【数学】2019届一轮复习人教A版大题冲关系列三数列的综合问题学案 17页

数列的综合问题 命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解．‎ 题型1 等差、等比数列的综合运算 例1　[2017·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ 解题视点　(1)熟练应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式；(2)在证明a，b，c成等差、等比数列时，可以利用等差中项：＝b或等比中项：ac＝b2来证明．‎ 解　(1)设{an}的公比为q.由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2.‎ 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.‎ ‎(2)由(1)可得 Sn＝＝－＋(－1)n.‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ‎＝2＝2Sn，‎ 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.‎ 冲关策略 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 ‎(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．‎ ‎(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.‎ 变式训练1‎ 已知数列{an}是等差数列，首项a1＝2，且a3是a2与a4＋1的等比中项．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解　(1)设{an}的公差为d，由题意可得 a＝a2·(a4＋1)，‎ 即(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，‎ ‎∴d＝2或d＝－1.‎ 当d＝－1时，a3＝0，不符合条件．‎ ‎∴d＝2，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.‎ ‎(2)bn＝＝ ‎＝＝ ‎∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ 题型2 数列的通项与求和 例2　　[2018·临汾模拟]数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有an>0,4Sn＝(an＋1)2.‎ ‎(1)求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.‎ 解题视点　(1)运用an＝得到{an}为等差数列，进而求解；(2)解题的关键是错位相减法的运算，对考生的运算求解能力要求较高．‎ 解　(1)证明：令n＝1,4S1＝‎4a1＝(a1＋1)2，‎ 解得a1＝1，‎ 由4Sn＝(an＋1)2，得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，‎ 两式相减得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2，‎ 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，‎ 因为an>0，所以an＋1－an＝2，‎ 则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ an＝1＋2(n－1)＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)得bn＝，‎ Tn＝＋＋＋…＋，①‎ Tn＝＋＋＋…＋，②‎ ‎①－②得 Tn＝＋2－ ‎＝＋2×－＝－，‎ 所以Tn＝1－.‎ 冲关策略 ‎(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息．‎ ‎(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.‎ 变式训练2‎ 数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)∵Sn＝2an－a1，‎ ‎∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1－a1，‎ ‎∴an＝2an－2an－1，化为an＝2an－1.‎ 由a1，a2＋1，a3成等差数列得，2(a2＋1)＝a1＋a3，‎ ‎∴2(‎2a1＋1)＝a1＋‎4a1，解得a1＝2.‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2.‎ ‎∴ an＝2n.‎ ‎(2)∵an＋1＝2n＋1，∴Sn＝＝2n＋1－2，‎ Sn＋1＝2n＋2－2.‎ ‎∴bn＝＝ ‎＝.‎ ‎∴数列{bn}的前n项和 Tn＝＝.‎ 题型3 数列与其他知识的交汇 命题角度1　数列与函数的交汇 例3　[2018·河南开封模拟]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解题视点　(1)叠加法求数列的通项公式；(2)裂项相消法求数列的前n项和．‎ 解　(1)f′(x)＝2ax＋b，‎ 由题意知b＝2n,16n‎2a－4nb＝0，‎ ‎∴a＝，‎ 则f(x)＝x2＋2nx，n∈N*.‎ 数列{an}满足＝f′，‎ 又f′(x)＝x＋2n，‎ ‎∴＝＋2n，∴－＝2n，‎ 由叠加法可得－＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，‎ 化简可得an＝(n≥2)，‎ 当n＝1时，a1＝4也符合，‎ ‎∴an＝(n∈N*)．‎ ‎(2)∵bn＝＝ ‎＝2，‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝＋＋…＋ ‎＝2 ‎＝2＝.‎ 冲关策略 ‎ (1)数列与函数的综合问题一般是以函数作为背景，给出数列所满足的条件．解决这类问题的关键是利用函数知识，将条件进行准确转化．‎ ‎(2)此类问题多考查函数思想及性质(多为单调性)，注意题中的限制条件，如定义域.‎ 命题角度2　数列与不等式的交汇 例4　[2018·湖南怀化质检]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<.‎ 解题视点　(1)利用an与Sn的关系求得{an}的通项公式；(2)利用放缩法巧妙证明不等式．‎ 解　(1)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，‎ ‎2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，‎ 两式相减并整理得－＝1，又－＝1，‎ 所以＝1＋(n－1)×1＝n，得an＝n2.‎ 当n＝1时，上式显然成立，∴an＝n2(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：当n＝1时，<；‎ 当n＝2时，＋＝1＋＝<；‎ 当n≥3时，＝<＝－，此时 ＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<，故＋＋…＋<.‎ 冲关策略 数列中不等式的处理方法 ‎(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式．‎ ‎(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．本题第(2)问中用到“放缩”．一般地，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列、可裂项相消求和的数列等．‎ ‎(3)比较方法：作差比较或作商比较.‎ 命题角度3　数列与解析几何的交汇 例5　　[2017·山东高考] 已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式；‎ ‎(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.‎ 解题视点　记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，以几何图形为背景确定{bn}的通项公式是关键．‎ 解　(1)设数列{xn}的公比为q，由已知知q>0.‎ 由题意得所以3q2－5q－2＝0.‎ 因为q＞0，所以q＝2，x1＝1.‎ 因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n－1.‎ ‎(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.‎ 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1.