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- 2021-06-24 发布
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高中数学数列复习-题型归纳-解题方法整理
+数列专题复习(综合训练篇含答案)+数学选修 2-1 练习题
数列题型归纳(附参考答案)
一、等差数列与等比数列
1.基本量的思想：
常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基
本方法。
2.等差数列与等比数列的联系
1）若数列 na 是等差数列，则数列 }{ naa 是等比数列，公比为 da ，其中 a 是常数，d 是 na 的公差。（a>0
且 a≠1）；
2）若数列 na 是等比数列，且 0na ，则数列 loga na 是等差数列，公差为 loga q ，其中 a 是常数且
0, 1a a ， q 是 na 的公比。
3）若{ }na 既是等差数列又是等比数列,则{ }na 是非零常数数列。
3.等差与等比数列的比较
等差数列 等比数列
定义 常数）为 (}{ 1 daaPAa nnn 常数）为 (}{ 1 qa
a
PGa
n
n
n
通 项
公式 na = 1a +（n-1）d= ka +（n-k）d=dn+ 1a -d kn
k
n
n qaqaa 1
1
求 和
公式
ndand
dnnnaaans n
n
)2(2
2
)1(
2
)(
1
2
1
1
)1(11
)1(
)1(
11
1
qq
qaa
q
qa
qna
s n
n
n
中 项
公式 A=
2
ba
推广：2 na = mnmn aa
abG 2 。
推广： mnmnn aaa 2
性
质 1 若 m+n=p+q 则 qpnm aaaa 若 m+n=p+q，则 qpnm aaaa 。
2 若 }{ nk 成 A.P（其中 Nkn ）则 }{ nka 也
为 A.P。
若 }{ nk 成等比数列 （其中 Nkn ），
则 }{ nka 成等比数列。
3 ． nnnnn sssss 232 ,, 成等差数列。 nnnnn sssss 232 ,, 成等比数列。
4
)(1
1 nmnm
aa
n
aad nmn
1
1
a
aq nn ，
m
nmn
a
aq )( nm
4、典型例题分析
【题型 1】 等差数列与等比数列的联系
例 1 （2010 陕西文 16）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且 a1，a3，a9 成等比数列.（Ⅰ）求
数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前 n 项和 Sn.
解：（Ⅰ）由题设知公差 d≠0，
由 a1＝1，a1，a3，a9 成等比数列得 1 2
1
d ＝ 1 8
1 2
d
d
，
解得 d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项 an＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知 2 ma =2n，由等比数列前 n 项和公式得
Sm=2+22+23+…+2n= 2(1 2 )
1 2
n
=2n+1-2.
小结与拓展：数列 na 是等差数列，则数列 }{ naa 是等比数列，公比为 da ，其中 a 是常数， d 是 na 的
公差。（a>0 且 a≠1）.
【题型 2】 与“前 n 项和 Sn 与通项 an”、常用求通项公式的结合
例 2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且 a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n 对任意的
n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。
解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*) ①
当 n≥2 时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*) ②
①－②得 2n－1an＝8，求得 an＝24－n，
在①中令 n＝1，可得 a1＝8＝24－1，
∴an＝24－n(n∈N*)． 由题意知 b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
法一（迭代法）
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
＝n2－7n＋14(n∈N*)．
法二（累加法）
即 bn－bn－1＝2n－8，
bn－1－bn－2＝2n－10，
…
b3－b2＝－2，
b2－b1＝－4，
b1＝8，
相加得 bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
＝8＋(n－1)(－4＋2n－8)
2
＝n2－7n＋14(n∈N*)．
小结与拓展：1）在数列{an}中，前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为：
)Nn,2(
)1(
1
11
nSS
nSaa
nn
n .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是
求数列通项公式的常用方法。
【题型 3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）
例 3 （2009 汕头一模）在等比数列｛an｝中，an＞0 (nN＊），公比 q(0,1)，且 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝
25，a3 与 as 的等比中项为 2。（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设 bn＝log2 an，数列｛bn｝的前 n 项和为
Sn 当 1 2
1 2
nSS S
n
最大时，求 n 的值。
解：（1）因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以， 2
3a + 2a3a5 + 2
5a ＝25
又 an＞o，…a3＋a5＝5 又 a3 与 a5 的等比中项为 2，所以，a3a5＝4
而 q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1， 1
2q ，a1＝16，所以，
1
5116 22
n
n
na
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
所以，{bn}是以 4 为首项，－1 为公差的等差数列。所以， (9 ) ,2n
n nS 9
2
nS n
n
所以，当 n≤8 时， nS
n
＞0，当 n＝9 时， nS
n
＝0，n＞9 时， nS
n
＜0，
当 n＝8 或 9 时， 1 2
1 2
nSS S
n
最大。
小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。
二、数列的前 n 项和
1.前 n 项和公式 Sn 的定义：
Sn=a1+a2+…an。
2.数列求和的方法（1）
（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）
常用公式:
1
n
k
k
1
2
1 2 3 ( 1)n n n ；
2
1
n
k
k
2 2 2 2 1
6
1 2 3 ( 1)(2 1)n n n n ；
3
1
n
k
k
3 3 3 3 2( 1)
2
1 2 3 [ ]n nn ；
1
(2 1)
n
k
k
2n1)-(2n...531 。
（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，
然后由等差、等比数列求和公式求解。
（3）倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这
个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。
（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于
1nn aa
c 其中{ na }是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）
1
1
n na a
和
1
1
n na a
（ 其 中 na 等 差 ） 可 裂 项 为 ：
1 1
1 1 1 1( )
n n n na a d a a
； 2 ）
1
1
1 1 ( )n n
n n
a ada a
。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）
常见裂项公式：
（1） 1 1 1
( 1) 1n n n n
；
（2） 1 1 1 1
( )
( )
n n k k n n k
；
（3） 1 1 1 1
( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1)( 2)
[ ]
n n n n n n n
；
（4） 1 1
( 1)! ! ( 1)!
