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- 2021-06-24 发布
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1.1.3
导数的几何意义
1.
平均变化率
函数
y=f(x)
从
x
1
到
x
2
平均变化率为
:
2.
平均变化率的几何意义:
O
A
B
x
y
y=f(x)
x
1
x
2
f(x
1
)
f(x
2
)
x
2
-x
1
=△x
f(x
2
)-f(x
1
)=△y
割线的斜率
3.
导数的概念
函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的瞬时变化率
称为函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
x
0
处的导数
,
记作
或
,
即
4.
求函数
y=f(x)
在
x=x
0
处的导数的一般步骤是
:
1.
根据导数的几何意义描述实际问题
.
2.
求曲线上某点处的切线方程
.
(重点)
3.
导函数的概念及对导数的几何意义的理解
.
(难点)
平面几何中我们是怎样判断直线是否是圆的
割线或
切线
的呢
?
探究点
1
切线
切线
割线
如图直线
l
1
是曲线
C
的切线吗
?
l
2
呢
?
l
2
l
1
A
B
0
x
y
l
1
不是曲线
C
的切线,
l
2
是曲线
C
的切线
.
观察图形你能得到什么结论?
切线的定义:
当点 沿着曲线趋近于
点 ,即 时,割线
趋近于一个确定的位置,
这个确定位置的直线
PT
称为点
P
处的切线
.
注:曲线的切线
,
并不一定与曲线只有一 个交点
,
可以有多个
,
甚至可以有无穷多个
.
x
y
o
y=f(x)
在上面的研究过程中,某点的割线斜率和切线
斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率
有何联系?
平均变化率
割线的斜率
瞬时变化率(导数)
切线的斜率
探究点
2
导数的几何意义
函数 在 处的导数就是曲线
在点
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
处的切线的斜率 , 即:
曲线在点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的方程为:
导数的几何意义
例
1
求曲线
y=f(x)=x
2
+1
在点
P(1,2)
处的切线方程
.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
因此
,
切线方程为
y-2=2(x-1),
即
y=2x.
解:
【
总结提升
】
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤
:
①
求出切点
P
的坐标;
②求切线的斜率,即函数
y=f(x)
在
x=x
0
处的导数;
③
利用点斜式求切线方程
.
例
2
如图
,
它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
的图象
.
根据图象
,
请描述、
比较曲线 在 附近的变化情况
.
t
o
h
t
0
t
1
t
2
l
0
l
1
l
2
t
4
t
3
解
:
可用曲线
h(t)
在
t
0
, t
1
, t
2
处的切线刻画曲线
h(t)
在上述三个时刻附近的变化情况
.
(1)
当
t = t
0
时
,
曲线
h(t)
在
t
0
处的切线
l
0
平行于
t
轴
.
故在
t = t
0
附近曲线比较平坦
,
几乎没有升降
.
t
o
h
l
0
t
0
t
1
l
1
t
2
l
2
t
4
t
3
(2)
当
t = t
1
时
,
曲线
h(t)
在
t
1
处的切线
l
1
的斜率
h (t
1
) <0 .
故在
t = t
1
附近曲线下降
,
即函数
h(t)
在
t = t
1
附近单调递减
.
t
o
h
l
0
t
0
t
1
l
1
t
2
l
2
t
4
t
3
从图可以看出,直线
l
1
的倾斜程度小于直线
l
2
的倾斜程度,这说明曲线
h(t)
在
t
1
附近比在
t
2
附近下降得缓慢
.
(3)
当
t = t
2
时
,
曲线
h(t)
在
t
2
处的切线
l
2
的斜率
h
(t
2
) <0 .
故在
t = t
2
附近曲线下降
,
即函数
h(t)
在
t = t
2
附近也单调递减
.
【
总结提升
】
通过观察跳水问题中导数的变化情况
,
你得到了哪些结论
?
(1)
以直代曲:大多数函数就一小段范围看,大致
可以看作直线,某点附近的曲线可以用过该点的
切线近似代替;
(2)
函数的单调性与其导函数正负的关系;
(3)
曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系
.
例
3
如图表示人体血管中的药物浓度
c=f(t)
(单位:
mg/ml
)随时间
t
(单位:
min
)变化的函数图象,根据图象,估计
t=0.2,0.4,0.6,0.8 min
时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。
(
精确到
0.1)
解:
血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率
,
就是药物浓度
函数
f(t)
在此时刻的导数
,
(数形结合,以直代曲)
从图象上看
,
它表示曲线在该点处的切线的斜率
.
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值,验证一下,
这些值是否正确
.
t
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度的
瞬时变化率
f′(t)
0.4
-0.7
一、选择题
1.
曲线
y
=-
2x
2
+
1
在点
(0,1)
处的切线的斜率
是
(
)
A
.-
4 B
.
0
C
.
4 D
.不存在
B
B
3
.若曲线
y
=
h(x)
在点
P(a
,
h(a))
处的切线方程
为
2x
+
y
+
1
=
0
,那么
(
)
A
.
h′(a)
=
0 B
.
h′(a)<0
C
.
h′(a)>0 D
.
h′(a)
不确定
B
4.
曲线
y
=
x
3
在点
P
处的切线斜率为
3
,则点
P
的坐
标为
(
)
A.(
-
2
,-
8) B.(1,1)
,
(
-
1
,-
1)
C.( 2 , 8) D.
B
y
=
2x
-
1
2.
函数 在 处的导数 的
几何意义
,
就是函数 的图象在点 处的切线的斜率
(数形结合)
=
切线 的斜率
k
1.
曲线的切线定义
4.
导函数
(
简称导数
)
3.
利用
导数的几何意义
解释实际生活问题,体会
“数形结合”,“以直代曲”
的数学思想方法
.
以简单对象刻画复杂的对象
聪明在于勤奋,天才在于积累
.
——
华罗庚