证明问题 一、选择题(每小题5分,共20分) ‎ ‎1.已知抛物线y2=2px(p>0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若=λ,则实数λ为　 (　　)‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【解析】选C.把点A代入抛物线方程,得2=2p×,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,则B(-1,0).‎ 设M,则=,=.‎ 由=λ,得,解得λ=2或λ=1(舍去).‎ ‎2.已知F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,点A的坐标为,则∠F1AF2的平分线l所在直线的斜率为 (　　)‎ A.-2 B.-1 C.- D.-‎ ‎【解析】选A.因为A,可知A在椭圆上,又F1,F2是椭圆+=1的左右焦点,F1(-1,0),所以AF1⊥x轴,所以|AF1|=,|AF2|=,所以点F2(1,0)关于∠F1AF2的平分线l - 7 -‎ 对称的点F在线段AF1的延长线上,又|AF|=|AF2|=,|FF1|=1,所以F(-1,-1),线段FF2的中点,∠F1AF2的平分线l的斜率k==-2.‎ ‎3.已知双曲线C:x2-4y2=1的左焦点恰好在抛物线D:y2=2px(p≠0)的准线上,过点P(1,2)作两直线PA,PB分别与抛物线D交于A,B两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,则点A,B的纵坐标之和为 (　　)‎ A.2 B.4 C.-4 D.±4‎ ‎【解析】选C.C的左焦点F(-1,0),D的准线x=-,故p=2.运用极端化思想处理,当两直线PA,PB重合时,A,B的坐标均为(1,-2),点A,B的纵坐标之和为-4.‎ 一般性证明:设A,B,则kPA+kPB=0⇒+=0⇒+=0⇒y1+y2=-4.‎ ‎4.(多选)(2020·德州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则有 (　　)‎ A.渐近线方程为y=±x B.渐近线方程为y=±x C.∠MAN=60°‎ - 7 -‎ D.∠MAN=120°‎ ‎【解析】选BC.由题意可得e==,可设c=2t,a=t,t>0,‎ 则b==t,A(t,0),‎ 圆A的圆心为(t,0),半径r为t,‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,‎ 圆心A到渐近线的距离为d==t,‎ 弦长|MN|=2=2=t=b,‎ 可得三角形MNA为等边三角形,‎ 即有∠MAN=60°.‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点,满足=3,若S△OAB=,则p=________. ‎ ‎【解析】可得F,因为=3,‎ 所以yA=-3yB,因为A,B,F共线,‎ 所以=,‎ - 7 -‎ ‎=,解得|yB|=p,‎ 又S△OAB=××|yA-yB|=p|yB|‎ ‎=p2=,所以p=2.‎ 答案:2‎ ‎6.(2020·杭州模拟)若双曲线mx2-y2=1的渐近线为y=±2x,则m=________;焦点F到渐近线的距离为________. ‎ ‎【解析】由双曲线的方程知m>0,‎ 由mx2-y2=0得y=±x,‎ 因为双曲线的渐近线方程为y=±2x,‎ 所以=2,得m=4,‎ 双曲线的焦点F的坐标为,‎ 焦点F到渐近线的距离为:=1.‎ 答案:4　1‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎7.已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线y=x-1与C相交所得的弦长为8. ‎ ‎(1)求p的值.‎ ‎(2)过原点O的直线l与抛物线C交于M点,与直线x=-1交于H点,过点H作y轴的垂线交抛物线C于N点,求证:直线MN过定点.‎ ‎【解析】(1)由,消x可得y2-2py-2p=0,‎ - 7 -‎ 所以y1+y2=2p,y1y2=-2p,‎ 所以弦长为·‎ ‎=·=8,‎ 解得p=2或p=-4(舍去),所以p=2.‎ ‎(2)由(1)可得y2=4x,‎ 设M,‎ 所以直线OM的方程为y=x,当x=-1时,yH=-,‎ 代入抛物线方程y2=4x,可得xN=,‎ 所以N,‎ ‎①当≠,即y0≠±2时,‎ 直线MN的斜率k==,‎ - 7 -‎ 直线MN的方程为y-y0=,‎ 整理可得y=(x-1),‎ 故直线MN过定点(1,0).‎ ‎②当=,‎ 即y0=±2时,直线MN的方程为x=1,‎ 必过点(1,0),综上,直线MN过定点(1,0).‎ ‎8.已知抛物线E:y2=4x,圆C:(x-3)2+y2=1. ‎ ‎(1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l的方程.‎ ‎(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)由题知抛物线E的焦点为F(1,0),‎ 当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切,所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,‎ 设直线斜率为k,则所求的直线方程为y=k(x-1),‎ 即kx-y-k=0,‎ 所以圆心(3,0)到直线l的距离为d==,‎ 当直线l与圆相切时,有d=1⇒=1⇒k=±,所以所求的切线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).‎ ‎(2)由(1)知,不妨设直线l:y=(x-1),交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,‎ - 7 -‎ 联立方程组⇒x2-14x+1=0,‎ 所以x1+x2=14,x1·x2=1,假设存在点M(t,0)使∠AMO=∠BMO,则kAM+kBM=0.而kAM=,kBM=,‎ 所以kAM+kBM=+‎ ‎==0‎ ‎⇒y1x2+y2x1-(y1+y2)t=0‎ ‎⇒2x1x2-(x2+x1)-(x1+x2-2)t=0,‎ 即2-14-(14-2)t=0⇒t=-1,‎ 故存在点M(-1,0)符合条件.‎ 当直线l:y=-(x-1)时由对称性易知点M(-1,0)也符合条件.‎ 综合可知在(1)的条件下,存在点M(-1,0)使∠AMO=∠BMO.‎ - 7 -‎