n
n n n
（5）常见放缩公式： 2 1 21 1
1 1
2( ) 2( )n n n n
n n n n n
.
3.典型例题分析
【题型 1】 公式法
例 1 等比数列{ }na 的前ｎ项和 Sｎ＝2ｎ－p，则 22
3
2
2
2
1 naaaa ＝________.
解：1）当 n=1 时， p-2a1 ；
2）当 2n 时， 1-n1-nn
1-nnn 2p)-(2-p)-(2S-Sa 。
因为数列{ }na 为等比数列，所以 1p12p-2a 1-1
1
从而等比数列{ }na 为首项为 1，公比为 2 的等比数列。
故等比数列 2
na 为首项为 1，公比为 4q 2 的等比数列。
1)-(43
1
4-1
)4-1(1 n
n
22
3
2
2
2
1 naaaa
小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列
的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列{ }na 为等比数列，
则数列 2
na 及
na
1 也为等比数列，首项分别为 2
1a 、
1a
1 ，公比分别为 2q 、
q
1 。
【题型 2】 分组求和法
例 2 （2010 年丰台期末 18）数列{ }na 中， 1 1a ，且点 1( , )n na a ( )n N 在函数 ( ) 2f x x 的图
象上.（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；（Ⅱ）在数列 }{ na 中，依次抽取第 3，4，6，…， 12 2n ，…项，
组成新数列{ }nb ，试求数列{ }nb 的通项 nb 及前 n 项和 nS .
解：（Ⅰ）∵点 1( , )n na a 在函数 ( ) 2f x x 的图象上，∴ 1 2n na a 。
∴ 1 2n na a ，即数列 }{ na 是以 1 1a 为首项，2 为公差的等差数列，
∴ 1 ( 1) 2 2 1na n n 。
（Ⅱ）依题意知： 1
1
2 2 2(2 2) 1 2 3n
n n
nb a
∴ 1 2n nS b b b =
1 1
(2 3) 2 3
n n
i i
i i
n
=
1
12 2 3 2 3 21 2
n
nn n
.
小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然
后由等差、等比数列求和公式求解。
【题型 3】 裂项相消法
例 3 （2010 年东城二模 19 改编）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 1 4 1n nS a ，设
1 2n n nb a a ．（Ⅰ）证明数列 nb 是等比数列；
（Ⅱ）数列 nc 满足
2
1
log 3n
n
c b
*( )nN ，求 1 2 2 3 3 4 1n n nT c c c c c c c c 。
证明：（Ⅰ）由于 1 4 1n nS a ， ①
当 2n 时， 14 1n nS a ． ②
1 ②得 1 14 4n n na a a ． 所以 1 12 2( 2 )n n n na a a a ．
又 1 2n n nb a a ， 所以 12n nb b ．
因为 1 1a ，且 1 2 14 1a a a ，所以 2 13 1 4a a ．
所以 1 2 12 2b a a ．故数列 nb 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2n
nb ，则
2
1 1
log 3 3n
n
c b n
（ n *N ）．
1 2 2 3 3 4 1n n nT c c c c c c c c 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 ( 3)( 4)n n
1 1
4 4n
4( 4)
n
n
．
小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于
1nn aa
c 其中{ na }是各项不为 0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）
1
1
n na a
和
1
1
n na a
（其中 na 等差）可裂项为：
1 1
1 1 1 1( )
n n n na a d a a
；2）
1
1
1 1 ( )n n
n n
a ada a
。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）
4.数列求和的方法（2）
（5）错位相减法：适用于差比数列（如果 na 等差， nb 等比，那么 n na b 叫做差比数列）即把每一
项都乘以 nb 的公比 q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
如：等比数列的前 n 项和就是用此法推导的.
