高中数学人教a版选修4-4同步辅导与检测：第一讲 一 平面直角坐标系 33页

一　平面直角坐标系 1 ． 体会直角坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中刻画点的位置的方法和坐标法的解题步骤 ． 2 ．会运用坐标法解决实际问题与几何问题． 3 ．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况及作用． 1 ． 数轴 它使直线上任一点 P 都可以由唯一的实数 x 确定． 2 ． 平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任一点 P 都可以由唯一的实数对 ( x ， y ) 确定． 练习 3 ． 定义 设 P ( x ， y ) 是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，点 P ( x ， y ) 对应 P ′( x ′ ， y ′) 称为平面直角坐标系中的伸缩变换． 练习 B 到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ____________ ． 答案： y ＝ x 或 y ＝－ x 平面内有一固定线段 AB ， | AB | ＝ 4 ，动点 P 满足 | PA | － | PB | ＝ 3 ， O 为 AB 中点，求 | OP | 的最小值． 解析： 以 AB 的中点 O 为原点， AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 如下图，∵ |PA|-|PB|=3 ＜ |AB| ， 则 点 P 的 轨迹是以点 A 、 B 为焦点的双曲线的右支上． 由题意知 2 c ＝ 4 ，∴ c ＝ 2. 把方程 y ＝ sin x 变为 y ′ ＝ sin 4 x ′ 的伸缩变换公式为 ________ ． 把圆 X 2 ＋ Y 2 ＝ 16 沿 x 轴方向均匀压缩为椭圆 x 2 ＋ ＝ 1 ，则坐标变换公式是 ________ ． 分析： 利用平面直角坐标系中的坐标伸缩变换公式求解． 1 ．在 ▱ ABCD 中三个顶点 A 、 B 、 C 的坐标分别是 ( － 1,2) 、 (3,0) 、 (5,1) ，则点 D 的坐标是 ( 　　 ) A ． (9 ，－ 1) 　　　　　　 B ． ( － 3,1) C ． (1,3) D ． (2,2) C B A 4. 两个定点距离为 6 ，点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26 ，求点 M 的轨迹 . 答案： x 2 +y 2 =4  5 ．在△ ABC 中， B ( － 2,0) ， C (2,0) ，△ ABC 的周长为 10 ，求 点 A 的轨迹方程为 ________ ． 6 ．已知圆的半径为 6 ，圆内一定点 P 离圆心的距离为 4 ， A ， B 是圆上的两动点，且满足∠ APB ＝ 90° ，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程． 解析： 如右图所示，以圆心 O 为原点， OP 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 36 ， P (4,0) ． 7 ．求函数 g ( x ) ＝ | － | 的最大值． 8 ．在同一平面直角坐标系中，将曲线 x 2 － 36 y 2 － 8 x ＋ 12 ＝ 0 变成曲线 x ′ 2 － y ′ 2 － 4 x ′ ＋ 3 ＝ 0 ，求满足条件的伸缩变换． 9 ．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经 过伸缩变换 后的图形是什么形状？ (1) y 2 ＝ 2 x ； (2) x 2 ＋ y 2 ＝ 1. 10 ．通过平面直角坐标系中的平移与伸缩变换，可以把 椭圆 ＋ ＝ 1 变为中心在原点的单位圆，求上述 平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换． 12 ．有一种大型商品， A ， B 两地都有销售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后，每千米回运 A 地 的费用是 B 地的 3 倍．已知 A ， B 两地相距 10 km ，顾客选 A 地或 B 地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低，求 A ， B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点． 分析： 将问题看作数学中的不等关系，建立适当的坐标系，利用坐标法列式求解． 解析： 如下图所示，以 A 、 B 所确定的直线为 x 轴， A 、 B 中点 O 为坐标原点，建立直角坐标系，则 A ( － 5,0) 、 B (5,0) ．设某地 P 的坐标为 ( x ， y ) ，且 P 地居民选择 A 地购买商品较便宜，并设 A 地的回运费为 3 a 元 / 千米， B 地的回运费为 a 元 / 千米． 13 ．求函数 g ( x ) ＝ ＋ 的最小值． 解析： g ( x ) ＝ ＋ ，于是问题转化为在 x 轴上求一点 P ( x, 0) ，使它分别到 A (2,3) 与 B (5,1) 的距离之和即 | PA | ＋ | PB | 为最小值． 如上图所示，点 B (5,1) 关于 x 轴的对称点是 B ′(5 ，－ 1) ，故最小值为 | AB ′| ，即 g ( x ) 的最小值为 | AB ′| ＝ ＝ 5 ，而 P 点的位置就是直线 AB ′ 与 x 轴的交点． 1 ． 直角坐标系可以有不同的建立方法，根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： (1) 如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点 . (2) 如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴 . (3) 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上． 2 ．坐标系的建立是为了确定点的位置，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置． 3 ．坐标伸缩变换 φ 注意变换中的系数均为正数；在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束