2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第九章　第2讲　两直线的位置关系 7页

[基础题组练] 1．已知直线 l1：mx＋y－1＝0 与直线 l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2” 的( ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A.由 l1⊥l2，得 m(m－2)＋m＝0，解得 m＝0 或 m＝1，所以“m＝1”是“l1 ⊥l2”的充分不必要条件，故选 A. 2．已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与 l2：2(k－3)x－2y＋3＝0 平行，则 k 的值是( ) A．1 或 3 B．1 或 5 C．3 或 5 D．1 或 2 解析：选 C.法一：由两直线平行得，当 k－3＝0 时，两直线的方程分别为 y＝－1 和 y ＝3 2 ，显然两直线平行．当 k－3≠0 时，由 k－3 2（k－3） ＝4－k －2 ≠1 3 ，可得 k＝5.综上，k 的值是 3 或 5. 法二：当 k＝3 时，两直线平行，故排除 B，D；当 k＝1 时，两直线不平行，排除 A. 3．(2020·安徽江南十校二联)已知直线 l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若 l1 ∥l2，则 l1，l2 之间的距离为( ) A.12 13 13 B．8 13 13 C.9 13 13 D． 13 解析：选 A.由于两条直线平行，所以 m·(－3m)－(－3)·4＝0，解得 m＝±2，当 m＝2 时， 两直线方程都是 2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当 m＝－2 时，l1：2x＋3y－6 ＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故 l1，l2 之间的距离为|6－（－6）| 22＋32 ＝12 13 13 .故选 A. 4．若点 P 在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则点 P 的坐 标为( ) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) 解析：选 C.设 P(x，5－3x)，则 d＝|x－（5－3x）－1| 12＋（－1）2 ＝ 2，化简得|4x－6|＝2，即 4x －6＝±2，解得 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1)． 5．直线 ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点 M，则直线 2x＋3y－6＝0 关于 M 点对称的直线方 程为( ) A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0 解析：选 D.由 ax＋y＋3a－1＝0，可得 a(x＋3)＋(y－1)＝0，令 x＋3＝0， y－1＝0， 可得 x＝－3， y＝1，所以 M(－3，1)，M 不在直线 2x＋3y－6＝0 上，设直线 2x＋3y－6＝0 关于 M 点对称 的直线方程为 2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则|－6＋3－6| 4＋9 ＝|－6＋3＋c| 4＋9 ，解得 c＝12 或 c＝－6(舍 去)，所以所求方程为 2x＋3y＋12＝0，故选 D. 6．与直线 l1：3x＋2y－6＝0 和直线 l2：6x＋4y－3＝0 等距离的直线方程是________． 解析：l2：6x＋4y－3＝0 化为 3x＋2y－3 2 ＝0，所以 l1 与 l2 平行，设与 l1，l2 等距离的直 线 l 的方程为 3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋3 2|，解得 c＝－15 4 ，所以 l 的方程为 12x＋8y－ 15＝0. 答案：12x＋8y－15＝0 7．l1，l2 是分别经过 A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当 l1，l2 间的距离最大 时，直线 l1 的方程是________． 解析：当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又 kAB ＝－1－1 0－1 ＝2，所以两条平行直线的斜率为 k＝－1 2 ，所以直线 l1 的方程是 y－1＝－1 2(x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 8．已知点 A(－1，2)，B(3，4)．P 是 x 轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB 的面积为________． 解析：设 AB 的中点坐标为 M(1，3)， kAB＝ 4－2 3－（－1） ＝1 2 ， 所以 AB 的中垂线方程为 y－3＝－2(x－1)． 即 2x＋y－5＝0. 令 y＝0，则 x＝5 2 ， 即 P 点的坐标为(5 2 ，0)， |AB|＝ （－1－3）2＋（2－4）2＝2 5. 点 P 到 AB 的距离为|PM|＝ 1－5 2 2 ＋32＝3 5 2 . 所以 S△PAB＝1 2|AB|·|PM|＝1 2 ×2 5×3 5 2 ＝15 2 . 答案：15 2 9．已知两直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的 值． (1)l1⊥l2，且直线 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为 l1⊥l2， 所以 a(a－1)－b＝0. 又因为直线 l1 过点(－3，－1)， 所以－3a＋b＋4＝0. 故 a＝2，b＝2. (2)因为直线 l2 的斜率存在，l1∥l2， 所以直线 l1 的斜率存在． 所以a b ＝1－a.① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以 l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4 b ＝b.② 联立①②可得 a＝2，b＝－2 或 a＝2 3 ，b＝2. 10．已知直线 l 经过直线 2x＋y－5＝0 与 x－2y＝0 的交点 P. (1)点 A(5，0)到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程； (2)求点 A(5，0)到直线 l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以 |10＋5λ－5| （2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，解得λ＝1 2 或λ＝2. 