（6）累加（乘）法
（7）并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求。
（8）其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。
5.典型例题分析
【题型 4】 错位相减法
例 4 求数列 ,
2
2,,
2
6,
2
4,2
2
32 n
n 前 n 项的和.
解：由题可知{ n
n
2
2 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n2
1 }的通项之积
设 nn
nS
2
2
2
6
2
4
2
2
32 ①
1432 2
2
2
6
2
4
2
2
2
1
nn
nS ② （设制错位）
①－②得 1432 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2)2
11( nnn
nS （错位相减）
11 2
2
2
12 nn
n
∴ 12
24
nn
nS
【题型 5】 并项求和法
例 5 求 100S ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12
解： 100S ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋ 99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
【题型 6】 累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和
等等
例 6 求
1
1111111111
个n
之和.
解：由于 )110(9
199999
11111
11
k
kk
个个
（找通项及特征）
∴
1
1111111111
个n
＝ )110(9
1)110(9
1)110(9
1)110(9
1 321 n （分组求和）＝
)1111(9
1)10101010(9
1
1
321
个n
n ＝
9110
)110(10
9
1 nn
＝ )91010(81
1 1 nn
6.归纳与总结
以上一个 8 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处
理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这
一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
三、数列的通项公式
1.数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 an＝f(n)来表示，我们就把这
个公式叫做这个数列的通项公式．
2.通项公式的求法（1）
（1）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法
叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。
（2）公式法：在数列{an}中，前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系为：
)Nn,2(
)1(
1
11
nSS
nSaa
nn
n (数列{ }na 的前 n 项的和为 1 2n ns a a a ).
（3）周期数列
由递推式计算出前几项，寻找周期。
（4）由递推式求数列通项
类型 1 递推公式为 )(1 nfaa nn
解法：把原递推公式转化为 )(1 nfaa nn ，利用累加法(逐差相加法)求解。
类型 2 （1）递推公式为 nn anfa )(1
解法：把原递推公式转化为 )(1 nfa
a
n
n ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
（2）由 nn anfa )(1 和 1a 确定的递推数列 na 的通项可如下求得：
由已知递推式有 1)1( nn anfa ， 21 )2( nn anfa ， ， 12 )1( afa 依次向前代入，得
1)1()2()1( afnfnfan ，这就是叠（迭）代法的基本模式。
类型 3 递推公式为 qpaa nn 1 （其中 p，q 均为常数， )0)1(( ppq ）。
解法：把原递推公式转化为： )(1 tapta nn ，其中
p
qt
1
，再利用换元法转化为等比数列求解。
3.典型例题分析
【题型 1】 周期数列
例 1 若数列 na 满足
)12
1(,12
)2
10(,2
1
nn
nn
n
aa
aa
a ，若
7
6
1 a ，则 20a =____。
答案：
7
5 。
小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。
【题型 2】 递推公式为 )(1 nfaa nn ，求通项
例 2 已知数列 na 满足
2
1
1 a ，
nnaa nn 21
1 ，求 na 。
解：由条件知：
1
11
)1(
11
21
nnnnnn
aa nn
分别令 )1(,,3,2,1 nn ，代入上式得 )1( n 个等式累加之，即
)()()()( 1342312 nn aaaaaaaa
)1
1
1()4
1
3
1()3
1
2
1()2
11( nn
所以
naan
111
2
1
1 a ，
nnan
1
2
3112
1
小结与拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.
【题型 3】 递推公式为 nn anfa )(1 ，求通项
例 3 已知数列 na 满足
3
2
1 a ， nn an
na 11 ，求 na 。
解：由条件知
1
1
n
n
a
a
n
n ，分别令 )1(,,3,2,1 nn ，代入上式得 )1( n 个等式累乘之，即
13
4
2
3
1
2
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n 1
4
3
3
2
2
1
na
an 1
1
又
3
2
1 a ，
nan 3
2
小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.
【题型 4】 递推公式为 qpaa nn 1 （其中 p，q 均为常数， )0)1(( ppq ），
求通项
例 4 在数列{ }na 中， 1 1a ，当 2n 时，有 13 2n na a ，求{ }na 的通项公式。
解法 1：设 13( )n na m a m ，即有 13 2n na a m ，对比 13 2n na a ，得 1m ，于是得
11 3( 1)n na a ，数列{ 1}na 是以 1 1 2a 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以有 12 3 1n
na 。
解法 2：由已知递推式，得 1 13 2, 3 2,( 2)n n n na a a a n ，上述两式相减，得 1 13( )n n n na a a a ，
因此，数列 1{ }n na a 是以 2 1 4a a 为首项，以 3 为公比的等比数列。所以 1
1 4 3n
n na a
，即
13 2 4 3n
n na a ，所以 12 3 1n
na 。
小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构
造的办法有两种，一是待定系数法构造，设 1 ( )n na m p a m ，展开整理 1n na pa pm m ，比较
系数有 pm m b ，所以
1
bm p
，所以
1n
ba p
是等比数列，公比为 p ，首项为 1 1
ba p
。二是
用做差法直接构造， 1n na pa q ， 1n na pa q ，两式相减有 1 1( )n n n na a p a a ，所以 1n na a
是公比为 p 的等比数列。也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.
