【数学】2019届一轮复习人教A版理第6章第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案 10页

第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ ‎(对应学生用书第93页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎[知识拓展]　利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C＞0或Ax＋By＋C＜0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)＜0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)‎ ‎(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ ‎(4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为(　　)‎ A．0　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ D　[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z.‎ 作出直线y＝－x，并平移该直线，‎ 当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．‎ 由图知A(3,0)，故zmax＝3＋0＝3.故选D．]‎ ‎4．若点(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，则m 的取值范围是________．‎ ‎(1，＋∞)　[∵点(m,1)在不等式2x＋3y－5＞0所表示的平面区域内，∴2m＋3－5＞0，即m＞1.]‎ ‎5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________. 【导学号：97190195】‎ ‎1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，‎ 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，‎ 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，‎ 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，‎ ‎∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]‎ ‎(对应学生用书第93页)‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎　(1)(2018·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)‎ A．　　　B．　　　C．2　　　D．2 ‎(2)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为(　　)‎ A．－3 B．－2 ‎ C．－1 D．0‎ ‎(1)B　(2)C　[‎ ‎(1)作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2,0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝，故选B．‎ ‎(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C．]‎ ‎[规律方法]　确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式.若满足不等式，则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即为各不等式所表示的平面区域的公共部分.‎ (2)当不等式中不等号为≥或≤时，边界为实线，不等号为＞或＜时，边界应画为虚线，若直线不过原点，特殊点常取原点.‎ ‎[跟踪训练]　若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． B　[‎ 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组 求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B．]‎ 线性规划中的最值问题 ‎◎角度1　求线性目标函数的最值 ‎　(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)‎ A．－15 B．－9 C．1 D．9‎ A　[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故选A．]‎ ‎◎角度2　求非线性目标函数的最值 ‎　(2018·济南一模)若变量x，y满足约束条件则的最大值为(　　)‎ A．1 B．3 C． D．5‎ C　[在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以(1,1)，，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)，表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点与原点的连线斜率最大，即的最大值为＝，故选C．]‎ ‎◎角度3　线性规划中的参数问题 ‎　(2017·河南安阳一模)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　) ‎ ‎【导学号：97190196】‎ A． B． C．4 D． B　[作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，‎ 平移直线y＝－2x，‎ 由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，‎ 此时z最大，‎ 由解得 即A(1,1)，zmax＝2×1＋1＝3，‎ 当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由解得 即B(a，a)，zmin＝2×a＋a＝3a，‎ ‎∵z的最大值是最小值的4倍，‎ ‎∴3＝4×3a，即a＝，故选B．]‎ ‎[规律方法]　1.求目标函数最值的解题步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；‎ (2)平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；最优解一般在封闭图形的边界或顶点处取得.‎ (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.‎ ‎2.常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z＝ax＋by.‎ 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.‎ (2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.‎ (3)斜率型：形如z＝.‎ 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.‎ ‎[跟踪训练]　(1)(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0] B．[－3,2]‎ C．[0,2] D．[0,3]‎ ‎(2)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)‎ A．4 B．9‎ C．10 D．12‎ ‎(3)(2017·石家庄质检(一))若x，y满足，且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎(1)B　(2)C　(3)D　[(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．‎ 由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.‎ 所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．‎ 故选B．‎ ‎(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C．‎ ‎(3)若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2,4)，B，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当m＝时，经检验不符合题意，故m＝2，选D．]‎ 线性规划的实际应用 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3‎ ‎ kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ ‎216 000　[设生产产品A x件，产品B y件，则 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．‎ 当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]‎ ‎[规律方法]　解线性规划应用题的步骤 (1)设变量.(2)列约束条件.(3)建目标函数.(4)画可行域.(5)求最优解.(6)作答.‎ ‎[跟踪训练]　某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]‎