上海市行知中学2020届高三上学期10月月考数学试题 16页

‎2019-2020年行知中学高三上10月月考 一:填空题。‎ ‎1.若集合，，则用列举法表示集合=________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析集合A可得A中的元素，将其元素代入y＝x2+1中，计算可得y的值，即可得B的元素，用列举法表示即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ 对于集合B＝{y|y＝x2+1，x∈A}，‎ 当x＝±2时，y＝5，‎ 当x＝±1时，y＝2，‎ 当x＝0时，y＝1；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的表示方法，注意集合B中x所取的值为A中的元素且必须用列举法表示．‎ ‎2.命题“如果且，那么”的否命题是________命题（填真或假）‎ ‎【答案】假 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断逆命题的真假，再判断否命题即可．‎ ‎【详解】“如果x＞2且y＞2，那么x+y＞4”的逆命题是：“如果那么且”是假命题，例如，又命题的否命题与逆命题同真假，则否命题为假命题 故答案为：假 ‎【点睛】本题考查四种命题的形式及真假，注意否命题与逆命题真假相同的应用，属于基础题．‎ ‎3.不等式的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的定义与性质，化简不等式，即可求出不等式的解集．‎ ‎【详解】由题 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了利用对数函数的定义与性质求解不等式的应用问题，是基础题目．‎ ‎4.已知一元二次函数满足，若在区间上不单调，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由f（x）在区间上不单调可知对称轴x＝1∈且a+1＞，解不等式可求a的范围 ‎【详解】由f（x）在区间上不单调可知对称轴x＝1∈且a+1＞，解不等式可得取值范围是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的单调性问题，是基础题 ‎5.关于的不等式的解集为，则实数为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一次不等式解集确定端点值即为所对方程根求解即可 详解】由题知m<0,且，故，解得m=‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查一次不等式解集，是基础题，注意m符号判断 ‎6.已知幂函数为偶函数，且在上递减，若，则可能的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．‎ ‎【详解】幂函数y＝xn为偶函数，‎ 所，即y＝x﹣2，y＝x2，‎ 在（0，+∞）上递减，有y＝x﹣2，‎ 所以n的可能值为：﹣2，．‎ 故答案为：﹣2，．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．‎ ‎7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)＝2x，则f(log49)＝______.‎ ‎【答案】-‎ ‎【解析】‎ ‎ 是定义在 上的奇函数，则有 则 当 时， 则当当 时，，故 故答案为：．‎ ‎8.函数，集合，，则图中阴影部分表示的集合为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据对数函数的定义域和值域化简集合A，B；由图知阴影部分表示的集合为将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合，然后即可借助数轴求出结果 ‎【详解】∵f（x）＝lg（1﹣x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，‎ ‎∴A＝{x|y＝lg（1﹣x2）}＝{x|1﹣x2＞0}＝{x|﹣1＜x＜1}‎ B＝{y|y＝lg（1﹣x2）}＝{y|y≤0}‎ ‎∴A∪B＝{x|x＜1}‎ A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}‎ 根据题意，图中阴影部分表示的区域为A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合为：（﹣∞，﹣1]∪（0，1）‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．‎ ‎9.若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解.‎ ‎【详解】由题得|2x-a|>-x+1,‎ 当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式恒成立.‎ 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或2x-a＜x-1，‎ 所以a＜3x-1或a＞x+1在[0,1]上恒成立，‎ 所以a<-1或a>2,因为a>0,‎ 综合得a>2.‎ 故答案为：a>2‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10.如果，已知正方形的边长为2，平行轴，顶点，和分别在函数，和的图像上，则实数的值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设B（x，2logax），利用BC平行于x轴得出C（x2，2logax），利用AB垂直于x轴 得出 A（x，3logax），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logax＝x2﹣x＝2，求出x，再求a 即可．