浙江省临海市乐清市新昌县2020届高三选考模拟考试数学试题 20页

‎2020年高考数学模拟试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．双曲线的渐近线方程是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．若实数满足约束条件，则的最大值是 A． B．　　　C． D．‎ ‎4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎5．已知是等差数列，，为数列的 前项和，且，则的最大值为 A． B．　　　C． D．‎ ‎6．在中，角，，所对的边分别是，，，则“”是“‎ 为等腰三角形”的 A．充分不必要条件 　 B．必要不充分条件　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知随机变量满足，，且，令随机变量 ‎，则 A． ‎ B．　C． D．‎ ‎8．已知函数的部分图象如图所示，则 A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ 9． 已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎10．如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ 非选择题部分（共110分）‎ 二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。‎ ‎11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上 一层灯数的2倍．请问塔顶层有 ▲ 盏灯，塔底层有 ▲ 盏灯． ‎ ‎12．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部是 ▲ ，= ▲ ． ‎ ‎13．已知多项式，则 ▲ ， ▲ ．‎ ‎14．已知圆，过点作两条互相垂直的直线，，其中交该圆于，两点，交该圆于，两点，则的最小值是 ▲ ，的最大值是 ▲ ．‎ ‎15．新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有 ▲ 种不同安排方法．（用数字作答）‎ 16． 已知，若函数在区间上存在最小值，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎17．已知三边长分别为，，，是平面内任意一点，则 的最小值是 ▲ ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本小题满分14分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；　（Ⅱ）求在上的最大值，并求此时的值．‎ ‎19．（本小题满分15分）如图，已知三棱锥中，平面平面，‎ ‎，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．‎ 20． ‎（本小题满分15分）已知数列满足：，. 正 项数列满足：对每个，，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：．‎ 20． ‎（本小题满分15分）已知点是抛物线的焦点，是其准线上任意一点，‎ 过点作直线，与抛物线相切，，为切点，，与轴分别交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求焦点的坐标，并证明直线过点；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最小值．‎ ‎22．（本小题满分15分）已知，设函数，． ‎（Ⅰ）试讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设函数，是否存在实数，使得存在两个极值点，，且 满足？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 注：.‎ ‎2020年高考模拟试题数学参考答案 一、选择题 ‎ ‎ ADCBD ACBAD 二、填空题 ‎ 11．， 12．， 13．，‎ ‎ 14．， 15． 16． 17．‎ 三、解答题 ‎18．解：‎ ‎19.解法一：‎ ‎（1）取的中点，的中点，连，，.‎ ‎， ………………………………………1’‎ 又，是的中点 ‎ ‎， ………………………………………2’‎ ‎ 又 又 ‎ ‎ ……………………………4’‎ 又 面，……………………………6’ ‎ ‎（2） 由①知面，面面且交于， ‎ 过作垂足为，即是到面的距离 ……………………………9’‎ ‎， ………………………12’‎ 又是的中点，到面的距离 …… …………………14’ ‎ 与面所成角的正弦值为 ……………………………15’‎ 解法二：（1）取的中点，连、‎ ‎ ，，， ‎ 又面面且交于 面， ………………………2’‎ ‎，，又 ‎，……………………………………4’‎ 面，. ………………………………………6’ ‎ ‎（2） 过作交其延长线于 面面且交于 面，连可得 ………………………………………8’‎ 又，‎ ‎，， ‎ 又，……………………10’‎ ‎，‎ ‎ ………………………………………12’‎ 令到面的距离为，则 ‎， ………………………14’‎ 与面所成角的正弦值为 ……………………………15’‎ 解法三：（1）取的中点，建立如图所示的坐标系 由已知可得 ‎， ………………………………………3’‎ ‎，‎ ‎ ………………………………………6’‎ ‎（2）由（1）可知………………………9’‎ 设面的法向量为则 令，则，， ………………………………………12’‎ 与面所成角的正弦值为 ………………………………………15’‎ ‎20.解：（Ⅰ）解法一：由已知可得 ‎ ‎ 时， （2分）‎ ‎，又 ‎ ‎ （3分） ‎ 解法二：，即 为常数列，， （2分）‎ 又 （3分）‎ 又 （为奇数） （5分）‎ 又是等比数列 ‎ ‎ ‎（是偶数） ‎ 综上可得 （7分）‎ ‎（Ⅱ）先证 证法一 直接放缩、裂项相消求和 时，，显然成立。 （8分）‎ 时， 时， （9分） ‎ ‎ ‎ ‎ （11分)‎ 证法二 分奇偶讨论 时，，显然成立。 （8分）‎ 时，①为偶数时， ‎ ‎ （9分）‎ ‎ （10分)‎ ‎②为奇数时， （11分) ‎ 再证 ‎ 证法一（数学归纳法）‎ ‎①时，左边，右边，成立； （12分）‎ ‎②假当时，命题成立，即，‎ 则当时，‎ 因为不论为奇数、偶数，都满足 （13分）‎ 所以当时，‎ 只需即可， 只需；‎ 只需；只需；只需；‎ 显然成立，故当时也成立。‎ 综上所述，不等式在且时均成立。 （15分）‎ 证法二（分析法证明）‎ 令，为数列的前项和。‎ 只需要证，且（时）‎ ① ‎，，显然成立。 （12分）‎ ‎②时，不论为奇数偶数都有， （13分）‎ ‎，则也成立。‎ 综上所述，不等式在且时均成立。 （15分）‎ 证法三（放缩法证明）‎ ‎①时，左边，右边，成立； （12分）‎ ‎②时， （13分）‎ ‎ （14分）‎ ‎ ‎ ‎ （15分）‎ 证法四（分奇偶讨论证明）‎ 时均成立。（证明略） （12分）‎ 当时，①为偶数时， ‎ ‎ （13分）‎ ‎ （14分） ‎ ① 为奇数时，同理 ‎ ‎ （15分）‎ ‎21．（I）解法一： 1分 设，则即 同理. 4分 又在上,则,所以 6分 所以直线过焦点F. 7分 ‎（I）解法二： 1分 设AB直线方程 为 则由 得 所以 2分 过A的切线方程为 ‎ 过B的切线方程为 4分 所以交点P的坐标为 因为P在直线上，所以 6分 所以 即直线过焦点 7分 ‎（II）由（I）知,代入得 则, ‎ 则,9分 到AB的距离,所以 由（1）知,则,‎ 所以,令 则 在上是增函数,‎ 则四边形面积的最小值为3 15分 ‎22.解：（1）的定义域为 ‎== …………2分 （i） 若,则，所以在递增，递减 …… 3分 （ii） 若，则在递增，递减，在递增 ‎ ‎ …………4分 （iii） 若,则在递增; 5分 （iv） 若，则在递增，在递减，在递增 ‎ ‎…… ‎ ‎6分 ‎ ‎（2）解法一： ,‎ ‎， 若有两极值点，‎ 则有两解 且 所以 ……8分 令，则 若则 ……10分 令 ‎， ‎ ‎ ‎ 所以在递增，在递减 …………12分 又 则在区间内存在使得 函数y=m(x)在单调递增，在单调递减 ‎ 由，所以当时满足 …………14分 ‎，所以 即实数的取值范围为 …………15分 解法二： ,‎ ‎， 若有两极值点，‎ 则有两解 且，所以 ……8分 即 ‎ 由方程，得，令，，则，‎ ‎…………10分 令，求导，‎ 令，得到，所以在上单调递增，在单调递减.‎ ‎…………13分 又，，所以由，即，解得. 故实数的取值范围是.‎ ‎…………15分