4.通项公式的求法（2）
（5）构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的
辅助模型，如某种数量关系，某个直观图形，或者某一反例，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这
种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通
常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无
疑是一种行之有效的构造方法.
2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项
公式.
3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
（6）归纳猜想证明法
数学归纳法
（7）已知数列 }{ na 前 n 项之积 Tn，一般可求 Tn-1，则 an＝
1－n
n
T
T （注意：不能忘记讨论 1n ）.
如：数列 }{ na 中，对所有的 Nn 都有 2
321 naaaa n ，则 53 aa __________.
四、典型例题分析
【题型 5】 构造法：1）构造等差数列或等比数列
例 5 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，对于任意正整数 n，都有等式： nnn Saa 422 成
立，求 na 的通项 na .
解： nnn Saa 422 11
2
1 42 nnn Saa ，
∴ nnnnnnn aSSaaaa 4)(422 11
2
1
2
0)2)(( 11 nnnn aaaa ，∵ 01 nn aa ，∴ 21 nn aa . 即 na 是以 2 为公差的等差数列，且
242 111
2
1 aaaa .
∴ nnan 2)1(22
小结与拓展：由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等
比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
【题型 6】 构造法：2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项
公式。
例 6 设 na 是首项为 1 的正项数列，且 01
2
1
2 nnnn nanaaa ，（n∈N*），求数列的通项公式 an.
解：由题设得 0))(( 11 naaaa nnnn .
∵ 0na ， 01 na ，∴ 01 nn aa .
∴ naa nn 1
2
)1(321)()()( 123121
nnnaaaaaaaa nnn
【题型 7】 构造法：3）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例 7 数列 na 中，
2
1
1 a ，前 n 项的和 nn anS 2 ，求 1na .
解： 1
22
1
22
1 )1()1()1( nnnnnnn ananananSSa
1
1
1
n
n
a
a
n
n ，
∴ 1
1
2
2
1
1
aa
a
a
a
a
aa
n
n
n
n
n
)1(
1
2
1
3
12
1
1
nnn
n
n
n
∴
)2)(1(
1
1 nnan
【题型 8】 构造法：4）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例 8 设正项数列 na 满足 11 a ， 2
12 nn aa （n≥2）.求数列 na 的通项公式.
解：两边取对数得： 1
22 log21log nn aa ， )1(log21log 1
22 nn aa ，设 1log2 na
nb ，
则 12 nn bb
nb 是以 2 为公比的等比数列， 11log1
21 b .
11 221 nn
nb ， 1
2 21log nan ， 12log 1
2 nan ，
∴ 12 1
2
n
na
【题型 9】 归纳猜想证明
例 9 设数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，且方程 x2－anx－an＝0 有一根为 Sn－1，n＝1，2，3，…
（Ⅰ）求 a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式
解：(Ⅰ)当 n＝1 时，x2－a1x－a1＝0 有一根为 S1－1＝a1－1
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得 a1＝1
2
当 n＝2 时，x2－a2x－a2＝0 有一根为 S2－1＝a2－1
2
，
于是(a2－1
2
)2－a2(a2－1
2
)－a2＝0，解得 a1＝1
6
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即 Sn
2－2Sn＋1－anSn＝0
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知 S1＝a1＝1
2
，S2＝a1＋a2＝1
2
＋1
6
＝2
3
由①可得 S3＝3
4
由此猜想 Sn＝ n
n＋1
，n＝1，2，3，…
下面用数学归纳法证明这个结论
