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  • 2021-06-24 发布

2016届高考数学(理)5年高考真题备考试题库:第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

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‎2010~2014年高考真题备选题库 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1. (2014福建,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(  )‎ A.e1=(0,0),e2=(1,2)‎ B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)‎ C.e1=(3,5),e2=(6,10)‎ D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)‎ 解析:由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两向量均共线,都不符合基底条件,故选B(事实上,a=(3,2)=2e1+e2).‎ 答案:B ‎2. (2014四川,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.1 D.2‎ 解析: 法一:由已知得c=(m+4,‎2m+2),因为cos〈c,a〉=,cos〈c,b〉=,所以=,又由已知得|b|=2|a|,所以‎2c·a=c·b,即2[(m+4)+2(‎2m+2)]=4(m+4)+2(‎2m+2),解得m=2.‎ 法二:易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.‎ 答案:D ‎3. (2014北京,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=________.‎ 解析:∵|a|=1,∴可令a=(cos θ,sin θ),‎ ‎∵ λa+b=0.‎ ‎∴即 由sin2θ+cos2θ=1得λ2=5,得|λ|=.‎ 答案: ‎4. (2014江西,5分)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=________.‎ 解析:因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3,b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,所以|b|=2,a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e-9e1·e2+2e=9-9×1×1×+2=8,所以cos β===.‎ 答案: ‎5. (2014陕西,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.‎ ‎(1)若++=0,求| |;‎ ‎(2)设=m+n (m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.‎ 解:(1)法一:∵++=0,‎ 又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),‎ ‎∴解得x=2,y=2,‎ 即=(2,2),故||=2.‎ 法二:∵++=0,‎ 则(-)+(-)+(-)=0,‎ ‎∴=(++)=(2,2),‎ ‎∴||=2.‎ ‎(2)由题意得=(1,2),=(2,1),∵=m+n,‎ ‎∴(x,y)=(m+2n,‎2m+n),‎ ‎∴ 两式相减得,m-n=y-x,‎ 令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.‎ ‎6.(2013浙江,5分)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,恒有·≥·,则(  )‎ A.∠ABC=90°           B.∠BAC=90°‎ C.AB=AC D.AC=BC 解析:选D 本题主要考查平面向量的运算,向量的模、数量积的概念,向量运算的几何意义等,意在考查利用向量解决简单的平面几何问题的能力.设AB=4,以AB 所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,则A(-2,0),B(2,0),则P0(1,0),设C(a,b),P(x,0),∴=(2-x,0),=(a-x,b).∴=(1,0),=(a-1,b).‎ 则·≥·⇒(2-x)·(a-x)≥a-1恒成立,‎ 即x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立.‎ ‎∴Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0恒成立.∴a=0.‎ 即点C在线段AB的中垂线上,∴AC=BC.‎ ‎7.(2013辽宁,5分)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 本题主要考查向量的坐标表示.由已知, 得=(3,-4),所以||=5,因此与同方向的单位向量是=.‎ ‎8.(2013福建,5分)在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(  )‎ A. B.2 C.5 D.10‎ 解析:选C 本题考查平面向量的数量积运算、模、四边形面积等基础知识,意在考查考生对基础知识的掌握情况.依题意得,·=1×(-4)+2×2=0.所以⊥,所以四边形ABCD的面积为||·||=××=5.‎ ‎9.(2013陕西,5分)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b, 则实数m等于(  )‎ A.- B. C.-或 D.0‎ 解析:选C 本题主要考查向量平行的充要条件的坐标表示.a∥b的充要条件的坐标表示为1×2-m2=0,∴m=±.‎ ‎10.(2013山东,4分)在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90°,则实数t的值为________.‎ 解析:本题主要考查平面向量的坐标运算,考查转化思想和运算能力.=-=(3,2-t),由题意知·=0,所以2×3+2(2-t)=0,t=5.‎ 答案:5‎ ‎11.(2013北京,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,‎ μ∈R),则=________.‎ 解析:本题考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识,意在考查方程思想和考生的运算求解能力.设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j),根据平面向量基本定理得λ=-2,μ=-,所以=4.‎ 答案:4 ‎ ‎12.(2012安徽,5分)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是(  )‎ A.(-7,-)          B.(-7,)‎ C.(-4,-2) D.(-4,2)‎ 解析:画出草图,可知点Q落在第三象限,则可排除B、D;代入A,cos∠QOP===,所以∠QOP=.代入C,cos∠QOP==≠,故答案为A.‎ 答案:A ‎13.(2010新课标全国,5分)a,b为平面向量,已知a=(4,3),‎2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:由题可知,设b=(x,y),则‎2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以可以解得x=-5,y=12,故b=(-5,12),由cos〈a,b〉==.‎ 答案:C ‎14.(2011北京,5分)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b与c共线,则k=____.‎ 解析:因为a-2b=(,3),所以由(a-2b)∥c得×-3k=0,解得k=1.‎ 答案:1‎

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