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  • 2021-06-24 发布

陕西省宝鸡中学2020届高三上学期第一次联考数学(文)试题

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‎2019-2020学年陕西省宝鸡中学、西安三中等五校高三(上)第一次联考数学试卷(文科)‎ 一、选择题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求两个集合,再求交集.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎,解得: ‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查简单函数的定义域和值域,和集合的交集,属于基础题型.‎ ‎2.复数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎3.已知一组数据点,,,…,,用最小二乘法得到其线性回归方程为,若数据,,,…的平均数为1,则( )‎ A. 2 B. ‎11 ‎C. 12 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在回归直线上,代入求,再求.‎ ‎【详解】∵,且在线性回归直线上,‎ ‎∴,‎ 则.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查回归直线方程的应用,意在考查基础知识,本题的关键是知道回归直线必过样本中心点.‎ ‎4.经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心为,根据条件列关于的方程,求圆的标准方程.‎ ‎【详解】设圆心的坐标为,‎ 则①,‎ ‎②,‎ ‎③;‎ 由①②③组成方程组,解得 ‎,,;‎ 故所求圆的标准方程是.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查求圆的标准方程,意在考查计算能力,属于基础题型.‎ ‎5.已知向量,.若向量,则实数等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据向量垂直的数量积的坐标表示列式求解.‎ ‎【详解】向量,,若向量,‎ 则,‎ 则实数,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查向量垂直的数量积的坐标表示,意在考查基本计算,属于基础题型.‎ ‎6..阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:第一圈,n=6,n=13,否k=1;‎ 第二圈,n=13,n=27,否k=2;‎ 第三圈,n=27,n=55,否k=3;‎ 第四圈,n=55,n=110,是,输出k=3;故选B.‎ 考点:本题主要考查程序框图.‎ 点评:简单题,解的思路明确,主要看对程序框图的理解,注意逐次循环看结果.‎ ‎7.如图,正三棱柱中,是中点,则下列叙述正确的是( )‎ A. 与是异面直线 B. 平面 C. ,为异面直线,且 D. 平面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项,得到正确答案,A.根据是否共面分析;‎ B.根据与的夹角判断;‎ C.利用面面垂直的性质定理证明;‎ D.利用,判断线面是否平行.‎ ‎【详解】A. 与都在平面内,所以是共面直线,不是异面直线,故不正确;‎ B.若平面,则应垂直于平面内的任一条直线,但与的夹角是 ,不垂直,故不正确;‎ C. 与是异面直线,‎ 平面平面,且平面平面,‎ 又是正三角形,且是的中点,‎ ‎,‎ 平面,‎ 故C正确;‎ D. , 又与平面相交,那么与平面相交,故不正确.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查线线和线面关系的判断,意在考查空间想象能力和推理与证明,属于中档题型.‎ ‎8.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.‎ ‎【详解】在中,,,,由余弦定理,得,‎ 所以.‎ 所以所求概率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.‎ ‎9.等差数列的公差为,前项和为,当首项和变化时,是一个定值,则下列各数也为定值的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质可知,可知是定值,再利用等差数列的前项和公式计算.‎ ‎【详解】一个定值,‎ 只有:是一个定值.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和等差数列的前项和,意在考查基本计算,属于基础题型.‎ ‎10.已知定义在上的偶函数满足,且当时,,则在区间上函数的图象与轴的交点的个数为(  )‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由题意判断函数的周期,再根据时的零点个数,判断在上的零点个数.‎ ‎【详解】因为是上偶函数,且满足,‎ ‎∴满足,‎ 令,则,∴;‎ ‎∴是最小正周期为2的周期函数,‎ 当时,解得或,‎ 故在区间上解的个数为6,‎ 又因为,故在区间上解的个数为7,‎ 即函数的图象在区间上与x轴的交点的个数为7.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的性质求函数的零点个数,属于基础综合问题,本题的关键是根据函数性质判断函数的周期,当函数有两个对称轴时,可判断函数是周期函数.‎ ‎11.