高中数学选修2-2教案第五章 章末复习课 4页

题型一　分类讨论思想的应用 例1　实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？‎ ‎(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．‎ 解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.‎ ‎(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．‎ ‎(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．‎ ‎(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．‎ 反思与感悟　当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．‎ 跟踪训练1　(1)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　)‎ A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2‎ C．a≠－1 D．a≠2‎ 答案　C 解析　若一个复数不是纯虚数，则该复数是一个虚数或是一个实数．当a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数，解得a≠－1且a≠2；当a2－a－2＝0且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数，解得a＝2.综上所述，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．‎ ‎(2)实数x取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．‎ 解　①当x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；‎ ‎②当x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；‎ ‎③当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2时，复数z是纯虚数；‎ ‎④当x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3时，复数z为零．‎ 题型二　数形结合思想的应用 例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.‎ 解　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．‎ ‎∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，‎ ‎∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，‎ 即 解得或.‎ ‎∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.‎ 反思与感悟　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现且它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．‎ 跟踪训练2　已知复数z1＝i(1－i)3.‎ ‎(1)求|z1|；‎ ‎(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．‎ 解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.‎ ‎(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.‎ 题型三　转化与化归思想的应用 例3　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ 解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.‎ 又＝＝(x－2i)(2＋i)‎ ‎＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，‎ ‎∴x＝4.∴z＝4－2i，‎ 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．‎ ‎∴，解得2