高中数学选修2-2教学课件第三章 2_2 (二) 42页

第三章　导数应用 §2 导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值问题 ( 二 ) 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 了解导数在解决实际问题中的作用 . 2. 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 . 明 目标 · 知 重点 填要点 · 记疑点 1. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题 . 2. 解决优化问题的基本 思路 数学建模 上述解决优化问题的过程是一个典型 的 过程 . 探要点 · 究 所然 探究点一　面积、体积的最值问题 思考 　如何利用导数解决生活中的优化问题？ 答　 (1) 函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 y 与自变量 x ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 y ＝ f ( x ). (2) 确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围 . (3) 求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值 . ( 4) 下结论，回扣题目，给出圆满的答案 . 例 1 　 学校或班级举行活动，通常需要张贴 海报 进行 宣传 . 现让你设计一张如图所示的竖向 张贴 的 海报，要求版心面积为 128 dm 2 ，上、下 两边 各 空 2 dm ，左、右两边各空 1 dm. 如何设计 海报 的 尺寸，才能使四周空白面积最小？ 求导数，得 当 x ∈ (0,16) 时， S ′ ( x )<0 ； 当 x ∈ (16 ，＋ ∞ ) 时， S ′ ( x )>0. 因此， x ＝ 16 是函数 S ( x ) 的极小值点，也是最小值点 . 所以，当版心高为 16 dm ，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最小 . 反思与感悟　 (1) 在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的 . (2) 在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域 . 跟踪训练 1 　如图，四边形 ABCD 是一块边长 为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD ， 其 经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点且开口 向 右 的抛物线 ( 河流宽度忽略不计 ). 新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN ，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积 . 解 以 M 为原点， AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，则 D (4,2 ). 设抛物线方程为 y 2 ＝ 2 px . ∵ 点 D 在抛物线上 ， ∴ 抛物线方程为 y 2 ＝ x (0 ≤ x ≤ 4). 设 P ( y 2 ， y )(0 ≤ y ≤ 2) 是曲线 MD 上任一点， 则 | PQ | ＝ 2 ＋ y ， | PN | ＝ 4 － y 2 . ∴ 矩形游乐园的面积为 S ＝ | PQ | × | PN | ＝ (2 ＋ y )(4 － y 2 ) ＝ 8 － y 3 － 2 y 2 ＋ 4 y . 求导得 S ′ ＝－ 3 y 2 － 4 y ＋ 4 ，令 S ′ ＝ 0 ，得 探究点二　利润最大问题 例 2 　 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料 . 瓶子的制造成本是 0.8π r 2 分，其中 r ( 单位： cm) 是瓶子的半径 . 已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm. 则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解　 由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是 令 f ′ ( r ) ＝ 0.8π( r 2 － 2 r ) ＝ 0. 解得 r ＝ 2 ， ( r ＝ 0 舍去 ). 当 r ∈ (0,2) 时， f ′ ( r )<0 ； 当 r ∈ (2,6) 时， f ′ ( r )>0. 因此，当半径 r >2 时， f ′ ( r )>0 ，它表示 f ( r ) 单调递增 ， 即 半径越大，利润越高 ； 当 半径 r <2 时， f ′ ( r )<0 ，它表示 f ( r ) 单调递减 ， 即 半径越大，利润越低 . 所以半径为 2 cm 时，利润最小，这时 f (2)<0 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值 . 半径为 6 cm 时，利润最大 . 反思与感悟　 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1) 利润＝收入－成本； (2) 利润＝每件产品的利润 × 销售件数 . 跟踪训练 2 　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y ( 单位：千克 ) 与销售价格 x ( 单位：元 / 千克 ) 满足关系式 y ＝ ＋ 10( x － 6) 2 ，其中 3< x <6 ， a 为常数 . 已知销售价格为 5 元 / 千克时，每日可售出该商品 11 千克 . (1) 求 a 的值 ； 解　 因为 x ＝ 5 时， y ＝ 11 ， 所以 a ＝ 2. (2) 若该商品的成本为 3 元 / 千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大 . 解　 由 (1) 可知，该商品每日的 销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 从而， f ′ ( x ) ＝ 10 [( x － 6) 2 ＋ 2( x － 3)( x － 6)] ＝ 30( x － 4)( x － 6). 