2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第7节课件（38张）（全国通用） 38页

第 7 节　抛物线 最新考纲　 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 . 1. 抛物线的定义 (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( F ∉ l ) 的距 离 ________ 的 点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线 的 ________ . 知 识 梳 理 相等 准线 2. 抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 [ 常用结论与微点提醒 ] 诊 断 自 测 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) 答案　 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 2. (2016· 四川卷 ) 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点坐标是 ( 　　 ) A .(0 ， 2) B .(0 ， 1) C .(2 ， 0) D .(1 ， 0) 答案 　 D 答案　 C 5. 已知抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x ，若过点 Q ( － 2 ， 0) 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ________. 解 析　 设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k 2 x 2 ＋ (4 k 2 － 8) x ＋ 4 k 2 ＝ 0 ，当 k ＝ 0 时，显然满足题意；当 k ≠ 0 时， Δ ＝ (4 k 2 － 8) 2 － 4 k 2 ·4 k 2 ＝ 64(1 － k 2 ) ≥ 0 ，解得－ 1 ≤ k ＜ 0 或 0 ＜ k ≤ 1 ，因此 k 的取值范围是 [ － 1 ， 1]. 答 案　 [ － 1 ， 1] 6.( 选修 2 － 1P73A4(2) 改编 ) 已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P ( － 2 ，－ 4) ，则该抛物线的标准方程为 ________. 解析 　很明显点 P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上 . 当焦点在 x 轴负半轴上时，设方程为 y 2 ＝－ 2 px ( p ＞ 0) ，把点 P ( － 2 ，－ 4) 的坐标代入得 ( － 4) 2 ＝－ 2 p × ( － 2) ，解 得 p ＝ 4 ，此时抛物线的标准方程为 y 2 ＝－ 8 x ； 此时抛物线的标准方程为 x 2 ＝－ y . 综上可知，抛物线的标准方程为 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y . 答案 　 y 2 ＝－ 8 x 或 x 2 ＝－ y 考点一　抛物线的定义及应用 【例 1 】 (1) (2016· 浙江卷 ) 若抛物线 y 2 ＝ 4 x 上的点 M 到焦点的距离为 10 ，则 M 到 y 轴的距离是 ________. ( 2) 若抛物线 y 2 ＝ 2 x 的焦点是 F ，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A (3 ， 2) ，则 | PA | ＋ | PF | 取最小值时点 P 的坐标为 ________. 解析　 (1) 抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点 F (1 ， 0). 准线为 x ＝－ 1 ，由 M 到焦点的距离为 10 ，可知 M 到准线 x ＝－ 1 的距离也为 10 ，故 M 的横坐标满足 x M ＋ 1 ＝ 10 ，解得 x M ＝ 9 ，所以点 M 到 y 轴的距离为 9. 答案 　 (1)9 　 (2)(2 ， 2) 规律方法 　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 . 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度 . “ 看到准线想焦点，看到焦点想准线 ” ，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 . (2) (2015· 浙江卷 ) 如图，设抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ， B ， C ，其中点 A ， B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 △ BCF 与 △ ACF 的面积之比是 ( 　　 ) 答案 　 (1)D 　 (2)A 考点二　抛物线的标准方程及其性质 【例 2 】 (1) 如图，过抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A ， B ，交其准线 l 于点 C ，若 | BC | ＝ 2| BF | ，且 | AF | ＝ 3 ，则此抛物线的方程为 ( 　　 ) 答案 　 (1)C 　 (2)C 规律方法 　 (1) 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 . (2) 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 . 答案 　 (1)D 　 (2)B 考点三　直线与抛物线的位置关系 ( 多维探究 ) 命题角度 1 　直线与抛物线的公共点 ( 交点 ) 问 题 规律方法 　 (1) ① 本题求解的关键是求点 N ， H 的坐标 . ② 第 (2) 问将直线 MH 的方程与曲线 C 联立，根据方程组的解的个数进行判断 . (2) ① 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0. ② 解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧 . 命题角度 2 　与抛物线弦长 ( 中点 ) 有关的问 题 【例 3 － 2 】 已知抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的焦点为 F ，抛物线 C 与直线 l 1 ： y ＝－ x 的一个交点的横坐标为 8. ( 1) 求抛物线 C 的方程； ( 2) 不过原点的直线 l 2 与 l 1 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A ， B ，若线段 AB 的中点为 P ，且 | OP | ＝ | PB | ，求 △ FAB 的面积 . 解 　 (1) 易知直线与抛物线的交点坐标为 (8 ，－ 8) ， ∴ ( － 8) 2 ＝ 2 p × 8 ， ∴ 2 p ＝ 8 ， ∴ 抛物线方程为 y 2 ＝ 8 x . (2) 直线 l 2 与 l 1 垂直，故可设直线 l 2 ： x ＝ y ＋ m ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，且直线 l 2 与 x 轴的交点为 M . 规律方法 　 (1) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | AB | ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 . (2) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用 “ 设而不求 ”“ 整体代入 ” 等解法 . (3) 涉及弦的中点、斜率时，一般用 “ 点差法 ” 求解 . (1) 解 　 ∵ 由题意可知抛物线的焦点 F 为 (1 ， 0) ，准线方程为 x ＝－ 1 ， ∴ 直线 l 的方程为 y ＝ x － 1.