‎ ‎【详解】设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2logax）即logax′＝2logax，∴x′＝x2，‎ ‎∴正方形ABCD边长＝|BC|＝x2﹣x＝2，解得x＝2．‎ 由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax﹣2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想．‎ ‎11.设、是的两个子集，对任意，定义：，，若，则对任意，=________‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由A⊆B．由x∉A时，m＝0，可得m（1﹣n）．x∈A时，必有x∈B，可得m＝n＝1．‎ ‎【详解】∵A⊆B．则x∉A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．‎ x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．‎ 综上可得：m（1﹣n）＝0．‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数若方程且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分别作图象，由图象可得实数的取值范围是 二.选择题 ‎13.下列各式中，正确的个数是（ ）‎ ‎（1），（2），（3）；（4）；（5）；‎ ‎（6）；（7）；（8）.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合的相关定义逐个判断。‎ ‎【详解】表示空集，没有元素，有一个元素，则，故（1）错误 空集是任何集合的子集，故（2）正确 和都表示集合，故（3）错误 ‎0表示元素，表示集合，故（4）错误 ‎，故（5）正确 ‎，都表示集合，故（6）错误 中的元素都是中的元素，故（7）正确 由于集合的元素具有无序性，故，故（8）正确 综上，正确的个数是4个 故选D ‎【点睛】本题主要考查了空集的辨析，一定要运用定义来进行判断，较为基础。‎ ‎14.设，则下列不等式恒成立的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，所以A项不正确；‎ 因为，所以，，则，所以B不正确；‎ 因为，则，所以，‎ 又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；‎ 由，所以，所以D错误.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“为[0,1]上的增函数”是“为[3，4]上的减函数”的 A. 既不充分也不必要的条件 B. 充分而不必要的条件 C. 必要而不充分的条件 D. 充要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数在上递增,利用偶函数得函数在上递减,利用周期得函数在上递减,故充分性成立;函数在上递减,利用周期得函数在上递减,利用偶函数得函数在上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D.‎ ‎16.设，是的两个非空子集，如果存在一个函数满足：① ；② 对任意，当时，恒有，那么称这两个集合为“到的保序同构”，以下集合对不是“到的保序同构”的是（ ）‎ A. B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知S为函数的一个定义域，T为其所对应的值域，且函数y＝f（x）为单调增函数，对题目给出的4个选项中的集合逐一分析看是否能找到这样的函数y＝f（x）即可．‎ ‎【详解】对于A中的两个集合，可取函数f（x）＝x-1，x∈，满足：（i）B＝{f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），故A是“保序同构”；‎ 对于B中的两个集合，可取函数 满足题意,是“保序同构”；‎ 对于C中的两个集合，可取函数f（x） （0＜x＜1），是“保序同构”．利用排除法可知选：D 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了子集与交集、并集运算的转换，考查了函数值域的求法，解答此题的关键是明白新定义“保序同构”指的是什么意思，是基础题．‎ 三.解答题 ‎17.已知的反函数为，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1）（）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用反函数求法求解解析式及定义域即可（2）把解析式代入不等式，利用对数函数的单调性和定义域解此不等式；‎ ‎【详解】（1）由y＝2x﹣1得2x＝y+1，∴x＝log2（y+1）‎ ‎∴f﹣1（x）＝log2（x+1）（x＞﹣1）‎ ‎（2）由f﹣1（x）≤g（x）得log2（x+1）≤log4（3x+1）‎ ‎∴log4（x+1）2≤log4（3x+1）‎ ‎∴得 ‎【点睛】本题考查反函数的求法和函数的值域，属于对数函数的综合题，要会求一些简单函数的反函数，掌握有关对数函数的值域的求法，属中档题．‎ ‎18.如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，的中点.