- 1.88 MB
- 2021-06-24 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2019-2020学年第一学期高二期末联考
数 学(文)试 题
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别求出集合A,B,由此能求出.
【详解】解:集合,
,
.
故选:B.
【点睛】本题主要考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.抛物线的准线方程为
A. x=2 B. x=2 C. y=2 D. y=2
【答案】C
【解析】
本题考查抛物线性质.
点拨:准线方程为.
解答:根据抛物线方程的特征,,准线方程为,故选C.
3.下列结论中错误的是( )
A. 命题“若,则且”的否命题是“若,则或”
B. 命题,使得的否定为
C. 命题“若,则方程有实根”的逆否命题是真命题
D. 若,则使的解是或
【答案】B
【解析】
【分析】
利用四种命题的否命题判断A的正误;命题的否定判断B的正误;四种命题的逆否关系判断C正误,利用二次不等式解集判断D正误
【详解】“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”,满足命题的否命题的形式,A正确;
命题,使得的正确否定, B正确;
命题“若m>0,则方程x2+x﹣m=0,△=1+4m>0,故原命题是真命题,则逆否命题是真命题,故C准确
利用二次不等式解法若,则使的解是或,D准确
故选:B
【点睛】本题主要考查命题的真假判断,以及四种命题的真假关系的判断,比较基础.
4.若直线与直线垂直,则实数的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出.
【详解】∵与直线垂直,
∴
解得=或.
故选:D.
【点睛】本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.已知是定义在上的奇函数,且当时,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由f(﹣4)=﹣f(4),结合已知代入即可求解.
【详解】y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x+1,
则f(﹣4)=﹣f(4)=﹣17.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值,属于基础试题.
6.的内角所对边分别为若,成等差数列,则( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
B,A,C成等差数列,可得2A=B+C=π﹣A,解得A.利用正弦定理可得sinB,即可得出.
【详解】∵B,A,C成等差数列,
∴2A=B+C=π﹣A,
解得A.
则sinB,
又a>b,∴B为锐角.
∴B.
故选:A.
【点睛】本题考查了正弦定理、三角函数求值、等差数列的性质、三角形内角和定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7.已知圆:与直线相交于两点.若为正三角形,则实数的值为( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,将圆C的方程变形为标准方程,分析其圆心与半径,求出圆心到直线的距离d,由直线与圆的位置关系分析可得圆心C到直线的距离dr,解可得m的值,即可得答案.
【详解】圆:化为标准方程是;
则圆心,半径为(其中);
所以圆心到直线的距离为
,在等边三角形中得,,
解得.
故选:A
【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用,涉及圆的弦长公式的应用,关键是掌握圆的标准方程的形式.
8.使函数满足:对任意的,都有
”的充分不必要条件为( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
分情况讨论在R上单调减及在单调增结合分段函数单调性求解充要条件再判断即可
【详解】当时,在上递减,在递减,且在上递减,
若上递减,在上递增,任意,都有,
当不合题意,故函数满足:对任意的,都有”的充分必要条件为或则或是充分不必要条件
故选:B
【点睛】本题考查分段函数的单调性,考查分类讨论思想,准确判断每段函数的单调性是关键,是中档题
9.已知直线及两点,若直线与线段相交,则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定直线系恒过的定点,画出图形,即可利用直线的斜率求出a的范围.
【详解】因为直线过定点,根据题意画出几何图形如下图所示:
因为
则,
若直线与线段相交,斜率为.
故选:A
【点睛】本题考查恒过定点的直线系方程的应用,直线与直线的位置关系,考查数形结合与计算能力.
10.已知数列的前项和为,,若存在两项,使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得an=2n.求得m+n=6,(m+n)()(3),运用基本不等式,检验等号成立的条件,即可得到所求最小值.
【详解】Sn=2an﹣2,可得a1=S1=2a1﹣2,即a1=2,
n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2,又Sn=2an﹣2,
相减可得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1,
{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
所以an=2n.
aman=64,即2m•2n=64,
得m+n=6,
所以(m+n)()(3)(3+2),
当且仅当时取等号,即为m,n.