(i)n＝1 时已知结论成立
(ii)假设 n＝k 时结论成立，即 Sk＝ k
k＋1
，
当 n＝k＋1 时，由①得 Sk＋1＝ 1
2－Sk
，即 Sk＋1＝k＋1
k＋2
，
故 n＝k＋1 时结论也成立
综上，由(i)、(ii)可知 Sn＝ n
n＋1
对所有正整数 n 都成立
于是当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ n
n＋1
－n－1
n
＝ 1
n(n＋1)
，
又 n＝1 时，a1＝1
2
＝ 1
1×2
，所以
｛an｝的通项公式 an＝ n
n＋1
，n＝1，2，3，……
数列高考复习(附参考答案)
———综合训练篇
一、选择题：
1． 在等差数列 na 中， 1203 1581 aaa ，则 1092 aa 的值为 （ D ）
A．18 B．20 C．22 D．24
2．等差数列 na 满足： 30,8 531 Saa ，若等比数列 nb 满足 ,, 4311 abab 则 5b 为（ B ）
A．16 B．32 C．64 D．27
3．等差数列 na 中, ,27,39 963741 aaaaaa 则数列 na 的前 9 项之和 S9 等于
（ C）A．66 B．144 C．99 D．297
4．各项都是正数的等比数列 na 的公比 q≠1，且 2a ， 32
1 a ， 1a 成等差数列，则
54
43
aa
aa
为（A ）
A．
2
15 B．
2
15 C．
2
51 D．
2
15 或
2
15
5.设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 ,3
3
6
S
S 则
6
9
S
S （ B ）
A. 2 B. 7
3 C. 8
3 D.3
6．已知等差数列 na 的前 n 项的和为 nS ，且 2 10S ， 5 55S ，则过点 ( , )nP n a 和 2( 2, )( )nQ n a n N
的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )
A. 1(2, )2 B. 1( , 2)2
C. 1( , 1)2
D.( 1, 1)
7．设 a、b、c 为实数,3a、4b、5c 成等比数列,且
a
1 、
b
1 、
c
1 成等差数列，则
a
c
c
a 的值为（ C ） A．
15
94
B．
15
94 C．
15
34 D．
15
34
8． 已知数列 na 的通项 ,13
2
3
2 11
nn
na 则下列表述正确的是 ( A )
A．最大项为 ,1a 最小项为 3a B．最大项为 ,1a 最小项不存在
C．最大项不存在，最小项为 3a D．最大项为 ,1a 最小项为 4a
9.已知 na 为等差数列， 1a + 3a + 5a =105， 2 4 6a a a =99.以 nS 表示 na 的前 n 项和，则使得 nS 达到最
大值的 n 是（B）
A．21 B．20 C．19 D．18
9．一系列椭圆都以一定直线 l 为准线，所有椭圆的中心都在定点 M，且点 M 到 l 的距离为 2，若这一系列
椭圆的离心率组成以
4
3 为首项，
3
1 为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为 ai=(i=1，2，…，n)，
设 bn=2（2n+1）·3n－2·an，且 Cn=
1
1
nnbb
，Tn=C1+C2+…+Cn，若对任意 n∈N*，总有 Tn>
90
m 恒成立，
则 m 的最大正整数为 （ B ）
A．3 B．5 C．6 D．9
二、填空题：
10．已知等差数列 na 前 n 项和 Sn=－n2+2tn，当 n 仅当 n=7 时 Sn 最大，则 t 的取值范围是
(6.5，7.5) .
11． 数列 na 的通项公式是
)(2
)(
2 为偶数
为奇数
n
nn
a nn
，则数列的前 2m（m 为正整数）项和是 2m+1+m2－
2 .
12．已知数列{ }na 满足： 4 3 4 1 21, 0, , N ,n n n na a a a n
则 2009a ________；
2014a =_________.
【答案】1，0
【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得 2009 4 503 3 1a a ， 2014 2 1007 1007 4 252 1 0a a a a .
∴应填 1，0.
13．在数列 na 和 nb 中，bn 是 an 与 an+1 的等差中项，a1 = 2 且对任意 *Nn 都有
3an+1－an = 0，则数列{bn}的通项公式 nnb 3
4 .
14． 设 P1，P2，…Pn…顺次为函数 )0(1 xxy 图 像上的点
（如图），Q1，Q2，…Qn…顺次为 x 轴上的点， 且
nnn QPQQPOQOP 122111 ,, ，…，均为等 腰直解三
角形（其中 Pn 为直角顶点）.设 Qn 的坐标为 （
*)0)(0, Nxn ， 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为
nxn 2 *)Nn .
三、解答题：
15．已知 }{ na 是等比数列，Sn 是其前 n 项的和，a1，a7，a4 成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比
数列.
