高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：1_1平行线等分线段定理 31页

1.1 　平行线等分线段定理 1 ．理解平行线等分线段定理及推论． 2 ． 掌握任意等分线段的方法 3. 能利用平行线等分线段定理解决简单几何问题． 1 ．平行线等分线段定理：如果一组 ________ 在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 2 ．推论 1 ：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 ________ 第三边． 3 ．推论 2 ：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 ________ 另一腰． 1 ． 平行线 2 ．平分 3 ．平分 已知线段 AB ，求作 AB 的五等分点 . 分析： 本题是平行线等分线段定理的实际应用 . 只要作射线 AM ，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，连接最后一等分的后端点 A5 与点 B ，再过其他分点作 BA5 的平行线，分别交 AB 于 C 、 D 、 E 、 F ，则 AB 就被这些平行线分成五等分了 . 解析： (1) 作射线 AM. (2) 在射线 AM 上截取 AA 1 ＝ A 1 A 2 ＝ A 2 A 3 ＝ A 3 A 4 ＝ A 4 A 5 . (3) 连接 A 5 B ，分别过 A 1 、 A 2 、 A 3 、 A 4 作 A 5 B 的平行线 A 1 C 、 A 2 D 、 A 3 E 、 A 4 F ，分别交 AB 于 C 、 D 、 E 、 F ，那么 C 、 D 、 E 、 F 就是所求作的线段 AB 的五等分点 . 如下页图所示 . 已知：如图所示， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 的中点， BE 的延长线交 AC 于点 F . 求证： AF ＝ AC . 证明： 如图，过点 D 作 DG∥BF 交 AC 于点 G . 在△ BCF 中， D 是 BC 的中点， DG∥BF ， ∴ G 为 CF 的中点，即 CG ＝ GF . 在△ ADG 中， E 是 AD 的中点， BF∥DG ， ∴ F 是 AG 的中点，即 AF ＝ FG .∴ AF ＝ AC . 点评 ： 构造基本图形法是重要的数学思想方法． 如图所示，在四边形 ABCD 中， AB ＝ CD ， E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点， BA 、 CD 的延长线分别与 EF 的延长线交于点 M 、 N . 求证：∠ AME ＝∠ CNE . 证明： 如图，连接 BD ，取 BD 的中点 G ，连接 GE 、 GF . 在△ ABD 中， ∵点 G 、 F 分别是 BD 、 AD 的中点， ∴ GF ＝ AB ， GF∥BM . 同理可证： GE ＝ CD ， GE∥CN . ∵ AB ＝ CD ，∴ GF ＝ GE . ∴∠ GEF ＝∠ GFE . ∵ GF∥BM ，∴∠ GFE ＝∠ BME . ∵ GE∥CD ，∴∠ GEF ＝∠ CNE . ∴∠ AME ＝∠ CNE . C 1 ．下列用平行线等分线段的图形中，错误的是（ ） 2 ． 如图所示， l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，直线 AB 与 l 1 、 l 2 、 l 3 相交于点 A 、 E 、 B ，直线 CD 与 l 1 、 l 2 、 l 3 相交于点 C 、 E 、 D ， AE ＝ EB ，则有 ( 　　 ) A ． AE ＝ CE 　　　　　　　 B ． BE ＝ DE C ． CE ＝ DE D ． CE ＞ DE C 3 ．如图所示， AB ∥ CD ∥ EF ，且 AO ＝ OD ＝ DF ， BC ＝ 6 ，则 BE 为 ( 　　 ) A ． 9 B ． 10 C ． 11 D ． 12 A 4. AD 是△ ABC 的高， ， M ， N 在 AB 上，且 AM = MN = NB ， ME ⊥ BC 于 E ， NF ⊥ BC 于 F ，则 FC =( ) A. B. C. D. C 5 ．在梯形 ABCD 中， M 、 N 分别是腰 AB 与腰 CD 的中点，且 AD ＝ 2 ， BC ＝ 4 ，则 MN 等于 ( 　　 ) A ． 2.5 B ． 3 C ． 3.5 D ．不确定 B 6 ．如图所示，已知 a ∥ b ∥ c ，直线 m 、 n 分别与直线 a 、 b 、 c 交于点 A 、 B 、 C 和点 A ′ 、 B ′ 、 C ′ ，如果 AB ＝ BC ＝ 1 ， A ′ B ′ ＝ ，则 B ′ C ′ ＝ ______. 7 ．