2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第8章 第6节 双曲线 7页

‎2010~2014年高考真题备选题库 第8章 平面解析几何 第6节 双曲线 ‎1．（2014天津，5分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A　由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.‎ 答案：A ‎2．（2014北京，5分）设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．‎ 解析：∵与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线方程为－x2＝k.将点(2,2)代入，得k＝－3，‎ ‎∴双曲线C的方程为－＝1，‎ 其渐近线方程为－＝0，即y＝±2x.‎ 答案：－＝1　y＝±2x ‎3．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）已知F是双曲线C：x2－my2＝‎3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A. B．3‎ C.m D．‎‎3m 解析：双曲线方程为－＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝.选A.‎ 答案：A ‎3．（2014山东，5分）已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)‎ A．x±y＝0 B.x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ 解析：椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝± x，即x±y＝0.‎ 答案：A ‎4．（2014广东，5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)‎ A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等 解析：由00，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 解析：选B　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝‎2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－‎4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－‎4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－‎4a2＝9ab，即92－－4＝0，则＝0，解得＝，则双曲线的离心率e＝＝.‎ 答案：B ‎6．（2014湖北，5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)‎ A. B. C．3 D．2‎ 解析：假定焦点在x轴上，点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，双曲线的方程为－＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e1，e2，由|PF1|－|PF2|＝‎2m，|PF1|＋|PF2|＝‎2a，得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，在△PF‎1F2中，‎4c2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)cos⇒a2＋‎3m2‎＝‎4c2⇒2＋32＝4，则≥2⇒＋＝＋≤，当且仅当a＝‎3m时，等号成立，故选A.‎ 答案：A ‎7．（2013广东，5分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ A.－＝1　　　　　　　　　　　　B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c＝3，a＝2，b＝ ＝ ＝，故双曲线的方程为－＝1.‎ 答案：B ‎8．（2013湖北，5分）已知0＜θ＜，则双曲线C1：－＝1与C2：－＝1的(　　)‎ A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 解析：本题考查三角函数、双曲线等知识，意在考查考生对双曲线知识的掌握情况，会求实轴、虚轴、焦距和离心率的值，掌握三角函数的重要公式是求解本题的基础．双曲线C1的离心率e1＝＝ ＝ ＝，双曲线C2的离心率e2＝＝ ＝ ＝ ‎＝ ＝，所以e1＝e2，而双曲线C1的实轴长为‎2a1＝2cos θ，虚轴长为2b1＝2sin θ，焦距为‎2c1＝2 ＝2，双曲线C2的实轴长为‎2a2＝2sin θ，虚轴长为2b2＝2sin θsin θ，焦距为‎2c2＝2 ＝2 ＝2tan θ，所以A，B，C均不对，故选D.‎ 答案：D ‎9．（2013福建，5分）双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为＝.‎ 答案：C ‎10．（2013浙江，5分）如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)①，点A的坐标为(x0，y0)．‎ 由题意得a2＋b2＝3＝c2②，则|OA|＝c＝，‎ 所以解得x＝，y＝，又点A在双曲线上，代入①得，b2－a2＝a2b2③，联立②③解得a＝，所以e＝＝，故选D.‎ 答案：D ‎11．（2013北京，5分）若双曲线－＝1 的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A. y＝±2x B．y＝±x C. y＝±x D. y＝±x 解析：本题考查双曲线的方程和简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力．在双曲线中离心率e＝＝ ＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.‎ 答案：B　‎ ‎12．（2013陕西，5分）双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．‎ 解析：本题考查双曲线的几何性质和方程思想的具体应用．‎ ⇒＝⇒m＝9.‎ 答案：9‎ ‎13．（2013江苏，5分）双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________．‎ 解析：本题考查双曲线的几何性质，意在考查学生的运算能力．‎ 令－＝0，解得y＝±x.‎ 答案：y＝±x ‎14．（2013湖南，5分）设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝‎6a，且△PF‎1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．‎ 解析：本小题主要考查双曲线的定义及其几何性质和余弦定理，考查数形结合思想与运算求解能力，属中档题．依题意及双曲线的对称性，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝‎2a，又|PF1|＋|PF2|＝‎6a，求得|PF1|＝‎4a，|PF2|＝‎2a.而|F‎1F2|＝‎2c，所以在△PF‎1F2中由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F‎1F2|2－2|PF1|·|F‎1F2|·cos∠PF‎1F2，所以‎4a2＝‎16a2＋‎4c2－2·‎4a·‎2c·cos 30°，即‎3a2－‎2ac＋c2＝0，所以a－c＝0，故双曲线C的离心率为.‎ 答案： ‎15．（2011山东，5分）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1.‎ 答案：A ‎16．（2011安徽，5分）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 解析：双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2,‎2a＝4.‎ 答案：C ‎17．（2012新课标全国，5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8‎ 解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.‎ 答案：C ‎18．（2012浙江，5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|＝|F‎1F2|，则C的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：不妨设c＝1，则直线PQ：y＝bx＋b，两渐近线为y＝±x，‎ 因此有交点P(－，)，Q(，)，设PQ的中点为N，则点N的坐标为(，)，‎ 因为线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，|MF2|＝|F‎1F2|，所以点M的坐标为(3,0)，‎ 因此有kMN＝＝－，所以3－‎4a2＝b2＝1－a2，‎ 所以a2＝，所以e＝.‎ 答案：B ‎19．（2011湖南，5分）设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析：双曲线方程－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.‎ 答案：C ‎20．（2012湖北，5分）如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A‎1A2为直径的圆内切于菱形F1B‎1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 ‎(1)双曲线的离心率e＝________；‎ ‎(2)菱形F1B‎1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.‎ 解析：由题意可得a＝bc，∴a4－‎3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.‎ 设sin θ＝，cos θ＝，‎ ＝＝＝＝e2－＝.‎ 答案：　 ‎21．（2011辽宁，5分）已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．‎ 解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，‎2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.‎ 答案：2‎