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- 2021-06-24 发布
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核心素养测评六十七 条件概率与事件的独立性、正态分布
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.三次均为红球的概率为××=,三次均为黄、绿球的概率也为,所以抽取3次颜色相同的概率为++=.
2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则P(B)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为P==,P==,所以P===.
3.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)= ( )
A.1- B.
C.1- D.
10
【解析】选C.设正方形ABCD的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形EFGH的边长为,所以 P==,P=,
所以P===1-.
4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=(ABC)∪(AB)∪(AC),且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,
所以P(E)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)
=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P()+
P(A)P()P(C)
=××+××1-+×1-×=.
5. 甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为 ( )
A. B. C. D.
10
【解析】选A.设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(··)=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·
[1-P(C)]=1-×1-×1-=.
所以击中的概率P=1-P(··)=.
6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp≥,则n的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选A.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp≥,
所以p=1-n≥,所以n≤.
所以n的最小值为4.
7.已知随机变量X服从二项分布X~B6,,则P(X=2)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布X~B6,,所以 P(X=2)=21-4=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为________.
【解析】设甲击中目标记为事件A,乙击中目标记为事件B,则P(A∩)=0.6×0.3=0.18,
10
P(∩B)=0.4×0.7=0.28,P(∩)=0.4×0.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.
答案:0.58
9.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率
为________.
【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,
所求概率P=6+6+6=.
答案:
10.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp>,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则p的值为__________,设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量ξ的分布列
为__________.
【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.
所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.
因为p>,所以p=.
依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.
设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.
从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=1-=, P(ξ=6)=1-1-·1=.
所以随机变量ξ的分布列为:
10
ξ
2
4
6
P
答案:
ξ
2
4
6
P
(15分钟 35分)
1.(5分)质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.
质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”,事件D表示“检测通过”,事件E表示“检测良好”,
则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
所以P(E|D)====.
2.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“
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取出一个黄球,一个绿球”,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选D. 因为P==,P==,
所以P===.
【变式备选】
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率
是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设白球有n个,=,n=3,所以P(甲取到白球)=+××+×××=.
3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:
①他第3次击中目标的概率是0.9;
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;
③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.
其中正确结论的序号是________.
【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,
10
所以第3次击中目标的概率是0.9,所以①正确,
因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,
所以本题是一个独立重复试验,
根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1,所以②不正确,
因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.所以③正确.
答案:①③
4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.
(1)恰有一套设备能正常工作的概率;
(2)能进行通讯的概率.
【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,
“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.
由题意知P(A)=p3,P(B)=p3,
P()=1-p3,P()=1-p3.
(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)+P(·B)
=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.
(2)两套设备都不能正常工作的概率为
P( · )=P()·P()=(1-p3)2.
至少有一套设备能正常工作的概率,
即能进行通讯的概率为1-P(·)=
1-P()·P()=1-(1-p3)2=2p3-p6.
【变式备选】
甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)P2的值;
(2)Pn(用n表示)的值.
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【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为,而落在甲手中概率为0,因此P1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为P2= ×+×+×=.
(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以Pn=(1-Pn-1), n=2,3,4,…,
因此P3=(1-P2)=×= ,
P4=(1-P3)=×= ,
P5=(1-P4)=×= ,
P6=(1-P5)=×= ,
因为Pn=(1-Pn-1) ,
所以Pn-=-Pn-1-,
Pn-=P1-·,
所以Pn=-·.
5.(10分)(2020·太原模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:
10
(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).
(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:
(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了
1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:参考数据与公式≈2.63,X~N(μ,σ2)
则①P(μ-σμ-σ)=+≈0.841 4,所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.
(ii)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+≈0.977 3,得
每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977 3,
记1 000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ,则ξ~B(103,p),其中p=0.977 3,
10
于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ=k)
=pk(1-p,
从而由=>1,得k<1 001p,
而1 001p=978.277 3,所以,当0≤k≤978时,
P(ξ=k-1)
P(ξ=k), 由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 10