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- 2021-06-24 发布
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数学试卷
一、单选题（共20题；共40分）
1.已知向量 ， ，若 ，则x的值为
A. 1 B. 2 C. D. 5
2.函数y=ax﹣4+5（a＞0，a≠1）的图象必经过定点（ ）
A. （0，5） B. （4，5） C. （3，4） D. （4，6）
3.已知命题p：负数的立方都是负数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A. （￢p）∨q B. p∧q C. （￢p）∨（￢q） D. （￢p）∧（￢q）
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若S9=81，则a2+a5+a8=（ ）
A. 26 B. 27 C. 28 D. 29
5.函数 在R上为减函数，则有（ ）
A. B. C. D.
6.设是边长为的正的边及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合 ， 若点 ， 则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数 满足： 且 ．（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
8.设函数 ， 则满足的x的取值范围是（ ）
A. [-1，2] B. [0，2] C. D.
9.在空间中，下列命题错误的是( )
A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 B. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行
C. 平行于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行
10.将函数y=sinx的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A. y=sinx+ B. y=sinx﹣ C. y=sin（x﹣） D. y=sin（x+）
11.在数列 中，若 ， ，则 的值（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移 个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（ ）
A. ，k∈Z B. ，k∈Z
C. ，k∈Z D. ，k∈Z
13.设函数y=f(x）的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1,则a=( )
A. -1 B. 1 C. 2 D. 4
14.某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C. 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D. 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
15.已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 = ，a1=m，现有如下说法：
①a2=5；
②当n为奇数时，an=3n+m﹣3；
③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．
则上述说法正确的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
16.已知是定义在上的奇函数，满足,当时, ， 则函数在区间上的零点个数是（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
17.已知在 中， 是边 上的一个定点，满足 ，且对于边 上任意一点 ，恒有 ，则（ ）
A. B. C. D.
18.下列说法中：⑴若向量 ， 则存在实数 ， 使得；
⑵非零向量 ， 若满足 ， 则
⑶与向量 ， 夹角相等的单位向量
⑷已知,若对任意,则一定为锐角三角形。
其中正确说法的序号是( )
A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (2)
19.已知f（x）=x2+3x+1，g（x）= +x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a的取值为（ ）
A. 1 B. C. 1或 D.
20.已知函数,对任意实数x都有成立，若当时，恒成立，则b的取值范围是( )
A. B. 或 C. D. 不能确定
二、填空题（共10题；共20分）
21.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3=﹣3，S7=7，则S5=________．
22.化简： =________．
23.已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=________．
24.角度制与弧度制的互化：210°=________；﹣ ________．
25.在0°～180°范围内，与﹣950°终边相同的角是________．
26.方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 ________
27.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为________．
28.函数 的定义域是________； 的解集是________.
29.在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则 • 的取值范围是________．
30.已知向量 =（1，﹣2），与 垂直的单位向量是________．
三、解答题（共6题；共40分）
31.已知向量 ， ．
（Ⅰ）若 ， 共线，求x的值；
（Ⅱ）若 ⊥ ，求x的值；
（Ⅲ）当x=2时，求 与 夹角θ的余弦值．
32.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；
（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2 ， 你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式 ，其中n=a+b+c+d）
33.设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ， 且a1 ， a2+5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
34.如图，在底面是正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（3）当二面角B﹣PC﹣D的大小为 时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．
35.已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，且函数 只有一个零点，求 的最小值.