15. [解法 1]由已知 .21,2,2 636
1
3
11741 qqqaqaaaaa ………………（2 分）
当 6 6 6 6
3 12 4 3 7 3 12 4 1 2 6 3 61 ,2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2q S S S S a a a S a q a q a q S S q 时
…………（4 分）
.1
)1(
1
)1()1()1( 2
66
6
1
6
3
18
63
3 SSq
qaSq
qaqSSq
………………（8 分）
当 ,)(2,6,6,3,1 2
6612316121613 SSSSaSSaSaSq 同样有时 ……（10 分）
所以， 61263 ,,2 SSSS 成等比数列.………………………………………………（12 分）
[解法 2]由已知 636
1
3
11741 21,2,2 qqqaqaaaaa ，……………（2 分）
当 ,36)12(32)(2,1 2
31314122 aaaaSSSq 时
.36)6( 2
3
2
1
2
6 aaS .)(2 2
66122 SSSS 61263 ,,2 SSSS 成等比数列.…（6 分）
当 ,22
1)1(2
1
1
1
2
1
2,1 63
3
6
3
6 qqq
q
S
Sq
时 …………………………（8 分）
∴ 61263 ,,2 SSSS 成等比数列.……………………………………………………（11 分）
综上， 61263 ,,2 SSSS 成等比数列.………………………………………………（12 分）
16.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且对任意自然数 n 总有 papS nn (),1( 为常数，且
qqnbbpp nn (2}{),1,0 中有数列 为常数）。
2
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 2211 , baba 求 p 的取值范围。
16．解：（1） )1,0(1)1( 1111 ppp
paapSa 解得
当 111 )1()(2 nnnnnnn paapaapSSan 整理得时，
故 )1,0,,2(11
ppNnnp
p
a
a
n
n …………4 分
由
1,1 1
1
p
p
a
a
p
pa
n
n
得 )()1()1(1
1
Nnp
p
p
p
p
pa nn
n ………………………………6 分
（2）由已知得 021)1(
4)1(
21 2
2
p
p
p
pq
qp
p
qp
p
并整理得消去
则 211
p
p
有 22
1 pp 或 ………………………………9 分
又 10, ( ,0) (0, ) (2, )2p p 的取值范围为 ………………12 分
16.新星家俱厂开发了两种新型拳头产品，一种是模拟太空椅，一种是多功能办公桌.2005 年该厂生产的模
拟太空椅获利 48 万元，以后它又以上年利润的 1.25 倍的速度递增；而多功能办公桌在同年获利 75
万元，这个利润是上年利润的
5
4 ，以后每年的利润均以此方式产生. 预期计划若干年后两产品利润之
和达到 174 万元. 从 2005 年起，
（I）哪一年两产品获利之和最小？
（II）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
16．
分））（时取（当且仅当）（
分，）（则
分）万元万元，办公桌获利年太空椅获利）设第解：（
5”“2120)5
4(754
548
)3..(..................................................)5
4(754
548
1......(
11
11
nyx
yx
yxn
nn
nn
n
n
n
n
nn
故第 2006 年两产品获利最小.……………………………………………………（6 分）
（II） 则有）（，又令）（令 ,4
5174)5
4(754
548 111 nnn
nn tyx
.8
25
4096
15625
4
57
8
25
1024
3125
4
56.8
25
256
625
4
55
9........................................................................................8
25
4
5
)(2
1
8
250255816
582516
1
11
1
2
n
nn
n
n
nn
tttt
tt
）时，（当
，）时，（、；当）时，（当
分）（）（
舍或
，
.7年即可超过预期计划故至少经过 …………………………………………（1 分）
17. （选做题）已 知函数 )4(44)( xxxxf 的反函数为 )(1 xf ，数列{an}满足： a1 = 1，
)(),( *1
1 Nnafa nn
，数列 123121 ,,, nn bbbbbbb 是首项为 1，公比为
3
1 的等比数列.
（Ⅰ）求证：数列 }{ na 为等差数列；
（Ⅱ）若 nnn bac ，求数列 }{ nc 的前 n 项和 Sn.
17．解：（Ⅰ） )4()2(44)( 2 xxxxxf ，
)0()2()( 21 xxxf ，…………………………………………2 分
21
1 )2()(
nnn aafa ，即
).(2 *
1 Nnaa nn ………………………………………………4 分
∴数列 1}{ 1 aan 是以 为首项，公差为 2 的等差数列 …………………………6 分
（Ⅱ）由（1）得： 12)1(21 nnan ，即
)()12( *2 Nnnan ……………………………………………………8 分
b1 = 1，当 1
1 )3
1(,2
n
nn bbn 时 ，
)()()( 123121 nnn bbbbbbbb
12 )3
1()3
1(3
11 n
).3
11(2
3
n
因而 .),3
11(2
3 *Nnb nn ……………………………………………………10 分
2
),3
11(2
3)12( nnnn nbac
)]3
12
3
5
3
3
3
1()12(531[2
3
2221 nnn
nncccS
令 nn
nT 3
12
3
3
3
1
2
①
则 1432 3
12
3
32