已知点是双曲线:右支上一点,是双曲线的左焦点,且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设渐近线与交于点,分别是和的中点,则,由题意可知,是直角三角形,设,,内建立边长的等量关系,求双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设渐近线与交于点,分别是和的中点,则,‎ 由题意,是直角三角形, 的斜率为,‎ 设,,则①,‎ ‎∵②,③,‎ 由①②可知, , ‎ 解得:,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率,意在考查转化和化归,计算能力,属于中档题型,一般求双曲线离心率的方法是1.直接法:直接求出,然后利用公式求解;2.公式法:,3.构造法:根据条件,可构造出的齐次方程,通过等式两边同时除以,进而得到关于的方程.‎ ‎12.函数,若,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出函数的图象,根据可知,并解出和,表示,根据的范围,再代入分段函数求值域.‎ ‎【详解】‎ 设,‎ 作出的图象,‎ 由图象知,,‎ 由,得,‎ 由,得,‎ 则,‎ ‎∵,∴,‎ 则,‎ 即,‎ 此时,‎ 即的取值范围是,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的应用和利用自变量的范围求分段函数的值域,本题的难点是用表示,并求其范围.‎ 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知函数,则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,再求的值.‎ ‎【详解】∵函数,‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值,属于简单计算题型.‎ ‎14.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年,爱国主义知识大赛”活动,决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析,丙是第一名的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的,故可求其概率.‎ ‎【详解】∵甲和乙都不可能是第一名,‎ ‎∴第一名只可能是丙、丁或戊,‎ 又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响,‎ ‎∴这三个人获得第一名是等概率事件,‎ ‎∴丙是第一名的概率是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查推理和概率的求法,意在考查推理,抽象概括能力,属于简单题型.‎ ‎15.若变量,满足约束条件,则的最大值等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:作出不等式组所表示的可行域如下图所示,‎ 直线交直线于点,作直线,则为直线在轴上的截距,当直线经过可行域上的点时,直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即,故选C.‎ 考点:本题考查线性规划中线性目标函数最值,属于中等题.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎16.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为________.‎ ‎【答案】144π ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球O的半径为R,列方程求解即可.‎ ‎【详解】如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥的体积最大,‎ 设球O的半径为R,此时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,‎ 故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.‎ 故答案为144π.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式,属于基础题.‎ 三.解答题(本题共5小题,共70分)‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)当时,求的单调递增区间;‎ ‎(2)当,且时,的值域是,求,的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时,利用降幂公式,和辅助角公式化简函数,再求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)类似于(1)的化简,先求的范围,再求的范围,再用表示函数的最值,列方程组求解.‎ ‎【详解】(1)当时,.‎ 由得:,‎ 所以的单调递增区间为;‎ ‎(2)因为,‎ ‎,‎ 所以,,又的值域是,‎ 所以,.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数恒等变形和三角函数性质的综合应用,属于基础题型,本题的关键是熟练掌握降幂公式和辅助角公式.‎ ‎18.交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为,其范围为,分别有五个级别:畅通;基本畅通;轻度拥堵;中度拥堵;严重拥堵.晚高峰时段(),从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.‎ ‎(Ⅰ)用分层抽样的方法从交通指数在,,的路段中共抽取个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;‎ ‎(Ⅱ)从(Ⅰ)中抽出的个路段中任取个,求至少有个路段为轻度拥堵的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)分别求,,这三个级别的路段,然后求抽样比,再求三个级别抽取的路段的个数;‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结果,分别设个轻度拥堵路段为,,选取的个中度拥堵路段为,,,选取的个严重拥堵路段为,然后按照列举法求概率.