顺次连接梯形各边中点连线所围成的四边形是 __________ ． 平行四边形 8 ．如图所示，在直角梯形 ABCD 中， DC ∥ AB ， CB ⊥ AB ， AB ＝ AD ＝ a ， CD ＝ ，点 E 、 F 分别为线段 AB 、 AD 的中点，则 EF ＝ ____. 解析： 连接 DE ，由于 E 是 AB 的中点，故 BE ＝ . 又 CD ＝ ， AB∥DC ， CB ⊥ AB ，∴四边形 EBCD 是矩形． 在 Rt△ ADE 中， AD ＝ a ， F 是 AD 的中点，故 EF ＝ . 答案： 9 ．如下图所示，已知 AD ∥ EF ∥ BC ， E 是 AB 的中点，则 DG ＝ ____ ，点 H 是 ______ 的中点，点 F 是 ______ 的中点． 答案： BG 　 AC 　 CD 10 ． 如图所示， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC 于点 D ， M 是 AD 的中点， CM 交 AB 于点 P ， DN ∥ CP . 若 AB ＝ 6 cm ，则 AP ＝ ____ ；若 PM ＝ 1 cm ，则 PC ＝ ______. 2 cm 11 ． 梯形中位线长 10 cm ，一条对角线将中位线分成的两部分之差是 3 cm ，则该梯形中的较大的底是 ______cm. 4 cm 13 12. 如图， F 是 AB 的中点， FG∥BC ， EG∥CD ，则 AG= .AE= ． 答案： GC ED  13. 如图所示，在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD,AD=12 cm, AC 交梯形中位线 EG 于点 F. 若 EF=4 cm ， FG=10 cm 求梯形 ABCD 的面积 . 解析： 作高 DM 、 CN ，则四边形 DMNC 为矩形． ∵ EG 是梯形 ABCD 的中位线， ∴ EG∥DC∥AB . ∴ F 是 AC 的中点． ∴ DC ＝ 2 EF ＝ 8 cm ， AB ＝ 2 FG ＝ 20 cm ， MN ＝ DC ＝ 8 cm. 在 Rt△ ADM 和 Rt△ BCN 中， AD ＝ BC ，∠ DAM ＝∠ CBN ，∠ AMD ＝∠ BNC ， ∴△ ADM ≌△ BCN . ∴ AM ＝ BN ＝ (20 － 8) ＝ 6 cm. ∴ DM ＝ ＝ ＝ 6 cm. ∴ S 梯形 ＝ EG · DM ＝ 14 × 6 ＝ 84 （ cm 2 ） . 14 ．如图所示，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， DC ⊥ BC ， E 为 AB 的中点．求证： EC ＝ ED . 证明： 过点 E 作 EF∥BC 交 DC 于点 F . 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ， ∴ AD∥EF∥BC . ∵ E 是 AB 的中点， ∴ F 是 DC 的中点． ∵∠ BCD ＝ 90° ， ∴∠ DFE ＝ 90°. ∴ EF ⊥ DC 于点 F ，且 F 是 DC 的中点， ∴ EF 是线段 DC 的垂直平分线． ∴ EC ＝ ED. ( 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 ) 1 ． 平行线等分线段定理的条件是 a 、 b 、 c 互相平行，构成一组平行线， m 与 n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线 a 、 b 、 c 相交，即被平行线 a 、 b 、 c 所截． 2 ．平行线的条数还可以更多，可以推广． 3 ．平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行．可以证明这一命题是错误的 ( 如图所示 ) ． 4 ．三角形中位线定理的内容是：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半． 5 ．梯形中位线的定义是：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，这是要强调梯形中位线是连接两腰中点的线段，而不是连接两底中点的线段的一半． 6 ．梯形中位线定理的内容是：梯形中位线平行于两底，并且等于上、下两底和的一半． 7 ．平行线等分线段定理的推论 2 ： “ 过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰 ” ，或说成 “ 过梯形一腰中点与底边平行的直线为梯形的中位线 ” ，利用它可以判定某一线段为梯形中位线． 8 ．梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位．　　 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束