因为m、n取整数,所以均值不等式等号条件取不到,则(3+2),
验证可得,当m=2,n=4,或m=3,n=3,,取得最小值为.
故选:B.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,考查基本不等式的运用,注意检验等号成立的条件,考查化简运算能力,属于中档题.
11.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,已知鳖臑的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积.
【详解】解:由三视图还原原几何体如图,
该几何体为三棱锥,底面是直角三角形,底面.则.扩展为长方体,
它的对角线的PB即为球的直径:
该三棱锥的外接球的表面积为:41π
故选:A
【点睛】本题考查三视图,几何体的外接球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.
12.设分别为双曲线的左、右顶点,是双曲线上不同于的一点,直线的斜率分别为,则当取最小值时,双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求得直线AP及PB斜率,可得mn,再根据基本不等式可得a2=3b2=3(c2﹣a2),即可求出
【详解】设,则 ,
因此 当且仅当时,.
故选:D
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,基本不等式,考查计算能力,属于中档题.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若,满足约束条件,则的最大值为_____________.
【答案】6
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的约束条件,画出相应的可行域,再将目标函数化成斜截式,之后在图中画出直线,在上下移动的过程中,结合的几何意义,可以发现直线过B点时取得最大值,联立方程组,求得点B的坐标代入目标函数解析式,求得最大值.
【详解】根据题中所给的约束条件,画出其对应的可行域,如图所示:
由,可得,
画出直线,将其上下移动,
结合的几何意义,可知当直线在y轴截距最大时,z取得最大值,
由,解得,
此时,故答案为6.
点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,在求解的过程中,首先需要正确画出约束条件对应的可行域,之后根据目标函数的形式,判断z的几何意义,之后画出一条直线,上下平移,判断哪个点是最优解,从而联立方程组,求得最优解的坐标,代入求值,要明确目标函数的形式大体上有三种:斜率型、截距型、距离型;根据不同的形式,应用相应的方法求解.
14.已知数列中,,,则的值是____________
【答案】
【解析】
【分析】
利用数列的递推关系式求出数列的前几项,得到数列的周期,然后求解即可.
【详解】数列,
可得a2=﹣3;a3;a4;所以数列的周期为3,
a2020=a673×3+1=a1.
故答案为:.
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,求解数列的周期是解题的关键,是基本知识的考查.
15.已知在上连续可导,为其导函数,且,则在处的切线方程为________________
【答案】
【解析】
【分析】
求导得斜率,利用点斜式求解直线方程
【详解】由题意, ,所以,
因此,所以,易知切线为
故答案为:
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查切线方程求法,是基础题
16.已知函数,若关于x的方程有3个不同的实数解,则的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】
通过求导,画出函数的图象,由二次函数对称性得,求得即可求解
【详解】当 ,
画出函数的图象如图,设,由二次函数对称性得,二次函数的最低点处,,
.
故答案为:
【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断,考查利用导数求函数的最值,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知公差不为零的等差数列的前项和为,若,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
1)直接利用已知条件利用等差数列通项公式及求和公式,结合等比中项求出数列的通项公式.
(2)利用(1)的通项公式,裂项相消求出数列的和.
【详解】(1)根据为等差数列,.
前项和为,且,即,①
∵成等比数列.可得:.∴②
由①②解得:,∴数列的通项公式为
(2)由,
即=.
那么:数列的前项和
.
【点睛】本题考查等差数列及等比数列的通项公式,考查裂项相消求和,是基础题
18.在中,内角,,的对边分别为,,.若.
(1)求角的大小;
(2)若,求当最小时,的周长.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据余弦定理,结合角正切,进行化简即可求角B的大小;
(2)利用余弦定理结合化简为,结合二次函数求最值
【详解】(1)由得:,
即:.
∴,又,∴.
