甘肃省武威第六中学2020届高三数学（文）下学期第六次诊断试题（Word版附答案） 10页

武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 文 科 数 学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1．设全集U R ，且 { || 1| 2}A x x   ， 2{ | 6 8 0}B x x x    ，则( )UC A B  A．[ 1,4) B．( 1,4) C．(2,3) D．(2,3] 2．已知(3 3 ) 2 3i z i    （i 是虚数单位），那么复数 z 对应的点位于复平面内的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图是某学校高三年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成 绩 y 关于测试序号 x 的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变 化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论： ①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好； ②二班成绩不够稳定，波动程度较大； ③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升。 其中错误的结论的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 4．将函数 ( ) sin(2 )6f x x   的图象向左平移 6  个单位，得到函数 ( )g x 的图象，则 ( )g x 的解析式为 A. ( ) cos2g x x B. ( ) cos2g x x  C. ( ) sin 2g x x D. ( ) sin(2 )3g x x   5. 已知 ,x y R ，若 : 2 2 4x yp   ， : 2q x y  ，则 p 是q 的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在 △ ABC 中，若sin 2sin cosB A C ，那么 △ ABC 一定是 A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”。已 知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积， 则该“堑堵”的侧面积为 A． 2 B． 2 4 2 C． 4 2 2 D． 4 4 2 8．已知函数 ( ) 2 1f x ax a   的图象恒过定 A ，若点 A 在直线 1 0mx ny   上，其中 0m n  ，则 1 2 m n  的最小值为 A． 2 B． 2 2 C． 4 2 D．8 9．已知函数 ( ) 2 1xf x e x   （其中 e 为自然对数的底数），则 ( )y f x 图象大致为 A． B． C． D． 10．菱形 ABCD 的边长为3， 60B   ，沿对角线 AC 折成一个四面体，使得平面 ACD  平面 ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为 A．15 B12 C．8 D．6 11．已知 1F 、 2F 为椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的左右焦点，过 2F 的直线交椭圆 于 P 、Q 两点， 1PF PQ ，且 1| | | |PF PQ ，则该椭圆的离心率为 A． 3 2 B． 2 2 6 C． 2 3 D． 6 3 12．设函数 2log ( 1), 0 ( ) , 0 x x f x x x      ，则满足 ( 1) 2f x   的 x 的取值范围为 A．（﹣4，3） B．（﹣5，2） C．（﹣3，4） D．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．不等式组 2 0 1 0 3 0 x y x y y           ，则表示区域的面积为 14．如图所示，在 Rt ABC 中， 90C   ， 30B   ，在 BAC 内过点 A 任作一 射线与 BC 相交于点 D ，使得 30DAC   的概率为 15．已知等边 ABC 的边长为 2 ，若 3BC BE  ， AD DC  ， 则 BD AE   ____________ 16．定义域为 R 的偶函数 ( )f x 满足 (1 ) (1 ) 0f x f x    ，当 x [01 ，）时， ( ) sin 2 xf x  ， 给出下列三个结论： ①| ( ) | 1f x  ；②若 1 2( ) ( ) 0f x f x  ，则 1 2 0x x  ；③函数 ( )f x 在（0，4）内有 且仅有 3 个零点；其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， 60BAD   ，Q 为 AD 的中点。 （1）若 PA PD ，求证： AD  平面 PQB ； （2）若平面 PAD 平面 ABCD ，且 2PA PD AD   ，点 M 在 线段 PC 上，且 3PM MC ，求三棱锥 P QBM 的体积。 