3
5
3
3
3
1
3
1
nnn
nnT ②
①－②，得
11122 3
12)3
11(3
1
3
1
3
12)3
1
3
1
3
1(23
1
3
2
nnnnn
nnT
.3
11 nn
nT 又 1 + 3 + 5 + … +（2n－1）= n2，
).3
11(2
3 2
nn
nnS …………………………………………………………14 分
18. 1 1( ) , (0, ) { } 1, ( );2 1 n n n
xf x x a a a f ax
（选做题）已知函数 ，数列 满足 数
1 1
1 1{ } , , { } n 1,2,3, .2 1 2 ( )n n n n
n
b b b s b nf s 列 满足 其中 为数列 前 项和，
（1） ;}{}{ 的通项公式和数列求数列 nn ba
（2） .5:,111
2211
n
nn
n TbababaT 证明设
18．解:
.211
.12
),(,12)(
1
1
1
nn
n
n
n
nn
aa
a
aa
afax
xxf
分
为公差等差数列为首项以
3.12
1
2)1(11
.211}1{
1
na
na
aa
n
n
n
分
公比为从第二项起成等比数列
又
6
2,32
1,2
1
.3,}{
,212,2
1
.3
).(2
.12
.12
12
21
1
,)(21
1,12)(
2
121
12
112
12
1
1
n
nb
b
sbb
bb
ssbb
sb
s
s
sb
sfbx
xxf
n
n
n
nn
nnnn
nn
n
n
n
n
n
n
1232
22
22
)3
1()12()3
1()32()3
1(7)3
1(53
133
1
)3
1()12()3
1(73
1513
])3
1)(12()3
1(73
1513[2
12
:)2(
nn
n
n
n
n
n
nnA
nA
nT
令
依题意证明
1
2
1232
)3
1)(12(
3
11
])3
1(1[3
1
23
)3
1()12(])3
1()3
1()3
1(3
1[2133
2
n
n
nn
n
n
nA
分
分
12.5)3
1)(12(4
3)3
1(4
35
9)3
1)(12(2
3)3
1(2
36
12
12
nn
n
nn
n
nT
nA
（2009 天津卷） 已知等差数列 na 的公差为 )0( dd ，等比数列 nb 的公比为 )1( qq .设
1 1 2 2 ......n n nS a b a b a b , *1
2211 ,)1( NnbababaT nn
n
n
（Ⅰ）若 ,3,2,111 qdba 求 3S 的值；
（Ⅱ）若 11 b ，证明：
2
*
2 2 2
2 (1 )(1 ) (1 ) ,1
n
n n
dq qq S q T n Nq
（Ⅲ ）若 正整数 n 满足 2 n q ，设 1 2 1 2, ,..., , ,..., 1 2 ...n nk k k l l l和 是 ，，，n 的两 个不同 的排列 ，
1 21 1 2 ... nk k k nc a b a b a b ，
1 22 1 2 ... nl l l nc a b a b a b 证明 1 2c c 。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算能
力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分 14 分。
（Ⅰ）解：由题设，可得 1 *2 1, 3 ,n
n na n b n N
所以， 3 1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 5 9 55S a b a b a b
（Ⅱ）证明：由题设可得 1n
nb q 则
2 2 1
2 1 2 3 2..... ,n
n nS a a q a q a q ①
2 3 2 1
2 1 2 3 4 2..... ,n
n nT a a q a q a q a q ②
①式减去②式，得
3 2 1
2 2 2 4 22( ... )n
n n nS T a q a q a q
①式加上②式，得
2 2 2
2 2 1 3 2 12( .... )n
n n nS T a a q a q
③
③式两边同乘 q，得
3 2 1
2 2 1 3 2 1( ) 2( .... )n
n n nq S T a q a q a q
所以，
2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) ( ) ( )n n n n n nq S q T S T q S T
3 2 1
2
*
2
2 ( )
2 (1 ) ,1
n
n
d q q q
dq q n Nq
K
(Ⅲ)证明：
1 1 2 21 2 1 2( ) ( ) ( )n nk l k l k l nc c a a b a a b a a b K
1
1 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( ) n
n nk l db k l db q k l db q K
因为 10, 0,d b 所以
11 2
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) n
n n
c c k l k l q k l qdb
K
（1） 若 n nk l ，取 i=n
（2） 若 n nk l ，取 i 满足 i ik l 且 , 1j jk l i j n
由（1）,(2)及题设知，1 i n 且
2 11 2
1 1 2 2 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )i i
i i i i
c c k l k l q k l q k l qdb
K
1 当 i ik l 时，得 1, 1, 1,2,3..... 1i i i ik l q n k l q i i 由 ，得
即 1 1 1k l q ， 2 2( ) ( 1)k l q q q …， 2 2
1 1( ) ( 1)i i
i ik l q q q
又 1 1( ) ,i i
i ik l q q 所以
1
2 11 2
1
1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1
