2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§6-3 等比数列及其前n项和（讲解部分） 16页

专题六　数　列 §6.3 　等比数列及其前 n 项和 高考文数 考点一　等比数列的定义及通项公式 考点清单 考向基础 1.定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于 同一个常 数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通 常用字母 q ( q ≠ 0)表示. 2.等比中项:如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且 G = ±   ( ab >0). 3.通项公式:等比数列的通项公式为 a n = a 1 q n -1 ( a 1 , q ≠ 0). 考向一　等比数列基本量的计算 考向突破 例1    (2019湖南衡阳一模,5)在等比数列{ a n }中, a 1 a 3 = a 4 =4,则 a 6 的所有可能 值构成的集合是   (　　) A.{6}　    B.{-8,8}　    C.{-8}　    D.{8} 解析　∵ a 1 a 3 =   =4, a 4 =4,∴ a 2 =2,∴ q 2 =   =2,∴ a 6 = a 2 q 4 =2 × 4=8,故 a 6 的所有可 能值构成的集合是{8},故选D. 答案    D 考向二　等比数列的判断和证明 例2    (2018福建福州八校联考,21)数列{ a n }中, a 1 =3, a n +1 =2 a n +2( n ∈N * ). (1)求证:{ a n +2}是等比数列,并求数列{ a n }的通项公式; (2)设 b n =   , S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n ,证明: ∀ n ∈N * ,都有   ≤ S n <   . 解析　(1)由   =2 a n +2( n ∈N * ),得   +2=2( a n +2),∵ a 1 =3,∴ a 1 +2=5, ∴{ a n +2}是首项为5,公比为2的等比数列, ∴ a n +2=5 × 2 n -1 , ∴ a n =5 × 2 n -1 -2. (2)证明:由(1)可得 b n =   , S n =     ①,   S n =     ②, ①-②整理可得 S n =     =   ·   =     . ∵ n ∈N * ,∴ S n <   . 又∵ S n +1 - S n =   ×   >0, ∴数列{ S n }单调递增,∴ S n ≥ S 1 =   , ∴ ∀ n ∈N * ,都有   ≤ S n <   . 考向基础 1.等比数列{ a n }满足   或   时,{ a n }是递增数列;满足   或   时,{ a n }是递减数列. 2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数为奇 数时,还等于中间项的平方. 3.等比数列的一些结论: (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的 新数列仍然是等比数列. (2)若{ a n }是等比数列,则{ λa n },{| a n |}皆为等比数列,公比分别为 q 和| q |( λ 为非 零常数). (3)一个等比数列各项的 k 次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的 k 次 考点二　等比数列的性质及其应用 幂. (4){ a n }为等比数列,若 a 1 · a 2 · … · a n = T n ,则 T n ,   ,   , … 成等比数列. (5)若数列{ a n }与{ b n }均为等比数列,则{ m · a n · b n }与   仍为等比数列,其中 m 是不为零的常数. 4. 当 q ≠ 0, q ≠ 1时, S n = k - k · q n ( k ≠ 0)是{ a n }为等比数列的充要条件,这时 k =   . 5. 对于正整数 m , n , p , q ,若 m + n = p + q ,则在等比数列{ a n }中, a m , a n , a p , a q 的关系为 a m · a n = a p · a q . 考向　等比数列性质的应用 考向突破 例3    (2019河南洛阳第二次统考,14)等比数列{ a n }的各项均为正数,且 a 10 a 11 + a 8 a 13 =64,则log 2 a 1 +log 2 a 2 + … +log 2 a 20 = 　　　     . 解析　由等比数列的性质可得 a 10 a 11 = a 8 a 13 , 所以 a 10 a 11 + a 8 a 13 =2 a 10 a 11 =64, 所以 a 10 a 11 =32, 所以log 2 a 1 +log 2 a 2 + … +log 2 a 20 =log 2 ( a 1 · a 2 · a 3 · … · a 20 ) =log 2 [( a 1 · a 20 )·( a 2 · a 19 )·( a 3 · a 18 )· … ·( a 10 · a 11 )]=log 2 ( a 10 · a 11 ) 10 =log 2 32 10 =50. 答案　50 考点三　等比数列的前 n 项和 考向基础 S n =   【知识拓展】 1.当 q ≠ -1或 q =-1且 k 为奇数时, S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k , … 是等比数列. 注意　当 q =-1且 k 为偶数时, S k , S 2 k - S k , S 3 k - S 2 k , … 不是等比数列. 2.若数列{ a n }的项数为2 n , S 偶 与 S 奇 分别为偶数项与奇数项的和,则   = q ;若 项数为2 n +1,则   = q . 考向突破 考向一　等比数列求和公式 例4    (2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1 的等比数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 a 2 ,2 a 5 ,3 a 8 成等差数列,则   =   (    　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　设等比数列{ a n }的公比为 q ( q ≠ 1), ∵ a 2 ,2 a 5 ,3 a 8 成等差数列,∴4 a 5 = a 2 +3 a 8 , 即4 a 1 q 4 = a 1 q +3 a 1 q 7 ,3 q 6 -4 q 3 +1=0, 解得 q 3 =   或 q 3 =1(舍去), ∴   =   =   =   ,故选C. 答案    C 例5    (2018安徽淮北二模,7)5个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中 奇数项和与偶数项和的比值为   (　　) A.-   　    B.-2　    C.-   　    D.-   考向二　等比数列前 n 项和的性质 解析　由题意可设这5个数分别为 a ,-2 a ,4 a ,-8 a ,16 a , a ≠ 0, 故奇数项和与偶数项和的比值为   =-   ,故选C. 答案    C 方法 　等比数列的判定方法 1.定义法:若   = q ( q 为非零常数)或   = q ( q 为非零常数且 n ≥ 2, n ∈N * ),则 { a n }是等比数列. 2.中项公式法:若数列{ a n }中, a n ≠ 0且   = a n · a n +2 ( n ∈N * ),则数列{ a n }是等比数 列. 3.通项公式法:若数列的通项公式可写成 a n = c · q n ( c , q 均是不为0的常数, n ∈N * ),则{ a n }是等比数列. 方法技巧 4. 前 n 项和公式法 : 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n = k - k · q n ( k 为常数且 k ≠ 0, q ≠ 0,1), 则 { a n } 是等比数列 . 其中前两种方法是证明某一数列是等比数列的常用方法 , 而后两种方法常 用于选择题、填空题中 . 若证明一个数列不是等比数列 , 只要证明存在相邻三项不成等比数列即可 . 例    (2018北京,4,5分)设 a , b , c , d 是非零实数,则“ ad = bc ”是“ a , b , c , d 成等比 数列”的   (　　) A.充分而不必要条件　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　     D.既不充分也不必要条件 解析　由 a , b , c , d 成等比数列,可得 ad = bc ,即必要性成立; 当 a =1, b =-2, c =-4, d =8时, ad = bc ,但 a , b , c , d 不成等比数列,即充分性不成立,故 选B. 答案    B