所以直线 l 的方程为 x＝2 或 4x－3y－5＝0. (2)由 2x＋y－5＝0， x－2y＝0， 解得交点 P(2，1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到直线 l 的距离， 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立)． 所以 dmax＝|PA|＝ 10. [综合题组练] 1．已知直线 y＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(－4， 2)，(3，1)，则点 C 的坐标为 ( ) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 解析：选 C.设 A(－4，2)关于直线 y＝2x 的对称点为(x，y)，则 y－2 x＋4 ×2＝－1， y＋2 2 ＝2×－4＋x 2 ， 解得 x＝4， y＝－2， 所以 BC 所在的直线方程为 y－1＝－2－1 4－3 (x－3)，即 3x＋y－10＝0.同理可得点 B(3， 1)关于直线 y＝2x 的对称点为(－1，3)，所以 AC 所在的直线方程为 y－2＝ 3－2 －1－（－4）·(x ＋4)，即 x－3y＋10＝0.联立得 3x＋y－10＝0， x－3y＋10＝0， 解得 x＝2， y＝4， 则 C(2，4)．故选 C. 2．两条平行线 l1，l2 分别过点 P(－1，2)，Q(2，－3)，它们分别绕 P，Q 旋转，但始终 保持平行，则 l1，l2 之间距离的取值范围是( ) A．(5，＋∞) B．(0，5] C．( 34，＋∞) D．(0， 34] 解析：选 D.当直线 PQ 与平行线 l1，l2 垂直时，|PQ|为平行线 l1，l2 间的距离的最大值， 为 （－1－2）2＋[2－（－3）]2＝ 34，所以 l1，l2 之间距离的取值范围是(0， 34]．故选 D. 3．在平面直角坐标系 xOy(O 为坐标原点)中，不过原点的两直线 l1：x－my＋2m－1＝0， l2：mx＋y－m－2＝0 的交点为 P，过点 O 分别向直线 l1，l2 引垂线，垂足分别为 M，N，则 四边形 OMPN 面积的最大值为( ) A．3 B．3 2 C．5 D．5 2 解析：选 D.将直线 l1 的方程变形得(x－1)＋m(2－y)＝0， 由 x－1＝0 2－y＝0 ，得 x＝1 y＝2 ，则直线 l1 过定点 A(1，2)，同理可知，直线 l2 过定点 A(1，2)， 所以，直线 l1 和直线 l2 的交点 P 的坐标为(1，2)，易知，直线 l1⊥l2，如图所示， 易知，四边形 OMPN 为矩形，且|OP|＝ 12＋22＝ 5， 设|OM|＝a，|ON|＝b，则 a2＋b2＝5， 四边形 OMPN 的面积为 S＝|OM|·|ON|＝ab≤a2＋b2 2 ＝5 2 ， 当且仅当 a＝b a2＋b2＝5 ，即当 a＝b＝ 10 2 时，等号成立， 因此，四边形 OMPN 面积的最大值为5 2 ，故选 D. 4.如图，已知 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从 F 点出 发射到 BC 上的 D 点，经 BC 反射后，再经 AC 反射，落到线段 AE 上(不含端点)，则直线 FD 的斜率的取值范围为________． 解析：从特殊位置考虑．如图， 因为点 A(－2，0)关于直线 BC： x＋y＝2 的对称点为 A1(2，4)，所以 kA1F＝4.又点 E(－1，0)关于直线 AC：y＝x＋2 的 对称点为 E1(－2，1)，点 E1(－2，1)关于直线 BC：x＋y＝2 的对称点为 E2(1，4)，此时直线 E2F 的斜率不存在，所以 kFD>kA1F，即 kFD∈(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞) 5．正方形的中心为点 C(－1，0)，一条边所在的直线方程是 x＋3y－5＝0，求其他三边 所在直线的方程． 解：点 C 到直线 x＋3y－5＝0 的距离 d＝|－1－5| 1＋9 ＝3 10 5 . 设与 x＋3y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝|－1＋m| 1＋9 ＝3 10 5 ， 解得 m＝－5(舍去)或 m＝7， 所以与 x＋3y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0. 设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0， 则点 C 到直线 3x－y＋n＝0 的距离 d＝|－3＋n| 1＋9 ＝3 10 5 ， 解得 n＝－3 或 n＝9， 所以与 x＋3y－5＝0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0. 6．在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得： (1)P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大； (2)P 到 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小． 解： (1)如图，设 B 关于 l 的对称点为 B′，AB′的延长线交 l 于 P0，在 l 上另任取一点 P，则 |PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|<|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则 P0 即为所求． 易求得直线 BB′的方程为 x＋3y－12＝0， 设 B′(a，b)，则 a＋3b－12＝0，① 又线段 BB′的中点 a 2 ，b＋4 2 在 l 上，故 3a－b－6＝0.② 由①②解得 a＝3，b＝3， 所以 B′(3，3)． 所以 AB′所在直线的方程为 2x＋y－9＝0. 由 2x＋y－9＝0， 3x－y－1＝0 可得 P0(2，5)． (2)设 C 关于 l 的对称点为 C′，与(1)同理可得 C′ 3 5 ，24 5 . 连接 AC′交 l 于 P1，在 l 上另任取一点 P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|>|AC′|＝|P1C′|＋|P1A| ＝|P1C|＋|P1A|，故 P1 即为所求． 又 AC′所在直线的方程为 19x＋17y－93＝0， 故由 19x＋17y－93＝0， 3x－y－1＝0 可得 P1 11 7 ，26 7 .