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- 2021-06-24 发布
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2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三(上)第一次联考数学试卷(文科)
一、选择题
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求两个集合,再求交集.
【详解】∵,
,解得:
,
∴.
故选:D.
【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域,和集合的交集,属于基础题型.
2.复数等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
3.已知一组数据点,,,…,,用最小二乘法得到其线性回归方程为,若数据,,,…的平均数为1,则( )
A. 2 B. 11 C. 12 D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在回归直线上,代入求,再求.
【详解】∵,且在线性回归直线上,
∴,
则.
故选:D.
【点睛】本题考查回归直线方程的应用,意在考查基础知识,本题的关键是知道回归直线必过样本中心点.
4.经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设圆心为,根据条件列关于的方程,求圆的标准方程.
【详解】设圆心的坐标为,
则①,
②,
③;
由①②③组成方程组,解得
,,;
故所求圆的标准方程是.
故选:A.
【点睛】本题考查求圆的标准方程,意在考查计算能力,属于基础题型.
5.已知向量,.若向量,则实数等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.
【详解】向量,,若向量,
则,
则实数,
故选:D
【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示,意在考查基本计算,属于基础题型.
6..阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:第一圈,n=6,n=13,否k=1;
第二圈,n=13,n=27,否k=2;
第三圈,n=27,n=55,否k=3;
第四圈,n=55,n=110,是,输出k=3;故选B.
考点:本题主要考查程序框图.
点评:简单题,解的思路明确,主要看对程序框图的理解,注意逐次循环看结果.
7.如图,正三棱柱中,是中点,则下列叙述正确的是( )
A. 与是异面直线 B. 平面
C. ,为异面直线,且 D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】
逐一分析选项,得到正确答案,A.根据是否共面分析;
B.根据与的夹角判断;
C.利用面面垂直的性质定理证明;
D.利用,判断线面是否平行.
【详解】A. 与都在平面内,所以是共面直线,不是异面直线,故不正确;
B.若平面,则应垂直于平面内的任一条直线,但与的夹角是 ,不垂直,故不正确;
C. 与是异面直线,
平面平面,且平面平面,
又是正三角形,且是的中点,
,
平面,
故C正确;
D. , 又与平面相交,那么与平面相交,故不正确.
故选:C
【点睛】本题考查线线和线面关系的判断,意在考查空间想象能力和推理与证明,属于中档题型.
8.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.
【详解】在中,,,,由余弦定理,得,
所以.
所以所求概率为.
故选A.
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.
9.等差数列的公差为,前项和为,当首项和变化时,是一个定值,则下列各数也为定值的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质可知,可知是定值,再利用等差数列的前项和公式计算.
【详解】一个定值,
只有:是一个定值.
故选:C.
【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列的前项和,意在考查基本计算,属于基础题型.
10.已知定义在上的偶函数满足,且当时,,则在区间上函数的图象与轴的交点的个数为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由题意判断函数的周期,再根据时的零点个数,判断在上的零点个数.
【详解】因为是上偶函数,且满足,
∴满足,
令,则,∴;
∴是最小正周期为2的周期函数,
当时,解得或,
故在区间上解的个数为6,
又因为,故在区间上解的个数为7,
即函数的图象在区间上与x轴的交点的个数为7.
故选:B.
【点睛】本题考查利用函数的性质求函数的零点个数,属于基础综合问题,本题的关键是根据函数性质判断函数的周期,当函数有两个对称轴时,可判断函数是周期函数.
11.已知点是双曲线:右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设渐近线与交于点,分别是和的中点,则,由题意可知,是直角三角形,设,,内建立边长的等量关系,求双曲线的离心率.
【详解】设渐近线与交于点,分别是和的中点,则,
由题意,是直角三角形, 的斜率为,
设,,则①,
∵②,③,
由①②可知, ,
解得:,
∴,
∴.
故选:D.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,意在考查转化和化归,计算能力,属于中档题型,一般求双曲线离心率的方法是1.直接法:直接求出,然后利用公式求解;2.公式法:,3.构造法:根据条件,可构造出的齐次方程,通过等式两边同时除以,进而得到关于的方程.
12.函数,若,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出函数的图象,根据可知,并解出和,表示,根据的范围,再代入分段函数求值域.
【详解】
设,
作出的图象,
由图象知,,
由,得,
由,得,
则,
∵,∴,
则,
即,
此时,
即的取值范围是,
故选:B.
【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域,本题的难点是用表示,并求其范围.
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知函数,则_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求,再求的值.
【详解】∵函数,
∴,
.
故答案为:2.
【点睛】本题考查分段函数求值,属于简单计算题型.
14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年,爱国主义知识大赛”活动,决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析,丙是第一名的概率是_____.
【答案】
【解析】
分析】
根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的,故可求其概率.
【详解】∵甲和乙都不可能是第一名,
∴第一名只可能是丙、丁或戊,
又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响,
∴这三个人获得第一名是等概率事件,
∴丙是第一名的概率是.
故答案为:.
【点睛】本题考查推理和概率的求法,意在考查推理,抽象概括能力,属于简单题型.
15.若变量,满足约束条件,则的最大值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:作出不等式组所表示的可行域如下图所示,
直线交直线于点,作直线,则为直线在轴上的截距,当直线经过可行域上的点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即,故选C.
