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- 2021-06-24 发布
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江苏省南通市2020届四校联盟
高三数学模拟测试卷
一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上）
1．已知集合，，则 ▲ ．
2.复数，（其中是虚数单位），则复数的共轭复数为 ▲ ．
3．设向量＝(l，k)，＝(﹣2，k﹣3)，若∥，则实数k的值为 ▲ ．1
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．
5．函数f(x) = 的定义域为 ▲.(-3/4,1]
6．已知命题p：－10，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．[5，7]
7．在正四棱锥S﹣ABCD中，点O是底面中心，SO＝2，侧棱SA＝2，则该棱锥的体积为 ▲ ．32/3
8．若函数()的图象关于直线对称，则＝ ▲ ．
9．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭
圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为
▲ ．
10．在所在的平面上有一点，满足，则= ▲ ．
11.如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则= ▲ ． 3
12．己知x(0，3)，则的最小值为 ▲ ．
13.若函数f(x) = x3-ax, x>0存在零点，则实数a的取值范围为▲.[2,+∞)
14．已知，，若同时满足条件：
①，或；②，．
则的取值范围是 ．
二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．
（1）求证：AC1∥平面PBD；
（2）求证：BD⊥A1P．
（1）证明：连结交于点，连结，
因为四边形是正方形，对角线交于点，
所以点是的中点，所以．
又因为点是侧棱的中点，所以．
在中，,
所以．………………4分
又因为，，
所以平面．………………7分
（2）证明：连结.
因为为直四棱柱，
所以侧棱垂直于底面，
又平面，所以．
因为底面是菱形，所以．
又，,所以．………………10分
又因为,所以，因为，
所以，
所以．………………14分
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
解：（1）解法1：
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分
因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝．………………4分
又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
解法2：
因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝．………………2分
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
所以＝．………………6分
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分
又0＜B＜π，所以sinB＝＝，
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
（第17题）
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分
17．（14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，且过点．过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，点在椭圆上，且满足．
（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程．
.解：（1）由题意可知，，且，又因为，
解得，………2分
所以椭圆的标准方程为………4分；
（2）若直线的斜率不存在，则易得，，得，显然点不在椭圆上，舍去………5分；
因此设直线的方程为，设，
将直线的方程与椭圆的方程联立，整理得………7分，
因为，所以………8分，
则由，
得………10分
将点坐标代入椭圆的方程，得………11分
;将带入等式得，………12分，
因此所求直线的方程为………14分
设直线的方程为求解亦可
（第18题）
18．（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角．已知．
（1）当重合时，求路灯在路面的照明宽度；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值．
解：（1）当重合时，
由余弦定理知，，
所以……2分，
因为，所以，
因为，所以，……4分
因为，所以
……6分
在中，由正弦定理可知，，解得……8分；
（2）易知到地面的距离，……10分
由三角形面积公式可知，，
所以,……12分
又由余弦定理可知，，……13分
当且仅当时，等号成立，所以，解得……14分；
答：（1）路灯在路面的照明宽度为；
（2）照明宽度的最小值为.……16分
19．（本小题满分16分）已知函数（）的图象为曲线．
（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．
【解】（1），则， ----------4分
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------6分
得：；-------------------------------9分
（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，，
过A的切线方程是： ，-----------------11分
同理：过B的切线方程是，
则有：，得，----------------------13分
又由，
即
，即
即，
得，由得，这与矛盾，所以不存在----------16分
20．（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立．
（1） ，
①求数列的通项公式；
②若求数列的前项的和
（2） 是否存在实数λ，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，
说明理由.
【详解】(1)①若，因为
则，.
又∵，，∴，
∴，
化简，得. ①
∴当时，. ②
②－①，得，∴.
∵当时，，∴时上式也成立，
∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，.………………4分
②因为，∴
所以
所以
将两式相减得：
所以………………8分
(2)令，得.令，得.
要使数列是等差数列，必须有，解得.
当时，，且.………………10分
当时，，
整理，得，，
从而，
化简，得，所以.
综上所述，，
所以时，数列是等差数列. ………………16分
数学附加试卷
（满分40分，考试时间30分钟）
21A．（本小题满分10分）
己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)·
（1)求实数a，b的值：
（2）求矩阵A的逆矩阵．
解：（1）因为，
所以所以．………………5分
（2），
．………………10分
21B．在极坐标系中，已知 1，， 9，，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．
解：由题意，线段的中点坐标为，
设点为直线上任意一点，
在直角三角形中，，
所以，的极坐标方程为，………………5分
令，得，即．（8分）
所以，的面积为：．………………10分
22.(本小题満分10分)
（1）求实数m，n的值：
（2）若对任意实数x，都有成立.求实数的取值范围.
23．（本小题满分10分）
已知…，．记．
（1）求的值；
（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
解：（1）．………………3分
（2）
∵
∴
………………7分
∴．
∵，
∴能被整除．………………10分
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