2020-2021学年高一数学单元复习真题训练：一元二次函数、方程和不等式 5页

2020-2021 学年高一数学单元复习真题训练：一元二次函数、方 程和不等式 1．（ 2020•梅州二模）若1 푎 ≥ 1 푏 ＞0，有下列四个不等式：①a3＜b3；②loga+23＞logb+13；③√푏 − √푎 ＜√푏 − 푎；④a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【解析】根据 1 푎 ≥ 1 푏 ＞0，不妨取 a＝2，b＝3，则②④不成立，故 ACD 不正确．故选：B． 2．（ 2020•辽宁三模）若 4x+4y＝1，则 x+y 的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，﹣∞） C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞） 【答案】A 【解析】由基本不等式可得，若 4x+4y＝1，有 1＝4x+4y≥2√4푥 ⋅ 4푦 =2√4푥+푦， 即 4x+y≤ 1 4 =4﹣1，根据指数函数 y＝4x 是单调递增函数可得，x+y≤﹣1， 故 x+y 的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A． 3．（ 2020•葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5 关于直线 ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称， 则2 푎 + 1 푏的最小值为（ ） A．4 B．4√2 C．9 D．9√2 【答案】C 【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线 ax+by﹣1＝0，则 2a+b＝1， 又因为 a＞0，b＞0，所以2 푎 + 1 푏 =（2 푎 + 1 푏）（ 2a+b）＝5+ 2푏 푎 + 2푎 푏 ≥5+4＝9， 当且仅当2푏 푎 = 2푎 푏 且 2a+b＝1 即 a= 1 3，b= 1 3时取等号，此时取得最小值 9．故选：C． 4．（ 2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世 西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证 明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF⊥AB， 设 AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A．푎+푏 2 ≥ √푎푏(푎＞푏＞0) B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0） C．2푎푏 푎+푏 ≤ √푎푏(푎＞푏＞0) D．푎+푏 2 ≤ √푎2+푏2 2 （a＞b＞0） 【答案】D 【解析】由图形可知：OF= 1 2 퐴퐵 = 1 2 (푎 + 푏)，OC= 1 2 (푎 + 푏) − 푏 = 1 2 (푎 − 푏)， 在 Rt△OCF 中，由勾股定理可得：CF= √(푎+푏 2 )2 + (푎−푏 2 )2 = √1 2 (푎2 + 푏2)，∵CF≥OF， ∴√1 2 (푎2 + 푏2) ≥ 1 2 (푎 + 푏)，（ a，b＞0）．故选：D． 5．（ 2020•武汉模拟）若 0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则 x、y、z 的大小关系为（ ） A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x 【答案】A 【解析】因为 0＜a＜b＜1，故 f（x）＝bx 单调递减；故：y＝ba＞z＝bb，g（x）＝xb 单调递增； 故 x＝ab＜z＝bb，则 x、y、z 的大小关系为：x＜z＜y；故选：A． 6．（ 2020•河南模拟）已知区间（a，b）是关于 x 的一元二次不等式 mx2﹣2x+1＜0 的解集，则 3a+2b 的最小值是（ ） A．3+2√2 2 B．5 + 2√6 C．5 2 + √6 D．