18．（12 分）某大学为调研学生在 A 、B 两家餐厅用餐的满意度，从在 A 、B 两家都用过 餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60 分。 整理评分数据，将分数以10为组距分为6 组：[0,10) 、[10,20) 、[20,30) 、[30,40) 、 [40,50) 、[50,60]，得到 A 餐厅分数的频率分布直方图和 B 餐厅分数的频数分布表： （1）在抽样的100人中，求对 A 餐厅评分低于30的人数； （2）从对 B 餐厅评分在[0,20) 范围内的人中随机选出 2 人，求2 人中恰有1人评分在 [0,10) 范围内的概率。 （3）如果从 A 、 B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由。 19．（12 分）已知数列 na 满足 1 2 3 1 2 3 2 5 2 5 2 5 2 5 3n n n a a a a         （1）求数列 na 的通项公式； （2）设数列 1 1 n na a        的前 n 项和为 nT ,求 nT . 20．（12 分）已知抛物线C ： 21 2y x ，过点 (1,1)Q 的动直线与抛物线C 交于不同的两点 A 、 B ，分别以 A 、 B 为切点作抛物线的切线 1l 、 2l ，直线 1l 、 2l 交于点 P 。 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2）求 PAB 面积的最小值，并求出此时直线 AB 的方程。 21．（12 分）已知函数 ( ) ln (1 )f x x a x   。 （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）当 ( )f x 有最大值，且最大值大于 2 2a  时，求 a 的取值范围。 四、选做题（10 分）请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题 目．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知点 ( 2,0)A 到直线l ： sin( )4 m    （ 0m  ）的距离为3。 （1）求实数 m 值； （2）设 P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足| | | | 1OP OQ  ，求点Q 轨迹 方程，并指出轨迹是什么图形。 23．（10 分）选修 4-5：不等式选讲 设不等式 2 | 1| | 2 | 0x x      的解集为 M ， ,a b M 。 （1）证明： 1 1 1| |3 6 4a b  ； （2）若函数 ( ) | 2 1| | 2 3|f x x x    ，关于 x 的不等式 2 2( ) log ( 3 ) 2f x a a   恒成 立，求实数a 的取值范围。 武威六中 2020 届高三第六次诊断考试 文科数学试卷答案 1-5 D C AAA, 6-10 BDDCA 11-12 DB 13． 14. 1/2 15.-2 16. 1 与 3 17(1)证明：∵ PDPA  ，∴ ADPQ  ， 1 分 又∵底面 ABCD 为菱形， 60BAD ， 2 分 连 BD ，则 ABD 为正三角形，∴ ADBQ  ， 3 分 又 QBQPQ  ， BQPQ、 平面 PQB ， 4 分 ∴ AD 平面 PQB ； 5 分 (2)解：∵平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ADABCD  ， 6 分 ADPQ  ，∴ PQ 平面 ABCD ， 7 分 ∵ BC 平面 ABCD ，∴ BCPQ  ， 8 分 又 BQBC  ， QQPQB  ，∴ BC 平面 PQB ，又 MCPM 3 ， 10 分 ∴ 4 324 3332 1 3 1   PQBMQBMP VV 。 12 分 18．(1)由 A 餐厅分数的频率分布直方图，得对 A 餐厅评分低于 30 分的频率为： 2.010)012.0005.0003.0(  2 分 ∴ 对 A 餐 厅 评 分 低 于 30 的 人 数 为 202.0100  人 ， 4 分 (2)对 B 餐厅评分在 )10,0[ 范内的有 2 人，设为 m 、 n， 对 B 餐厅评分在 )20,10[ 范围内的有 3 人，设为 a 、 b 、 c ， 从这5 人中随机选出 2 人的选法为： mn 、ma 、mb 、mc 、na 、nb 、nc 、ab 、ac 、bc ，共10 种， 6 分 其中恰有1 人评分在 )10,0[ 范围内的选法包括： ma 、 mb 、 mc 、 na 、 nb 、 nc ， 共 6 种 ， 8 分 故 2 人 中 恰 有 1 人 评 分 在 )10,0[ 范 围 内 的 概 率 为 5 3 10 6 P ， 9 分 (3)从两个餐厅得分低于 30 分的人数所占的比例来看，由(1)得，抽样的100人中， A 餐厅评分低于 30 的人数为 20 ， ∴ A 餐 厅 评 分 低 于 30 分 的 人 数 所 占 的 比 例 为 %20 ， 10 分 B 餐厅评分低于 30 分的人数为 10532  ， ∴ B 餐 厅 得 分 低 于 30 分 的 人 数 所 占 的 比 例 为 %10 ， 11 分 ∴ 会 选 择 B 餐 厅 用 餐 。 