‎ 记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，‎ 由题意得bn＝×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①‎ ‎2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②‎ ‎①－②得 ‎－Tn＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)×2n－1‎ ‎＝＋－(2n＋1)×2n－1.‎ 所以Tn＝.‎ 冲关策略 数列与解析几何的综合问题，往往以考查数列知识为主，只需将含有解析几何知识的已知条件进行转化，就变成了一个纯数列问题.‎ 命题角度4　数列与应用问题的交汇 例6　[2018·北京东城模拟]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.‎ ‎(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；‎ ‎(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？‎ 解题视点　(1)根据题意，构建等比数列模型；(2)构建不等关系，解不等式求解．‎ 解　(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×万元，…，第n年投入为800×n－1万元，所以，n年内的总投入为 an＝800＋800×＋…＋800×n－1‎ ‎＝800× ‎＝4000×.‎ 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×n－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为 bn＝400＋400×＋…＋400×n－1‎ ‎＝400× ‎＝1600×.‎ ‎(2)设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入，由此得bn－an>0，即 ‎1600×－4000×>0，令x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0，解此不等式，得x<或x>1(舍去)，即n<，由此得n≥5.‎ 所以至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.‎ 冲关策略 ‎(1)此类问题的解题思路：仔细阅读所给材料，认真理解题意，将已知条件翻译成数学语言并转化为数学问题，分清是等差数列还是等比数列，是求通项问题还是求项数问题，或是求和问题等，并建立相应数学模型求解．‎ ‎(2)一般涉及递增率，要用等比数列，涉及依次增加或者减少，要用等差数列，有的问题是通过转化得到等差或等比数列，在解决问题时要向这些方向思考.‎ 解答题专项训练三 ‎1.[2017·全国卷Ⅱ]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由a2＋b2＝2得－1＋d＋q＝2.①‎ 由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②‎ 联立①和②解得(舍去)，或 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.‎ ‎2．[2018·西安模拟]设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为其前n项和，已知S3＝7，a1＋3,‎3a2，a3＋4构成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝an＋ln an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q(q>1)，‎ 由题意可得 即 解得 ‎∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n－1＋ln 2n－1＝2n－1＋(n－1)ln 2，‎ ‎∴Tn＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]ln 2‎ ‎＝＋ln 2‎ ‎＝2n－1＋ln 2.‎ ‎3．[2018·昆明检测]已知数列{an}满足：a1＝3，an＋1＝an＋2n＋2.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)证明：＋＋＋…＋<1.‎ 证明　(1)由an＋1＝an＋2n＋2，得＝＋2，即－＝2，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，‎ ‎∴an＝n(2n＋1)，‎ ‎∴＝<＝－，‎ ‎∴＋＋＋…＋<＋＋＋…＋＝－<1，‎ ‎∴＋＋＋…＋<1.‎ ‎4.[2018·沈阳模拟]设数列{an}的前n项和为Sn，满足S3＝9，Sn＝nan＋1－n(n＋1)，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝an×()an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)由题意得，解得a1＝1，a2＝3，a3＝5，‎ 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－(n－1)n，‎ 所以an＝nan＋1－n(n＋1)－(n－1)an＋(n－1)n，‎ 即an＋1－an＝2.‎ 又a2－a1＝2，因而数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，从而an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝an×()an＋1＝(2n－1)×2n，‎ Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，‎ ‎2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.‎ 两式相减得 ‎－Tn＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)×2n＋1‎ ‎＝－2＋2×(21＋22＋23＋…＋2n)－(2n－1)×2n＋1‎ ‎＝－2＋2×－(2n－1)×2n＋1‎ ‎＝－2＋2n＋2－4－(2n－1)×2n＋1＝－6－(2n－3)×2n＋1.‎ 所以Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1.‎ ‎5.[2018·南通模拟]已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.‎ 解　(1)＝(32－1)＝3，‎ 当n≥2时，‎ ‎∵＝－ ‎＝(32n－1)－(32n－2－1)＝32n－1，‎ 当n＝1时，＝32n－1也成立，‎ ‎∴an＝.‎ ‎(2)bn＝log3＝－(2n－1)，‎ ＝＝，‎ ‎∴＋＋…＋＝ ‎＝＝.‎ ‎6.[2018·张家口模拟]已知数列{an}满足a1＝1,2an·an＋1＋an＋1－an＝0，数列{bn}满足bn＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，问：是否存在n，使得Sn的值是？‎ 解　(1)因为2an·an＋1＋an＋1－an＝0，‎ 所以an＋1＝，‎ －＝－＝2，‎ 由等差数列的定义可得是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列．‎ 故＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝.‎ ‎(2)由(1)得bn＝，‎ 所以Sn＝＋＋…＋，‎ 两边同乘以得，Sn＝＋＋…＋，‎ 两式相减得Sn＝＋2－，‎ 即Sn＝＋2×－＝－－，‎ 所以Sn＝3－.‎ 因为Sn＋1－Sn＝－＝>0，所以数列{Sn}是关于项数n的递增数列，所以Sn≥S1＝，因为<，所以不存在n，使得Sn＝.‎ ‎7.[2018·甘肃诊断]某乡镇引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元．每年企业销售收入500万元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．‎ ‎(1)从第几年开始获取纯利润？‎ ‎(2)若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：‎ ‎①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；‎ ‎②纯利润最大时，以160万元出售该企业．问哪种方案最合算？‎ 解　由题意知每年的运营费用(万元)是以120为首项，40为公差的等差数列．‎ 则f(n)＝500n－－720‎ ‎＝－20n2＋400n－720.‎ ‎(1)获取纯利润就是f(n)>0，‎ 故有－20n2＋400n－720>0，解得2