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- 2021-06-24 发布
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2.4.2
抛物线
的简单几何性质
(1)
一、温故知新
(
一
)
圆锥曲线的统一定义
平面内，到定点
F
的距离与到定直线
l
的距离比为常数
e
的点的轨迹
,
当
e
＞
1
时，是
双曲线
.
当
0
0)
(2)
开口向左
y
2
= -2px (p
>
0)
(3)
开口向上
x
2
= 2py (p
>
0)
(4)
开口向下
x
2
= -2py (p
>
0)
范围
1
、
由抛物线
y
2
=2
px
（
p
>0
）
有
所以抛物线的范围为
二、探索新知
如何研究抛物线
y
2
=2
px
（
p
>0
）的几何性质
?
对称性
2
、
关于
x
轴
对称
即点
(x,-y)
也在抛物线上
,
故 抛物线
y
2
= 2
px(p
>0)
关于
x
轴
对称
.
则
(-y
)
2
= 2
px
若点
(x,y
)
在抛物线上
,
即满足
y
2
= 2
px
，
顶点
3
、
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的
顶点
。
y
2
= 2
px
(
p
>0)
中，
令
y=0,
则
x=0.
即：抛物线
y
2
= 2
px
(
p
>0)
的
顶点（
0
，
0
）
.
离心率
4
、
P(x,y)
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做
抛物线的
离心率
。
由定义知， 抛物线
y
2
= 2
px
(
p
>0)
的离心率为
e=1
.
x
y
O
F
A
B
y
2
=2
px
2
p
过焦点而垂直于对称轴的弦
AB
，称为抛物线的
通径，
利用抛物线的
顶点
、通径的两个
端点
可较准确画出反映抛物线基本特征的草图
.
|AB|=2
p
通径
5
、
2
p
越大，抛物线张口越大
.
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的
焦半径
。
|PF|=x
0
+p/2
焦半径公式：
焦半径
6
、
x
y
O
F
P
方程
图形
准线
焦点
对称轴
x
轴
x
轴
y
轴
y
轴
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
归纳
:
(1)
、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)
、抛物线只有一条对称轴
,
没有对称中心
;
(3)
、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)
、抛物线的离心率
e
是确定的为１
,
⑸
、抛物线的通径为
2P, 2p
越大，抛物线的张口越大
.
因为抛物线关于
x
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M
（２， ），
解
:
所以设方程为：
又因为点
M
在抛物线上
：
所以：
因此所求抛物线标准方程为：
例
１
：已知抛物线关于
x
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M
（２， ），求它的标准方程
.
三、典例精析
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是
抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。
灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变
成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的
设计原理。
平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都
经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能
的理论依据。
例
2
：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源
位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为
60
cm
，灯深
40
cm
，求抛物线的标准方程和焦点位置。
x
y
O
(40,30)
解
:
所在平面内建立直
角坐标系
,
使反射镜
的顶点与原点重合
,
x
轴垂直于灯口直径
.
在探照灯的轴截面
设抛物线的标准方程为
:
y
2
=2
px
由条件可得
A (40,30),
代入方程得
:
30
2
=2
p·
40
解之
:
p=
故所求抛物线的标准方程为
:
y
2
=
x,
焦点为
( ,0)
2
4
l
例
3:
图中是抛物线形拱桥，当水面在
l
时，拱顶离水面
2
米，水面宽
4
米
.
水下降
1
米后，水面宽多少？
x
o
A
y
若在水面上有一宽为
2
米
,
高
为
1.6
米
的船只，能否安全通过拱桥？
思考题
2
B
A
（
2,
－
2
）
x
2
=
－
2y
B
（
1
，
y
）
y=
－
0.5
B
到水面的距离为
1.5
米
不能安全通过
y=
－
3
代入得
例题
3
（
1
）已知点
A
（
-2
，
3
）与抛物线
的焦点的距离是
5
，则
P
=
。
（
2
）抛物线 的弦
AB
垂直
x
轴，若
|AB|=
，
则焦点到
AB
的距离为
。
4
2
（
3
）已知直线
x
-
y
=2
与抛物线 交于
A
、
B
两
点，那么线段
AB
的中点坐标是
。
四、课堂练习
5.
点
A
的坐标为
(3
，
1)
，若
P
是抛物线 上的一动点，
F
是抛物线的焦点，则
|
PA
|+|
P
F|
的最小值为
(
)
(
A
) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
4
、求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)
焦点在直线
x-2y-4=0
上
.
(2)
焦点在轴
x
上且截直线
2x-y+1=0
所得的弦长为
6
、已知
Q(4,0)
，
P
为抛物线 上任一点，则
|PQ|
的最小值为
( )
A. B. C. D.
B
C
五、归纳总结
抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；
抛物线只有一条对称轴
,
没有对称中心
;
抛物线的离心率是确定的，等于１；
抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
抛物线的通径为
2P, 2p
越大，抛物线的张口越大
.
1
、范围：
2
、对称性：
3
、顶点：
4
、离心率：
5
、通径：
6
、光学性质：
从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束
.
再见！
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