(2)由,当时,
得:,∴当时,有最小值为1,
∴此时,周长为.
【点睛】本题考查余弦定理解三角形,考查二次函数求最值,考查转化能力,是基础题
19.已知四棱锥中,底面为等腰梯形,,,,.
(1)证明:平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四棱锥分成体积相等的两部分,求此时三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)推导及,证明平面,结合即可证明
(2)设,等体积转化求得,再利用求解
【详解】(1)证明:在等腰梯形,,
易得:
在中,
则有
在中,,
同理,在中,
又
即平面.
(2)在梯形中,设,
,而
即
故三棱锥的体积为
【点睛】本题考查直线与平面垂直判定定理的应用,考查椎体体积,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题
20.已知圆,动圆在轴右侧,与圆相外切且与轴相切
(1)求动圆的圆心轨迹的方程;
(2)已知点,为圆上一点,为轨迹上一点,求的最小值.
【答案】(1);(2)2
【解析】
【分析】
(1)设圆心根据动圆与圆(x﹣1)2+y2=1外切,且与y轴相切.建立关系可得轨迹C的方程
(2)利用不等式,将转化为到准线的距离即可求解
【详解】(1)设,由题可知,动圆在轴右侧,且与圆相外切,则有:
,即
解得
(2)设,,由(1)可知,点在轨迹上,则可将转化为到准线的距离,
所以,的最小值为2.
【点睛】本题考查抛物线的定义求轨迹方程,考查抛物线求最值,熟练运用抛物线定义转化是关键,是中档题
21.如图所示,曲线由部分椭圆:和部分抛物线:连接而成,与的公共点为,,其中所在椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)过点直线与,分别交于点,(,,,中任意两点均不重合),若,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(Ⅰ)在抛物线方程中,令,求出,坐标,再由离心率的公式和之间的关系,求出;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求出横轴上方的椭圆方程,由题意可知:过点的直线存在斜率且不能为零,故设直线方程为,代入椭圆、抛物线方程中,求出,两点坐标,由向量垂直条件,可得等式,求出的值,进而求出直线的方程.
【详解】(Ⅰ)因为,所以,即,因此,代入椭圆方程中,得,由以及 ,可得,
所以;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可求出横轴上方的椭圆方程为:,由题意可知:过点的直线存在斜率且不能为零,故设直线方程为,代入椭圆得:,故可得点的坐标为:,显然,同理将代入抛物线方程中,得,故可求得的坐标为:,
,,解得,符合,故直线的方程为:.
【点睛】本题考查了椭圆方程的性质,直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了数学运算能力.
22.已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)当,函数,证明:存在唯一的极大值点,且.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)求导,讨论a≤0和a>0 时f′(x)的正负确定单调性
(2)求导g′(x)=2x﹣2﹣lnx,构造新函数t(x)=2x﹣2﹣lnx,求导利用零点存在定理得g(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,结合g(x0)x0﹣x0lnx0整理为二次函数证明即可
【详解】(1)解:因为f(x)=ax﹣a﹣lnx(x>0),
求导:f′(x)=a.
则当a≤0时f′(x)<0,即y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,
当a>0时,f′(x)<0 , 0<x,f′(x)>0则 x
所以,y=f(x)在上单调递减,在上单调递增.
综上,当a≤0时,y=f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,y=f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(2)证明:由(1)可知g(x)=x2﹣x﹣xlnx,g′(x)=2x﹣2﹣lnx,
令g′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2,
令t′(x)=0,解得:x,
所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,
所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,t()=, t(1)=0从而t(x)=0有两解,即g′(x)=0存在两根x0,1,
则g′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,1)上为负、在(1,+∞)上为正,
所以g(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,
所以g(x0)x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0,
由x0可知g(x0)<(x0)max;
【点睛】本题考查函数的单调性与导数,考查零点存在定理的应用,考查构造函数的思想,准确利用零点存在定理代换为二次函数最值是关键,是中档题