12 分 19．解：（1）令 ,3 2 5n n n n nS b a    ， 当 2n  时， 1 1 1 3 3 3n n n n nb S S       ， 当 1n  时， 1 1 3b  ，则 1 2 5 3n n nb a   ， 故 3 5.2n na  ······································6 分 （2） 1 1 4 4 1 1[ ](3 5)[3( 1) 5] 3 (3 5) 3( 1) 5n na a n n n n         ，······························ 8 分 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]3 1 5 3 2 5 3 2 5 3 3 5 3 5 3( 1) 5nT n n                     166249 4 6 1 5)1(3 1 8 1 3 4      n n nn ····················································12 分 20． (1)设 )2,( 2 1 1 xxA ， )2,( 2 2 2 xxB ， 以 A 为切点的切线为 )(2 11 2 1 xxxxy  ，整理得： 2 2 1 1 xxxy  ， 1 分 同 理 ： 以 B 为 切 点 的 切 线 为 ： 2 2 2 2 xxxy  ， 2 分 联 立 方 程 组 ：         2 2 2 2 2 2 1 1 xxxy xxxy ， 解 得 )2,2( 2121 xxxxP  。 3 分 不 妨 设 直 线 AB 的 方 程 为 ： )1(1  xky ， 4 分 联 立 方 程 组      2 2 1 )1(1 xy xky 得 ： 02222  kkxx ， 5 分 ∴ kxx 221  ， 2221  kxx ，∴ )1,( kkP ， ∴ 点 P 的 轨 迹 方 程 为 1 xy ； 6 分 (2) 由 (1) 知 ： 22124)(1|| 22 21 2 21 2  kkkxxxxkAB ， 9 分 )1,( kkP 到 直 线 AB 的 距 离 为 ： 2 2 1 |22| k kkd   ， 10 分 ∴ 3232 ]1)1[()22(||2 1  kkkdABS ， 11 分 ∴ 1k 时 ， S 取 得 最 小 值 1 ， 此 时 直 线 AB 的 方 程 为 xy  。 12 分 21．(1) )(xf 的定义域为 ),0(  ， axxf  1)( 。 1 分 若 0a ， 则 0)(  xf ， ∴ )(xf 在 ),0(  上 单 调 递 增 。 2 分 若 0a ， 则 当 )1,0( ax  时 ， 0)(  xf ； 3 分 当 ),1(  ax 时 ， 0)(  xf 。 4 分 ∴ )(xf 在 )1,0( a 上 单 调 递 增 ， 在 ),1(  a 上 单 调 递 减 。 5 分 (2) 由 (1) 知 ， 当 0a ， )(xf 在 ),0(  上 无 最 大 值 ； 6 分 当 0a 时 ， )(xf 在 ax 1 取 得 最 大 值 ， 7 分 最 大 值 为 1ln)11(1ln)1(  aaaaaaf 。 8 分 ∴ 22)1(  aaf 等 价 于 01ln  aa 。 9 分 令 1ln)(  aaag ， 则 )(ag 在 ),0(  上 单 调 递 增 ， 0)1( g 。 10 分 于 是 ， 当 10  a 时 ， 0)( ag ； 当 1a 时 ， 0)( ag 。 11 分 ∴ a 的取值范围是 )1,0( 。 12 分 22．【解析】(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系， 则点 A 的直角坐标为 )0,2( ，直线 l 的直角坐标方程为 02  myx ， 2 分 由 点 A 到 直 线 l 的 距 离 为 31 2 |22|  mmd ， ∴ 2m ； 4 分 (2)由(1)得直线 l 的方程 为 2)4sin(   ，设 ),( 00 P ， ),( Q ， ( 0 )， 则      0 0 1   ， 即      0 0 1   ① ， 6 分 ∵ 点 ),( 00 P 在 直 线 l 上 ， ∴ 2)4sin( 00   ② ， 7 分 将①代入②得 2)4sin(1   ，则点 Q 轨迹方程为 )4sin(2 1   ， ( 0 )，8 分 化为直角坐标方程为 16 1)8 2()8 2( 22  yx ( 0x )， 则点Q 的轨迹是以 )8 2,8 2( 为圆心， 4 1 为半径，除去原点的圆。。 10 分 23． 【解析】(1)证明：记        1,3 12,12 2,3 |2||1|)( x xx x xxxh ， 2 分 由 0122  x ， 解 得 ： 2 1 2 1  x ， 则 }2 1 2 1|{  xxM ， 3 分 ∴ 4 1 2 1 6 1 2 1 3 1||6 1||3 1|6 1 3 1|  baba ； 4 分 (2) 解 ： 2)3(log)( 2 2  aaxf 等 价 于 2)3(log|32||12| 2 2  aaxx ， 6 分 4|3212||32||12|  xxxx ， 于 是 2)3(log4 2 2  aa ， 即      43 03 2 2 aa aa ， 8 分 ∴ 01  a 或 43  a 。 10 分