i
i ic c qq q q q q q qdb q
K
因此 1 2 1 20,c c c c 即
2 当 i ik l 同理可得 1 2
1
1c c
db
，因此 1 2c c
综上， 1 2c c
常用逻辑用语(附参考答案)
一、选择题
1．命题“如果 x≥a2+b2,那么 x≥2ab”的逆否命题是( )
A．如果 x4；
2
2
1 02 3 1
x x
x x
+ + ³- +
，则非 p 是非 q 的______ ___条件．
三、解答题
10．求证：a+2b=0 是直线 ax+2y+3=0 和直线 x+by+2=0 互相垂直的充要条件．
11．已知集合 A={x|x23x+2=0}，B={x|x2mx+2=0}，若 A 是 B 的必要不充分条件，求实数 m 范围．
12．给定两个命题, P ：对任意实数 x 都有 012 axax 恒成立；Q ：关于 x 的方程 02 axx 有
实数根；如果 P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数 a 的取值范围．
常用逻辑用语答案
14 CACC
5．如果 a2≠1,那么 a≠1 6．充分必要条件 7．a0Z,a0 没有正因数
8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要
10．充分性：当 b=0 时，则 a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当 b≠0 时，两直线的斜率分
别是 k1=a
2
,k2=1
b
,由 a+2b=0,k1k2=(a
2
)(1
b
)=1,两直线互相垂直．
必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则 k1k2=(a
2
)(1
b
)=1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率
不存在，且互相垂直，则 b=0,且 a=0，∴a+2b=0．
11、A={1，2}，A 是 B 的必要不充分条件，即 B≠A．所以 B=、B={1}或{2}，
当 B=φ时，△=m28<0，∴ 22m22 ．
当 B={1}或{2}时，
02m2402m1
0
或 ，m 无解．综上所述 22m22 ．
12．解：P 真：对任意实数 x 都有 012 axax 恒成立a=0 或 a>0
<00≤a<4;
q 真：关于 x 的方程 02 axx 有实数根14a≥0a≤1
4
；
如果 P 正确，且 Q 不正确，有 0≤a<4,且 a>1
4,∴1
40
<00≤a<4;
q 真：关于 x 的方程 02 axx 有实数根14a≥0a≤1
4
；
如果 P 正确，且 Q 不正确，有 0≤a<4,且 a>1
4
,∴1
4
=60,则| a→2
5
( a→+2 b→)|=________.
三．解答题
9．若向量( a→+3 b→)(7 a→5 b→)，( a→4 b→)(7 a→2 b→)，求 a→与 b→的夹角．
10 ． 设 1 2 3 42 3 2 2 3 3 2 5 ， ， ，a i j k a i j k a i j k a i j k ， 试 求 实 数 ， ， ， 使
4 1 2 3a a a a 成立．
11．正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面边长为 a ，侧棱长为 2a ，求 1AC 与侧面 1 1ABB A 所成的角．
12．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1AD AA ， 2AB ，点 E 在棱 AB 上移动，问 AE 等于何值时，二
面角 1D EC D 的大小为
4
．
空间向量练习题答案
一．选择题 DDBBA
二．填空题 6．3 7．3 8．6
5
三．解答题
9．由已知向量垂直列方程，解得 a→2= b→2=2 a→ b→,∴cos< a→, b→>=1
2,∴ a→与 b→夹角为 60．
10．由 4 1 2 3a a a a 成立，可建立方程组，解得 2 1 3v ， ， ．
11．以 A 为原点，分别以CA→，AB→，AA1
→ 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, 2a),C1( 3
2
a,1
2
a, 2a),由于 n→=(1,0,0)是面 1 1ABB A 的法向量，
计算得 cos=1
2
,∴=60．故 1AC 与侧面 1 1ABB A 所成的角为 30．
12．设 AE x ，以 D 为原点，分别以DA→，DC→，DD1
→ 为 x y z， ， 轴建立空间直角坐标系，
可求得平面 1D EC 的法向量为 n→=(2x,1,2)．依题意
2
π 2 2 2cos 4 2 2( 2) 5x
．
2 3x ∴ （ 2 3x 舍去）． 2 3AE ∴ ．
空间向量练习题答案
一．选择题 DDBBA
二．填空题 6．3 7．3 8．6
5
三．解答题
9．由已知向量垂直列方程，解得 a→2= b→2=2 a→ b→,∴cos< a→, b→>=1
2
,∴ a→与 b→夹角为 60．
10．由 4 1 2 3a a a a 成立，可建立方程组，解得 2 1 3v ， ， ．
11．以 A 为原点，分别以CA→，AB→，AA1
→ 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(0,a,0),A1(0,0, 2a),C1( 3
2
a,1
2
a, 2a),由于 n→=(1,0,0)是面 1 1ABB A 的法向量，
计算得 cos=1
2,∴=60．故 1AC 与侧面 1 1ABB A 所成的角为 30．
12．设 AE x ，以 D 为原点，分别以DA→，DC→，DD1
→ 为 x y z， ， 轴建立空间直角坐标系，
可求得平面 1D EC 的法向量为 n→=(2x,1,2)．依题意
2
π 2 2 2cos 4 2 2( 2) 5x
．
2 3x ∴ （ 2 3x 舍去）． 2 3AE ∴ ．
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