高中数学选修2-2教学课件2_3数学归纳法2 11页

对于用不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题或猜想 , 可尝试采用数学归纳法来证明 它们的正确性： (1) 证明当 n 取第一个值 n 0 ( 例如 n 0 =1) 时结论正确 ; (2) 假设当 n=k(k ∈ N * , k ≥ n 0 ) 时结论正确 , 证明当 n = k +1 时结论也正确 . 在完成了这两个步骤以后 , 就可以断定这个命题或猜想对于从 n 0 开始的所有正整数 n 都正确 . 找准起点 , 奠基要稳 注 : “ 观察、猜想、证明 ” 是解决许多问题的有效途径 . 用上假设 , 递推才真 写明结论 才算完整 数学归纳法 : 是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 . 1. 用数学归纳法证明等式 1+2+3+ … (2 n +1)=( n +1)(2 n +1) 时， 当 n ＝ 1 时，左边所得项是 ； 当 n ＝ 2 时，左边所得项是 __________________. 1+2+3 1+2+3+4+5 2. 用数学归纳法证明 : 在验证 n ＝ 1 成立时，左边所得项为 ( ) (A)1 (B)1 +a (C)1+ a + a 2 (D)1+ a + a 2 + a 3 C 3. 求证 : 3. 求证 : 证 :(1) 当 n =1 时 , 左边 = , 右边 = , 由于 故不等式成立 . (2) 假设 n = k ( ) 时命题成立 , 即 则当 n = k +1 时 , 即当 n = k +1 时 , 命题成立 . 由 (1) 、 (2) 原不等式对一切 都成立 . 例 是否存在常数 a 、 b, 使得等式 : 对一切正整数 n 都成立 , 并证明你的结论 . 点评 : 对这种类型的题目 , 一般先利用 n 的特殊值 , 探求出待定系数 , 然后用数学归纳法证明它对一切正整数 n 都成立 . 解 : 令 n=1,2, 并整理得 以下用数学归纳法证明 : 练习 1 . 用数学归纳法证明 : 练习 2 . 证明不等式 : 用数学归纳法可以解决许多有关正整数的命题或猜想 , 练习 3 : 平面内有 n ( n 2) 条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少 ? 并证明 . 证 :(1) 当 n =2 时 , 左边 = 不等式成立 . (2) 假设当 n = k ( k ≥2) 时不等式成立 , 即有 : 则当 n = k +1 时 , 我们有 : 即当 n = k +1 时 , 不等式也成立 . 由 (1) 、 (2) 原不等式对一切 都成立 . 练习 1. 用数学归纳法证明 : 证 :(1) 当 n =1 时 , 左边 =1, 右边 =2, 不等式显然成立 . (2) 假设当 n = k 时不等式成立 , 即有 : 则当 n = k +1 时 , 我们有 : 即当 n = k +1 时 , 不等式也成立 . 根据 (1) 、 (2) 可知 , 原不等式对一切正整数都 成立 . 练习 2 . 证明不等式 : n =1 n =2 n =3 n =4 n =5 f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10 直线条数 n 1 2 3 4 5 6 … n 增加点数 Δ n 1 2 3 4 5 … n -1 f ( n ) 0 1 3 6 10 15 … ？ 猜想： f (1)=0 ， f (2)=0+1 ， f (3)=1+2 ， f (4)=1+2+3 ， f (5)=1+2+3+4 , … , f ( n )=1+2+…+( n -1)= n ( n - 1) ， 然后用数学归纳法证明猜想的关键是： ①求初始值 f (1)=0 ，②建立递推关系 f ( n +1)= f ( n )+ n 练习 3 . 平面内有 n ( n 2) 条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少 ? 并证明 . 解 : 如图 练习 3. 平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点个数是 f ( n )= n ( n -1). 当 n=k+ 1 时：第 k +1 条直线分别与前 k 条直线各交于一点，共增加 k 个点， 由（ 1 ）、 2 ）可知，对一切 n ∈ N  原命题均成立。 证明： 1 ） n =2 时：两条直线交点个数为 1, 而 f (2)= ×2×(2-1)=1, ∴ 命题成立 . ∴ k +1 条直线交点个数 = f ( k )+ k = k ( k -1)+ k = k ( k -1+2)= k ( k +1)= ( k +1)[( k +1)-1]= f ( k +1), 即当 n = k +1 时命题仍成立。 2) 假设 n = k ( k ∈ N  , k ≥2 ) 时 , k 条直线交点个数为 f ( k )= k ( k -1), 是否存在常数 a 、 b 、 c 使得等式 对于一切正整数 n 都成立，并证明你的结论。