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- 2021-06-24 发布
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一、选择题
1.已知圆的半径为6.5 cm,圆心到直线l的距离为4.5 cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是
( ).
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
解析 圆心到l的距离是4.5 cm小于圆的半径6.5 cm,故圆与l相交.
答案 C
2.下列说法中正确的个数是
( ).
①垂直于半径的直线是圆的切线;
②过圆心且垂直于切线的直线必过切点;
③过切点且垂直于切线的直线必过圆心;
④过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
⑤同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线,则切点是AB的中点.
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 ①不正确,因为垂直于半径的直线不一定是圆的切线;②正确;③正确;④不正确,必须是过半径的外端点且垂直于这条半径的直线才是圆的切线;⑤正确.
答案 B
3.如图所示,已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延长线交于P,PC=5,则⊙O的半径为
( ).
A. B.
C.10 D.5
解析 连接OC,则有∠COP=60°,
OC⊥PC,可求OC=.
答案 A
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E,与AC相切于C,又⊙O与BC的另一个交点为D,则线段BD的长为
( ).
A.1 B. C. D.
解析 ⊙O与AC相切于C,则∠ACB=90°,又AC=4,BC=3,∴AB=5,连接OE,且设⊙O的半径为R,则由△OEB∽△ACB,
∴OB==R,
∴BC=OC+OB=R+R=R=3,
∴R=,∴BD=BC-2R=3-=.
答案 C
二、填空题
5.若直线l与半径为r的⊙O相交,且圆心O到直线l的距离为5,则r的取值范围是__________.
解析 由直线与圆相交的等价条件易得.
答案 (5,+∞)
6.如图所示,CD是⊙O的直径,AE切⊙O于B,DC的延长线交AB于A,∠A=20°,则∠DBE=________.
解析 连接OB,则OB⊥AB,
∴∠AOB=90°-∠A=70°,
∴∠BOD=180°-∠AOB=110°,
又OB=OD,
∴∠OBD=(180°-∠BOD)=35°,
∴∠DBE=90°-∠OBD=55°.
答案 55°
7.如图所示,直线AB与⊙O相切于点P,CD是⊙O的直径,C、D与AB的距离分别为4 cm、2 cm,则⊙O的半径为________.
解析 利用圆的切线及梯形中位线的知识可知⊙O的半径为3 cm.
答案 3 cm
8.如图所示,正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为4 cm,则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.
解析 利用圆内半径与弦的关系,并结合圆内接四边形的知识连接OB交EF于H,连接OE,则OH=2 cm,则HE==2cm,∴EF=4 cm.
答案 4
三、解答题
9.如图所示,AB为⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于E点,过E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由.
解 △AED为直角三角形,理由如下:
连接OE,∵ED为⊙O切线,
∴OE⊥ED.
∵OA=OE,
∴∠1=∠OEA.
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠OEA,
∴OE∥AC,∴AC⊥DE,
∴△AED为直角三角形.
10.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上的点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系?
解 过E作EF⊥CD于F,
∵DE平分∠ADC,
CE平分∠BCD,
∠A=∠B=90°,
∴AE=EF=BE=AB.
∴以AB为直径的圆的圆心为E,
∴EF是圆心E到CD的距离,且EF=AB,
∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系.
11.(拓展深化)如图,△ABC内接于⊙O,点D在OC的延长线上,sinB=,∠D=30°.
(1)求证:AD是⊙O的切线.
(2)若AC=6,求AD的长.
(1)证明 如图,连接OA,
∵sinB=,∴∠B=30°,∵∠AOC
=2∠B,∴∠AOC=60°,
∵∠D=30°,
∴∠OAD=180°-∠D-∠AOD=90°,
∴AD是⊙O的切线.
(2)解 ∵OA=OC,∠AOC=60°,
∴△AOC是等边三角形,∴OA=AC=6,
∵∠OAD=90°,∠D=30°,
∴AD=AO=6.