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- 2021-06-24 发布
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核心素养测评八 幂函数与二次函数
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 ( )
A.-3 B.1 C.2 D.1或2
【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.
2.(2020·成都模拟)已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)1时,恒有f(x)1时,函数f(x)=xα的图象在y=x的图象的下方,由幂函数的图象与性质可判断α<1时满足题意.
3.(2019·唐山模拟)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是 ( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)
【解析】选C.由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.
4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 ( )
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
【解析】选A.由f(0)=f(4)得f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=-=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),所以f(x)先减后增,于是a>0.
5.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
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【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=->0,知A、C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-<0,B错误.
6.(2020·南昌模拟)已知正实数a,b,c满足loga2=2,log3b=,c6=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确.对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误.
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结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为x=-1知,b=2a.
又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a0.那么f(x)的零点是________;若f(x)的值域是,则c的取值范围是________.
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【解析】当0≤x≤c时,由=0得x=0.
当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,
所以函数f(x)的零点为-1和0.
当0≤x≤c时,f(x)=,所以0≤f(x)≤;
当-2≤x<0时,f(x)=x2+x=-,所以此时-≤f(x)≤2.若f(x)的值域是,则有≤2,即00,f(p)<0,则必有 ( )
A.f(p+1)>0
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B.f(p+1)<0
C.f(p+1)=0
D.f(p+1)的符号不能确定
【解析】选A.由题意知,f(0)=c>0,函数图象的对称轴为x=-,则f(-1)=f(0)>0,设f(x)=0的两根分别为x1,x2(x10,f(p+1)>0.
【变式备选】
已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},则 ( )
A.∀m∈A,都有f(m+3)>0
B.∀m∈A,都有f(m+3)<0
C.∃m0∈A,使得f(m0+3)=0
D.∃m0∈A,使得f(m0+3)<0
【解析】选A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,
即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,
当x>1时,f(x)>0.由a>b,得1>,
设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,
则x1+1=->-1,即x1>-2,
由f(m)<0可得-20.
3.(5分)(2019·抚州模拟)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是________.
【解析】因为对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,函数y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]上恒成立,即x+a≤0,所以a+2+a≤0,得到a≤-1.
答案:(-∞,-1]
4.(10分)函数y=F(x)的图象如图所示,该图象由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接”而成.
(1)求F(x)的解析式.
(2)比较ab与ba的大小.
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(3)若(m+4)-b<(3-2m)-b,求m的取值范围.
【解析】(1)依题意得
解得
所以F(x)=
(2)因为ab==,ba=,指数函数y=单调递减,所以<,即ab0,解得-10时,因为-g(-1)=-(2-3q)
=≥0,所以g(x)max==,
g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2.
②当q<0时,g(x)max=g(-1)=2-3q=,
g(x)min==-4,q不存在.
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综上所述,存在q=2满足题意.
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