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  • 2021-06-24 发布

江苏省南通市四校联盟2020届高三下学期模拟测试数学试题

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江苏省南通市2020届四校联盟 高三数学模拟测试卷 一、填空题(共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上)‎ ‎1.已知集合,,则 ▲ .‎ ‎2.复数,(其中是虚数单位),则复数的共轭复数为 ▲ .‎ ‎3.设向量=(l,k),=(﹣2,k﹣3),若∥,则实数k的值为 ▲ .1‎ ‎4.如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为  .‎ ‎5.函数f(x) = 的定义域为 ▲.(-3/4,1]‎ ‎6.已知命题p:-10,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 ▲ .[5,7] ‎ ‎7.在正四棱锥S﹣ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为  ▲  .32/3‎ ‎8.若函数()的图象关于直线对称,则= ▲ .‎ ‎9.已知椭圆(a>b>0)的离心率,A、B分别是椭圆的左、右顶点,P是椭 圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB的倾斜角分别为、,则的值为 ‎ ‎ ▲ .‎ ‎10.在所在的平面上有一点,满足,则= ▲ .‎ ‎11.如图,将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列,从第2行起,每一行都是一个公差为的等差数列,若,则= ▲ . 3‎ ‎12.己知x(0,3),则的最小值为 ▲ .‎ ‎13.若函数f(x) = x3-ax, x>0存在零点,则实数a的取值范围为▲.[2,+∞)‎ ‎14.已知,,若同时满足条件:‎ ‎①,或;②,.‎ 则的取值范围是  .‎ 二、解答题(共6小题,共90分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎16.(本题满分14分)‎ 如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,已知底面ABCD是菱形,点P是侧棱C1C的中点.‎ ‎(1)求证:AC1∥平面PBD;‎ ‎(2)求证:BD⊥A1P.‎ ‎(1)证明:连结交于点,连结,‎ 因为四边形是正方形,对角线交于点,‎ 所以点是的中点,所以.‎ 又因为点是侧棱的中点,所以.‎ 在中,,‎ 所以.………………4分 又因为,,‎ 所以平面.………………7分 ‎(2)证明:连结.‎ 因为为直四棱柱,‎ 所以侧棱垂直于底面,‎ 又平面,所以.‎ 因为底面是菱形,所以.‎ 又,,所以.………………10分 又因为,所以,因为,‎ 所以,‎ 所以.………………14分 ‎16.(本小题满分14分)‎ 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=.‎ ‎(1)若c=2a,求的值;‎ ‎(2)若C-B=,求sinA的值.‎ 解:(1)解法1:‎ 在△ABC中,因为cosB=,所以=.………………2分 因为c=2a,所以=,即=,所以=.………………4分 又由正弦定理得=,所以=.………………6分 解法2:‎ 因为cosB=,B∈(0,π),所以sinB==.………………2分 因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,‎ 所以sinC=2sin(B+C)=cosC+sinC,即-sinC=2cosC.………………4分 又因为sin2C+cos2C=1,sinC>0,解得sinC=, ‎ 所以=.………………6分 ‎(2)因为cosB=,所以cos2B=2cos2B-1=.………………8分 又0<B<π,所以sinB==,‎ 所以sin2B=2sinBcosB=2××=.………………10分 因为C-B=,即C=B+,所以A=π-(B+C)=-2B,‎ ‎(第17题)‎ 所以sinA=sin(-2B)=sincos2B-cossin2B=.………………14分 ‎17.(14分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的右焦点为,且过点.过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点,点在椭圆上,且满足.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求直线的方程.‎ ‎.