36.已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 在 上的最小值为3，求实数 的值以及相应的的值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
2.【答案】 D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】 C
6.【答案】 C
7.【答案】B
8.【答案】 D
9.【答案】 D
10.【答案】 C
11.【答案】A
12.【答案】A
13.【答案】 C
14.【答案】 B
15.【答案】 D
16.【答案】 D
17.【答案】 D
18.【答案】 D
19.【答案】B
20.【答案】 B
二、填空题
21.【答案】 0
22.【答案】 1
23.【答案】
24.【答案】 ；﹣450°
25.【答案】 130°
26.【答案】{ ， }
27.【答案】 -1
28.【答案】 ；
29.【答案】2
30.【答案】 （ ， ）或（﹣ ，﹣ ）
三、解答题
31.【答案】解：（ I）根据题意，向量 ， ，若 ，则有﹣2x=4，解可得x=﹣2．
（ II）若 ，则有 • =0，又由向量 ， ，则有4×x+（﹣2）×1=0，即4x﹣2=0，解可得 ，
（ III）根据题意，若 ，则有 =（8，0），
，∴ ．
32.【答案】解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为 = ， ∴男性应该抽取20× =4人
（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，
故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P= ．
（III）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的
33.【答案】 （1）解：在2Sn=an+1﹣2n+l+1中，
令n=1得：2S1= ，即a2=2a1+3 ①
令n=2得： ，即a3=6a1+13 ②
又2（a2+5）=a1+a3 ③
联立①②③得：a1=1
（2）解：由2Sn=an+1﹣2n+l+1，得：
，
两式作差得 ，
又a1=1，a2=5满足 ，
∴ 对n∈N*成立．
∴ ．
∴ ．
则
34.【答案】 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG⊂平面PAC，
∴BD⊥FG
或用向量方法：
解：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）（a＞0），
E（ ），F（ ），G（m，m，0）（0＜m＜ ）
=（﹣1，1，0）， =（ ）， × =﹣m+ +m﹣ +0=0，
∴BD⊥FG
（2）解：当G为EC中点，即AG= AC时，FG∥平面PBD，
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，
而FGË平面PBD，PE⊂平面PBD，
故FG∥平面PBD．
或用向量方法：
要使FG∥平面PBD，只需FG∥EP，而 =（ ），由 = 可得 ，
解得l=1，m= ，
∴G（ ， ，0），∴ ，
故当AG= AC时，FG∥平面PBD
（3）解：作BH⊥PC于H，连接DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD就是二面角B﹣PC﹣D的平面角，
即∠BHD= ，
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角
连接EH，则EH⊥BD，∠BHE= ，EH⊥PC，
∴tan∠BHE= ，而BE=EC，
∴ ，∴sin∠PCA= ，∴tan∠PCA= ，
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是
或用向量方法：
设平面PBC的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，而 ， ，
∴ ，取z=1，得 =（a，0，1），同理可得平面PDC的一个法向量为 =（0，a，1），
设 ， 所成的角为β，则|cosβ|=|cos |= ，即 = ，∴ ，∴a=1
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
∴tan∠PCA=
35.【答案】 （1）解：由题意可知 ， .
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）解：解法一：由题意可知 ，且 .
令 ，
则 .
记 ，（*）
当 时， ，与 相矛盾，此时（*）式无解；
当 时， 无解；
当 时，（*）式的解为 ，此时 有唯一解 ；
当 时，
，
所以（*）式只有一个负根 ， 有唯一解，故 的最小值为1.
解法二：由题得 ，
令 ，则 .
再令 ，则 .
记 ，
函数 和函数 的图象如图所示：
当 ，即 时，显然不成立；
当 ，即 时，由 ，得方程 存在唯一解 ，且 .
此时 亦存在唯一解 .
综上， 的最小值为1.
36.【答案】 （1）解：由题意知， 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 为偶函数；
当 时， ，则 为奇函数；
当 时， 且 ，故此时 为非奇非偶函数.
（2）解：设 ，由题意知， 在 最小值为3.则 .
当 时， ，则 在 递增，此时， 最小值 ，
即 ，解得 与 矛盾，故舍去；
当 时，令 ，解得 或 （舍去）；当 ，即 时，
在 恒成立，由之前的讨论可知，此时 与 矛盾，舍去；
当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以在 上 递减，在 上 递增，
则当 时， 有最小值，即 ，解得 ，此时 .
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