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由直方图可知:‎ ‎,,.‎ 所以这20个路段中,轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为6个,9个,3个.‎ 拥堵路段共有个,按分层抽样从18个路段中选出6个,‎ 每种情况分别为:,,,‎ 即这三个级别路段中分别抽取的个数为.‎ ‎(Ⅱ)记(Ⅰ)中选取的个轻度拥堵路段为,,选取的个中度拥堵路段为,,,选取的个严重拥堵路段为,则从个路段选取个路段的可能情况如下:‎ ‎,,,,,,,,,,,,,,,共15种可能,‎ 其中至少有个轻度拥堵的有:‎ ‎,,,,,,,,,共9种可能,所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为:.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用和古典概型,意在考查分析数据,解决问题的能力,属于基础题型.‎ ‎19.如图,在四棱锥中,,且.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若,,且四棱锥的体积为 ‎,求该四棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由,得,.从而得,进而而平面,由面面垂直的判定定理可得平面平面;(2)设,取中点,连结,则底面,且,由四棱锥的体积为,求出,由此能求出该四棱锥的侧面积.‎ 试题解析:(1)由已知,得,.‎ 由于,故,从而平面.‎ 又平面,所以平面平面.‎ ‎(2)在平面内作,垂足为.‎ 由(1)知,面,故,可得平面.‎ 设,则由已知可得,.‎ 故四棱锥的体积.‎ 由题设得,故.‎ 从而,,.‎ 可得四棱锥侧面积为 ‎ .‎ ‎20.已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)求在上的最大值.‎ ‎【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用导数的几何意义可知,和,求,的值;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,先求,再求 ,利用的正负,分析的单调性,并求的最小值,并判断的单调性,求函数的最大值.‎ ‎【详解】(Ⅰ),‎ 由题设得,,‎ 解得,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以,,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 所以,‎ 所以在上单调递增,所以.‎ ‎【点睛】本题考查函数的几何意义,以及利用导数求函数的最值,重点考查了推理和计算能力,属于中档题型,本题的难点是第二问,需求函数的二阶导数,从二阶导数的正负,分析的单调性,‎ ‎21.如图,已知椭圆:经过点,离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设点为椭圆与轴正半轴的交点,点为线段的中点,点是椭圆上的动点(异于椭圆顶点)且直线,分别交直线于,两点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)是定值,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据已知条件列方程组,求解椭圆方程;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)求得点的坐标,并求直线的方程,设,,,根据三点共线求和,并表示.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可知:,解得,‎ 所以椭圆的方程:;‎ ‎(Ⅱ)由已知,点的坐标为,得直线 的方程为,‎ 设,,,‎ 因,,三点共线,故,整理得,‎ 因,,三点共线,故,整理得,‎ 因点在椭圆上,故,‎ 从而,‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆直线与椭圆位置关系的综合问题,本题所涉及直线比较多,分析问题时抓住关键求点的纵坐标并用点的纵坐标表示,并将表示为,这样问题迎刃而解.‎ ‎22.已知直线:(为参数,a为的倾斜角),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线为:.‎ ‎(1)若直线与曲线相切,求的值;‎ ‎(2)设曲线上任意一点的直角坐标为,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)曲线C的直角坐标方程为 即曲线C为圆心为(3,0),半径为2的圆.‎ 直线l的方程为: ‎ ‎∵直线l与曲线C相切 ∴‎ 即 ‎ ‎∴a=‎ ‎(2)设 则= ‎ ‎∴的取值范围是. ‎ ‎.‎ ‎23.若实数,,满足,则称比接近.‎ ‎(Ⅰ)若比接近,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)已知,且,求证:比接近0.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意可知,转化为解含绝对值不等式;‎ ‎(Ⅱ)利用分析法转化为证明,然后两边平方,逐步转化为使命题成立的充分条件.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由已知得,‎ 则,∴,‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ) 要证比接近0,‎ 只需证,‎ 只需证,‎ 只需证,‎ 即证.‎ ‎∵,且,∴显然成立,‎ ‎∴比接近0.‎ ‎【点睛】本题考查解含绝对值不等式,以及分析法证明不等式,意在考查推理能力和计算能力,属于中档题型.‎