3 【答案】C 【解析】∵（a，b）是不等式 mx2﹣2x+1＜0 的解集， ∴a，b 是方程 mx2﹣2x+1＝0 的两个实数根且 m＞0，∴a+b= 2 푚，ab= 1 푚， ∴푎+푏 푎푏 = 1 푎 + 1 푏 =2；且 a＞0，b＞0； ∴3a+2b= 1 2•（ 3a+2b）•（1 푎 + 1 푏）= 1 2•（ 5+ 2푏 푎 + 3푎 푏 ）≥ 1 2（5+2√2푏 푎 ⋅ 3푎 푏 ）= 1 2（5+2√6）， 当且仅当√2b= √3a 时“＝”成立； ∴3a+2b 的最小值为1 2（5+2√6）= 5 2 + √6．故选：C． 7．（ 2020•海南）已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，则（ ） A．a2+b2≥ 1 2 B．2a﹣b＞ 1 2 C．log2a+log2b≥﹣2 D．√푎 + √푏 ≤ √2 【答案】ABD 【解析】①已知 a＞0，b＞0，且 a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则푎2 + 푏2 ≥ 1 2，故 A 正确． ②利用分析法：要证2푎−푏＞ 1 2，只需证明 a﹣b＞﹣1 即可，即 a＞b﹣1，由于 a＞0，b＞0，且 a+b ＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故 B 正确． ③푙표푔2푎 + 푙표푔2푏 = 푙표푔2푎푏 ≤ 푙표푔2(푎+푏 2 )2 = −2，故 C 错误． ④由于 a＞0，b＞0，且 a+b＝1， 利用分析法：要证√푎 + √푏 ≤ √2成立，只需对关系式进行平方，整理得푎 + 푏 + 2√푎푏 ≤ 2，即 2√푎푏 ≤ 1， 故√푎푏 ≤ 1 2 = 푎+푏 2 ，当且仅当 a＝b= 1 2时，等号成立．故 D 正确． 故选：ABD． 8．（ 2020•天津）已知 a＞0，b＞0，且 ab＝1，则 1 2푎 + 1 2푏 + 8 푎+푏的最小值为 4 ． 【答案】4 【解析】a＞0，b＞0，且 ab＝1，则 1 2푎 + 1 2푏 + 8 푎+푏 = 푎+푏 2푎푏 + 8 푎+푏 = 푎+푏 2 + 8 푎+푏 ≥2√푎+푏 2 ⋅ 8 푎+푏 =4， 当且仅当푎+푏 2 = 8 푎+푏，即 a＝2+√3，b＝2−√3或 a＝2−√3，b＝2+√3 取等号， 故答案为：4 9．（ 2020•江苏）已知 5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则 x2+y2 的最小值是 4 5 ． 【答案】4 5 【解析】方法一、由 5x2y2+y4＝1，可得 x2= 1−푦4 5푦2 ， 由 x2≥0，可得 y2∈（0，1]， 则 x2+y2= 1−푦4 5푦2 +y2= 1+4푦4 5푦2 = 1 5（4y2+ 1 푦2）≥ 1 5•2√4푦2 ⋅ 1 푦2 = 4 5，当且仅当 y2= 1 2，x2= 3 10， 可得 x2+y2 的最小值为4 5； 方法二、4＝（5x2+y2）• 4y2≤（5푥2+푦2+4푦2 2 ）2= 25 4 （x2+y2）2，故 x2+y2≥ 4 5， 当且仅当 5x2+y2＝4y2＝2，即 y2= 1 2，x2= 3 10时取得等号，可得 x2+y2 的最小值为4 5． 故答案为：4 5． 10．（ 2019•天津）设 x∈R，使不等式 3x2+x﹣2＜0 成立的 x 的取值范围为 （﹣1，2 3） ． 【答案】（﹣1，2 3） 【解析】3x2+x﹣2＜0，将 3x2+x﹣2 分解因式即有：（x+1）（ 3x﹣2）＜0；（ x+1）（ x− 2 3）＜0； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜ 2 3； 即：{x|﹣1＜x＜ 2 3}；或（﹣1，2 3）；故答案为：（﹣1，2 3）； 11．（ 2019•天津）设 x＞0，y＞0，x+2y＝4，则(푥+1)(2푦+1) 푥푦 的最小值为 9 2 ． 【答案】9 2 【解析】x＞0，y＞0，x+2y＝4， 则(푥+1)(2푦+1) 푥푦 = 2푥푦+푥+2푦+1 푥푦 = 2푥푦+5 푥푦 =2+ 5 푥푦； x＞0，y＞0，x+2y＝4， 由基本不等式有：4＝x+2y≥2√2푥푦，∴0＜xy≤2， 5 푥푦 ≥ 5 2， 故：2+ 5 푥푦 ≥2+ 5 2 = 9 2；（当且仅当 x＝2y＝2 时，即：x＝2，y＝1 时，等号成立）， 故(푥+1)(2푦+1) 푥푦 的最小值为9 2；故答案为：9 2．