于是，当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得， x ＝ 4 是函数 f ( x ) 在区间 (3,6) 内的极大值点，也是最大值点 . 所以，当 x ＝ 4 时，函数 f ( x ) 取得最大值，且最大值等于 42 . 答　 当销售价格为 4 元 / 千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 . 探究点三　费用 ( 用材 ) 最省问题 例 3 　 已知 A 、 B 两地相距 200 km ，一只船从 A 地逆水行驶到 B 地，水速为 8 km /h ，船在静水中的速度为 v km/ h(8< v ≤ v 0 ). 若 船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当 v ＝ 12 km/h 时，每小时的燃料费为 720 元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？ 解　 设每小时的燃料费为 y 1 ，比例系数为 k ( k >0) ， 则 y 1 ＝ k v 2 ，当 v ＝ 12 时， y 1 ＝ 720 ， ∴ 720 ＝ k ·12 2 ，得 k ＝ 5. 设全程燃料费为 y ，由题意，得 令 y ′ ＝ 0 ，得 v ＝ 16 ， ∴ 当 v 0 ≥ 16 ， 即 v ＝ 16 km/h 时全程燃料费最省， y min ＝ 32 000( 元 ) ； 当 v 0 <16 ，即 v ∈ (8 ， v 0 ] 时， y ′ <0 ， 即 y 在 (8 ， v 0 ] 上为减函数， 综上，当 v 0 ≥ 16 时， v ＝ 16 km/h 全程燃料费最省， 为 32 000 元； 反思与感悟　 解答例 3 的过程中容易忽视定义域，误以为 v ＝ 16 时取得最小值 . 本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内 . 跟踪训练 3 　现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地，已知轮船的最大航行速度为 35 海里 / 时， A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比 ( 比例系数为 0.6) ，其余费用为每小时 960 元 . (1) 把全程运输成本 y ( 元 ) 表示为速度 x ( 海里 / 时 ) 的函数 ； 且由题意知，函数的定义域为 (0,35] ， (2) 为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 令 y ′ ＝ 0 ， 解得 x ＝ 40 或 x ＝－ 40( 舍去 ). 因为函数的定义域为 (0,35] ，所以函数在定义域内没有极值点 . 又当 0< x ≤ 35 时， y ′ <0 ， 故为了使全程运输成本最小，轮船应以 35 海里 / 时的速度行驶 . 当堂测 · 查 疑缺 1. 方底无盖水箱的容积为 256 ，则最省材料时，它的高为 ( 　　 ) A.4 B.6 C.4.5 D.8 1 2 3 解析　 设底面边长为 x ，高为 h ， 2 3 答案　 A 1 2. 某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为 k ( k >0). 已知贷款的利率为 0.048 6 ，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去 . 设存款利率为 x ， x ∈ (0,0.048 6) ，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为 ( 　　 ) A.0.016 2 B.0.032 4 C.0.024 3 D.0.048 6 1 2 3 解析　 依题意，得存款量是 kx 2 ，银行支付的利息是 kx 3 ，获得的贷款利息是 0.048 6 kx 2 ，其中 x ∈ (0,0.048 6). 所以银行的收益是 y ＝ 0.048 6 kx 2 － kx 3 (0< x <0.048 6) ，则 y ′ ＝ 0.097 2 kx － 3 kx 2 (0< x <0.048 6). 令 y ′ ＝ 0 ，得 x ＝ 0.032 4 或 x ＝ 0( 舍去 ). 1 2 3 当 0< x <0.032 4 时， y ′ >0 ； 当 0.032 4< x <0.048 6 时， y ′ <0. 所以当 x ＝ 0.032 4 时， y 取得最大值，即当存款利率为 0.032 4 时，银行获得最大收益 . 答案　 B 1 2 3 3. 统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y ( 升 ) 关于行驶速度 x ( 千米 / 时 ) 的函数解析式可以表示为 y ＝ ( 0< x ≤ 120). 已知甲、乙两地相距 100 千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 1 2 3 解　 当速度为 x 千米 / 时时，汽车从甲地到乙地行驶 了 小时 ，设耗油量为 h ( x ) 升， 1 2 3 令 h ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 80. 因为 x ∈ (0,80) 时， h ′ ( x )<0 ， h ( x ) 是减函数； x ∈ (80,120] 时， h ′ ( x )>0 ， h ( x ) 是增函数， 所以当 x ＝ 80 时， h ( x ) 取得极小值 h (80) ＝ 11.25( 升 ). 因为 h ( x ) 在 (0,120] 上只有一个极小值，所以它是最小值 . 答　 汽车以 80 千米 / 时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升 . 1 2 3 呈 重点、现 规律 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路 . 另外需要特别注意： (1) 合理选择变量，正确给出函数表达式； (2) 与实际问题相联系； (3) 必要时注意分类讨论思想的应用 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看