2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§6-2 等差数列及其前n项和（讲解部分） 16页

专题六　数　列 §6.2 　等差数列及其前 n 项和 课标 文数 考点一　等差数列的定义及通项公式 考点清单 考向基础 1.等差数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是 同一个常数 ,那么这 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 2.等差中项 如果 A =   ,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项. 3.等差数列的通项公式 如果等差数列{ a n }的首项为 a 1 ,公差为 d ,那么它的通项公式是 a n = a 1 +( n -1) d . 考向　等差数列基本量的计算 考向突破 例1    (2018山西太原一模,5)已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若 a 2 + a 3 + a 10 = 9,则 S 9 =   (　　) A.3　    B.9　    C.18　    D.27 解析　设等差数列{ a n }的公差为 d ,∵ a 2 + a 3 + a 10 =9,∴3 a 1 +12 d =9,即 a 1 +4 d =3, ∴ a 5 =3,∴ S 9 =   =9 a 5 =27,故选D. 答案    D 考点二　等差数列的性质 考向基础 等差数列的常用性质 (1)若{ a n }是等差数列,公差为 d ,则 a n = a m +( n - m ) d ( n , m ∈N * ). (2)若{ a n }是等差数列,公差为 d ,则{ a 2 n }也是等差数列,公差为2 d . (3)若{ a n }是等差数列,公差为 d ,则 a k , a k + m , a k +2 m , … ( k , m ∈N * )组成公差为 md 的等 差数列. (4) 若{ a n }是等差数列, m , n , p , q ∈N * ,且 m + n = p + q ,则 a m + a n = a p + a q . 考向　等差数列性质的应用 考向突破 例2    (2019黑龙江南岗模拟,14)等差数列{ a n }、{ b n }满足:对任意 n ∈N * ,都 有   =   ,则   +   = 　　　     . 解析　由等差数列的性质可得 b 3 + b 9 = b 4 + b 8 =2 b 6 , a 7 + a 5 =2 a 6 . ∴   +   =   =   =   =   =1. 答案　1 考向基础 1.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{ a n }的公差为 d ,则其前 n 项和 S n =   或 S n = na 1 +   d . 2.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 S n =   n 2 +   n . 非零数列{ a n }是等差数列的充要条件是其前 n 项和 S n = f ( n )是关于 n 的二次函 数或一次函数且不含常数项,即 S n = An 2 + Bn ( A 2 + B 2 ≠ 0). 3.在等差数列{ a n }中,若 a 1 >0, d <0,则 S n 存在最大值;若 a 1 <0, d >0,则 S n 存在最小 值. 考点三　等差数列的前 n 项和 (1)若{ a n }是等差数列,则   也是等差数列,其首项与{ a n }的首项相同,公差 是{ a n }公差的   . (2) S m , S 2 m , S 3 m 分别为等差数列{ a n }的前 m 项,前2 m 项,前3 m 项的和,则 S m , S 2 m - S m , S 3 m - S 2 m 成等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2 n ,则 S 偶 - S 奇 = nd ,   =   . 若项数为2 n -1,则 S 偶 =( n -1) a n , S 奇 = na n , S 奇 - S 偶 = a n ,   =   . 4.与等差数列各项的和有关的性质 (4)两个等差数列{ a n },{ b n }的前 n 项和 S n , T n 之间的关系为   =   . 考向突破 考向一　等差数列前 n 项和的性质 例3    (2018福建福州八县联考,11)设等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S 2 0 >0, S 21 <0,则   ,   , … ,   中最大的项为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解析　由题意可知, d <0,∵ S 20 =10( a 1 + a 20 )>0,∴ a 1 + a 20 >0,∴ a 10 + a 11 >0. 同理, S 21 <0 ⇒ a 1 + a 21 <0,又 a 1 + a 21 =2 a 11 ,∴ a 11 <0,又 a 10 + a 11 >0,∴ a 10 >0, ∴ S 10 最大, a 10 最小,∴   最大,故选A. 答案    A 考向二　等差数列前 n 项和的最值 例4    (2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 =9,   -   = -4,则 S n 取最大值时的 n 为   (　　) A.4　    B.5　    C.6　    D.4或5 解析　由{ a n }为等差数列,得   -   = a 5 - a 3 =2 d =-4,即 d =-2,由于 a 1 =9,所以 a n =-2 n +11,令 a n =-2 n +11<0,得 n >   ,所以 S n 取最大值时的 n 为5,故选B. 答案    B 方法1　等差数列的判定与证明的方法 1.证明一个数列{ a n }为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明 a n +1 - a n = d ( d 为同一个常数, n ∈N * ); (2)利用等差中项证明,即证明 a n +2 + a n =2 a n +1 ( n ∈N * ). 2.解选择题、填空题时,可用通项公式法或前 n 项和法直接判断. (1)通项公式法:若数列{ a n }的通项公式是关于 n 的一次函数,即 a n = An + B ( A ≠ 0),则{ a n }是等差数列; (2)前 n 项和法:若数列{ a n }的前 n 项和 S n 是 S n = An 2 + Bn 的形式( A , B 是常数),则 { a n }为等差数列. 方法技巧 例1    (2018江西K12联盟教育质量检测,17)已知数列{ a n }满足: a 1 =0, a n +1 = (   +1) 2 -1( n ∈N * ). (1)求 a n ; (2)若 b n =(-1) n   ( n ∈N * ),记 S n = b 1 + b 2 + … + b n .求 S 2 n . 解析　(1) a n +1 =(   +1) 2 -1 ⇒ a n +1 +1=(   +1) 2 ⇒   =   +1, ∴{   }是公差为1的等差数列, ∴   =   +( n -1) × 1= n , ∴ a n = n 2 -1. (2)由(1)知 b n =(-1) n   =(-1) n   , ∴ S 2 n =-   -   +   +   -   -   +   +   - … +   +   =-   +   =   . 方法2 　等差数列前 n 项和的最值问题的解决方法   例2    (2019湖南衡阳第八中学第二次月考,10)在等差数列{ a n }中, a 1 =21,公 差为 d ,前 n 项和为 S n ,当且仅当 n =8时, S n 取得最大值,则 d 的取值范围是   (     　) A.   　    B.   C.   　    D.   解析　根据题意,知 S n =21 n +   . ∵当且仅当 n =8时, S n 取得最大值,∴   则   解得   ∴ d 的取值范围为   .故选C. 答案    C