考点:本题考查线性规划中线性目标函数最值,属于中等题.
【此处有视频,请去附件查看】
16.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为________.
【答案】144π
【解析】
【分析】
易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球O的半径为R,列方程求解即可.
【详解】如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥的体积最大,
设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,
故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.
故答案为144π.
【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式,属于基础题.
三.解答题(本题共5小题,共70分)
17.已知函数.
(1)当时,求的单调递增区间;
(2)当,且时,的值域是,求,的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)当时,利用降幂公式,和辅助角公式化简函数,再求函数的单调递增区间;
(2)类似于(1)的化简,先求的范围,再求的范围,再用表示函数的最值,列方程组求解.
【详解】(1)当时,.
由得:,
所以的单调递增区间为;
(2)因为,
,
所以,,又的值域是,
所以,.
【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用,属于基础题型,本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.
18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为,其范围为,分别有五个级别:畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥堵;严重拥堵.晚高峰时段(),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.
(Ⅰ)用分层抽样的方法从交通指数在,,的路段中共抽取个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(Ⅱ)从(Ⅰ)中抽出的个路段中任取个,求至少有个路段为轻度拥堵的概率.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)分别求,,这三个级别的路段,然后求抽样比,再求三个级别抽取的路段的个数;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果,分别设个轻度拥堵路段为,,选取的个中度拥堵路段为,,,选取的个严重拥堵路段为,然后按照列举法求概率.
【详解】(Ⅰ)由直方图可知:
,,.
所以这20个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个,9个,3个.
拥堵路段共有个,按分层抽样从18个路段中选出6个,
每种情况分别为:,,,
即这三个级别路段中分别抽取的个数为.
(Ⅱ)记(Ⅰ)中选取的个轻度拥堵路段为,,选取的个中度拥堵路段为,,,选取的个严重拥堵路段为,则从个路段选取个路段的可能情况如下:
,,,,,,,,,,,,,,,共15种可能,
其中至少有个轻度拥堵的有:
,,,,,,,,,共9种可能,所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为:.
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型,意在考查分析数据,解决问题的能力,属于基础题型.
19.如图,在四棱锥中,,且.
(1)证明:平面平面;
(2)若,,且四棱锥的体积为
,求该四棱锥的侧面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)由,得,.从而得,进而而平面,由面面垂直的判定定理可得平面平面;(2)设,取中点,连结,则底面,且,由四棱锥的体积为,求出,由此能求出该四棱锥的侧面积.
试题解析:(1)由已知,得,.
由于,故,从而平面.
又平面,所以平面平面.
(2)在平面内作,垂足为.
由(1)知,面,故,可得平面.
设,则由已知可得,.
故四棱锥的体积.
由题设得,故.
从而,,.
可得四棱锥侧面积为
.
20.已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)求在上的最大值.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用导数的几何意义可知,和,求,的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,先求,再求 ,利用的正负,分析的单调性,并求的最小值,并判断的单调性,求函数的最大值.
【详解】(Ⅰ),
由题设得,,
解得,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以在上单调递增,所以.
【点睛】本题考查函数的几何意义,以及利用导数求函数的最值,重点考查了推理和计算能力,属于中档题型,本题的难点是第二问,需求函数的二阶导数,从二阶导数的正负,分析的单调性,
21.如图,已知椭圆:经过点,离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆与轴正半轴的交点,点为线段的中点,点是椭圆上的动点(异于椭圆顶点)且直线,分别交直线于,两点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)是定值,
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据已知条件列方程组,求解椭圆方程;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求得点的坐标,并求直线的方程,设,,,根据三点共线求和,并表示.
【详解】(Ⅰ)由题意可知:,解得,
所以椭圆的方程:;
(Ⅱ)由已知,点的坐标为,得直线 的方程为,
设,,,
因,,三点共线,故,整理得,
因,,三点共线,故,整理得,
因点在椭圆上,故,
从而,
所以为定值.
【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题,本题所涉及直线比较多,分析问题时抓住关键求点的纵坐标并用点的纵坐标表示,并将表示为,这样问题迎刃而解.
22.已知直线:(为参数,a为的倾斜角),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线为:.
(1)若直线与曲线相切,求的值;
(2)设曲线上任意一点的直角坐标为,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【详解】(1)曲线C的直角坐标方程为
即曲线C为圆心为(3,0),半径为2的圆.
直线l的方程为:
∵直线l与曲线C相切 ∴
即
∴a=
(2)设
则=
∴的取值范围是.
.
23.若实数,,满足,则称比接近.
(Ⅰ)若比接近,求的取值范围;
(Ⅱ)已知,且,求证:比接近0.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知,转化为解含绝对值不等式;
(Ⅱ)利用分析法转化为证明,然后两边平方,逐步转化为使命题成立的充分条件.
【详解】(Ⅰ)由已知得,
则,∴,
∴的取值范围为.
(Ⅱ) 要证比接近0,
只需证,
只需证,
只需证,
即证.
∵,且,∴显然成立,
∴比接近0.
【点睛】本题考查解含绝对值不等式,以及分析法证明不等式,意在考查推理能力和计算能力,属于中档题型.