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）若异面直线与所成的角为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，利用VP﹣ABC•PA能求出三棱锥P﹣ABC的体积．‎ ‎（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，得∠EDF（或其补角）就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．‎ ‎【详解】（1）三棱锥P﹣ABC中，‎ ‎∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP＝BC＝4，∠ABC＝30°，D、E分别是BC、AP的中点，‎ ‎∴AC＝2，AB＝2，‎ 所以，体积VP﹣ABC•PA． ‎ ‎（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，‎ 所以∠EDF（或其补角）就是异面直线AB与ED所成的角θ． ‎ 由已知，AC＝EA＝AD＝2，AB＝2，PC＝2，‎ ‎∵AB⊥EF，∴DF⊥EF． ‎ 在Rt△EFD中，DF，EF，‎ 所以，tanθ．‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎19.已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？‎ ‎【答案】80,280‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将总费用表示出来，再利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】设总费用为 则 ‎ 当时等号成立，满足条件 故最经济的车速是，总费用为280‎ ‎【点睛】本题考查了函数表达式，均值不等式，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.‎ ‎（1）若，试证明中还有另外两个元素；‎ ‎（2）集合否为双元素集合，并说明理由；‎ ‎（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.‎ ‎【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证； （2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断； （3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．‎ ‎【详解】（1）证明：若x∈A，则 ‎ 又∵2∈A， ∴ ∵-1∈A，∴ ∴A中另外两个元素为，；‎ ‎（2），，，且，，‎ ‎，故集合中至少有3个元素，∴不双元素集合；‎ ‎（3）由，，可得 ‎ ‎，所有元素积为1，∴，‎ ‎、、，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎21.已知是偶函数，.‎ ‎（1）求的值，并判断函数在上的单调性，说明理由；‎ ‎（2）设，若函数与的图像有且仅有一个交点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）定义在上的一个函数，如果存在一个常数，使得式子对一切大于1的自然数都成立，则称函数为“上的函数”（其中，）.试判断函数是否为“上的函数”，若是，则求出的最小值；若不是，则说明理由.（注：）.‎ ‎【答案】（1），递减；理由见解析；（2）；（3）是，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由偶函数的定义可得f（﹣x）＝f（x），结合对数函数的运算性质，解方程可得所求值；函数h（x）＝f（x）x＝log4（4x+1）﹣x在R上递减，运用单调性的定义和对数函数的单调性，即可证明；‎ ‎（2）由题意可得log4（4x+1）x＝log4（a•2xa）有且只有一个实根，可化为2x+2﹣x＝a•2xa，即有a，化为a﹣1，运用换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．‎ ‎（3）利用求解即可 ‎【详解】（1）f（x）＝log4（4x+1）+kx是偶函数，‎ 可得f（﹣x）＝f（x），即log4（4﹣x+1）﹣kx＝log4（4x+1）+kx，‎ 即有log42kx，可得log44﹣x＝﹣x＝2kx，‎ 由x∈R，可得k；‎ 又函数h（x）＝f（x）x＝log4（4 x+1）﹣x=在R上递减，‎ 理由：设x1＜x2，则h（x1）﹣h（x2）＝log4（ ）﹣log4（）‎ ‎＝log4（4﹣x1+1）﹣log4（4﹣x2+1），‎ 由x1＜x2，可得﹣x1＞﹣x2，可得log4（4﹣x1+1）＞log4（4﹣x2+1），‎ 则h（x1）＞h（x2），即y＝f（x）x在R上递减；‎ ‎（2）g（x）＝log4（a•2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点，‎ 即为log4（4x+1）x＝log4（a•2xa）有且只有一个实根，‎ 可化为2x+2﹣x＝a•2xa，‎ 即有a，化为a﹣1，‎ 可令t＝1•2x（t＞1），则2x，‎ 则a﹣1，‎ 由9t34在（1，）递减，（，+∞）递增，‎ 可得9t34的最小值为234＝﹣4，‎ 当a﹣1＝﹣4时，即a＝﹣3满足两图象只有一个交点；‎ 当t＝1时，9t34＝0，可得a﹣1＞0时，即a＞1时，两图象只有一个交点，‎ 综上可得a的范围是（1，+∞）∪{﹣3}．‎ ‎（3）是函数，理由如下：由题当任意的，有 ‎ 因为单调递增，则，故的最小值为 ‎【点睛】本题考查函数的导函数与单调性，方程与函数零点，考查转化化归能力，是中档题 ‎ ‎