解:(1)由题意可知,,且,又因为,‎ 解得,………2分 所以椭圆的标准方程为………4分;‎ ‎(2)若直线的斜率不存在,则易得,,得,显然点不在椭圆上,舍去………5分;‎ 因此设直线的方程为,设,‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立,整理得………7分,‎ 因为,所以………8分,‎ 则由,‎ 得………10分 将点坐标代入椭圆的方程,得………11分 ‎;将带入等式得,………12分,‎ 因此所求直线的方程为………14分 设直线的方程为求解亦可 ‎(第18题)‎ ‎18.(16分)某校要在一条水泥路边安装路灯,其中灯杆的设计如图所示,为地面,为路灯灯杆,,,在处安装路灯,且路灯的照明张角.已知.‎ ‎(1)当重合时,求路灯在路面的照明宽度;‎ ‎(2)求此路灯在路面上的照明宽度的最小值.‎ 解:(1)当重合时,‎ 由余弦定理知,,‎ 所以……2分,‎ 因为,所以,‎ 因为,所以,……4分 因为,所以 ‎……6分 在中,由正弦定理可知,,解得……8分;‎ ‎(2)易知到地面的距离,……10分 由三角形面积公式可知,,‎ 所以,……12分 又由余弦定理可知,,……13分 当且仅当时,等号成立,所以,解得……14分;‎ 答:(1)路灯在路面的照明宽度为;‎ ‎(2)照明宽度的最小值为.……16分 ‎19.(本小题满分16分)已知函数()的图象为曲线.‎ ‎(1)求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围;‎ ‎(2)若曲线上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围;‎ ‎(3)试问:是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的所有直线方程;若不存在,说明理由. ‎ ‎【解】(1),则, ----------4分 ‎(2)由(1)可知,---------------------------------------------------------6分 得:;-------------------------------9分 ‎(3)设存在过点A的切线曲线C同时切于两点,另一切点为B,,‎ 过A的切线方程是: ,-----------------11分 同理:过B的切线方程是, ‎ ‎ 则有:,得,----------------------13分 ‎ 又由,‎ ‎ 即 ‎ ,即 ‎ 即,‎ ‎ 得,由得,这与矛盾,所以不存在----------16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 设各项均为正数的数列的前项和为,已知,且对一切都成立.‎ (1) ‎,‎ ‎①求数列的通项公式;‎ ‎②若求数列的前项的和 (2) 是否存在实数λ,使数列是等差数列.如果存在,求出的值;若不存在,‎ 说明理由.‎ ‎【详解】(1)①若,因为 则,.‎ 又∵,,∴,‎ ‎∴,‎ 化简,得. ①‎ ‎∴当时,. ②‎ ‎②-①,得,∴.‎ ‎∵当时,,∴时上式也成立,‎ ‎∴数列是首项为1,公比为2的等比数列,.………………4分 ‎②因为,∴‎ 所以 所以 将两式相减得:‎ 所以………………8分 ‎(2)令,得.令,得.‎ 要使数列是等差数列,必须有,解得.‎ 当时,,且.………………10分 当时,,‎ 整理,得,,‎ 从而,‎ 化简,得,所以. ‎ 综上所述,,‎ 所以时,数列是等差数列. ………………16分 数学附加试卷 ‎(满分40分,考试时间30分钟)‎ ‎21A.(本小题满分10分)‎ 己知矩阵,其中,点P(2,2)在矩阵的变换下得到的点Q(2,4)·‎ ‎(1)求实数a,b的值:‎ ‎(2)求矩阵A的逆矩阵.‎ 解:(1)因为,‎ 所以所以.………………5分 ‎(2),‎ ‎.………………10分 ‎21B.在极坐标系中,已知 1,, 9,,线段的垂直平分线与极轴交于点,求的极坐标方程及的面积.‎ 解:由题意,线段的中点坐标为,‎ 设点为直线上任意一点,‎ 在直角三角形中,,‎ 所以,的极坐标方程为,………………5分 令,得,即.(8分)‎ 所以,的面积为:.………………10分 ‎22.(本小题満分10分)‎ ‎(1)求实数m,n的值:‎ ‎(2)若对任意实数x,都有成立.求实数的取值范围.‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 已知…,.记.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)化简的表达式,并证明:对任意的,都能被整除.‎ 解:(1).………………3分 ‎(2)‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎………………7分 ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴能被整除.………………10分