2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§3-1 导数的概念及运算（试题部分） 9页

专题三　导数及其应用 ‎【真题探秘】‎ ‎§3.1　导数的概念及运算 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 导数的概 念与几 何意义 ‎①了解导数概念的实际背景;‎ ‎②理解导数的几何意义 ‎2018课标全国Ⅰ,6,5分 曲线的切线方程 函数的奇偶性 ‎★★★‎ ‎2017课标全国Ⅰ,14,5分 曲线的切线方程 ‎—‎ ‎2019课标全国Ⅲ,7,5分 由切线方程求参数 ‎—‎ ‎2019课标全国Ⅱ,10,5分 曲线的切线方程 ‎—‎ ‎2019课标全国Ⅰ,13,5分 曲线的切线方程 ‎—‎ 导数的 运算 ‎①能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=‎1‎x,y=x2,y=x3,y=x的导数;‎ ‎②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 ‎2016天津,10,5分 导数的运算 求导公式及求导法则的运用 ‎★☆☆‎ ‎2015天津,11,5分 导数的运算 求导公式及求导法则的运用 ‎2018天津,10,5分 导数的运算 求导公式及求导法则的运用 分析解读 本节主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.‎ ‎1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.‎ ‎2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查.‎ ‎3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　导数的概念与几何意义　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2019安徽宣城八校联考,6)若曲线y=aln x+x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是π‎3‎‎,‎π‎2‎,则a=(　　)‎ A.‎1‎‎24‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案　B ‎2.(2018课标全国Ⅱ,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　2x-y-2=0‎ 考点二　导数的运算 ‎1.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln‎1‎x,则f(1)=(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-e B.2 C.-2 D.e 答案　B　‎ ‎2.(2019湖北部分重点中学第二次联考,8)已知函数f(x)=xcos x+(a-1)x2+ax+a,若函数y=f(x)-a是奇函数,则曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程是(　　)‎ A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0‎ C.2x+y-1=0 D.x-2y+2=0‎ 答案　B　‎ ‎3.(2019陕西延安模拟,7)已知函数f(x)=‎2‎‎2 01‎9‎x+1‎+sin x,其中f '(x)为函数f(x)的导数,则f(2 018)+f(-2 018)+f '(2 019)-f '(-2 019)=(　　)‎ A.2 B.2 019 C.2 018 D.0‎ 答案　A　‎ ‎4.(2019江西南昌一模,9)已知f(x)在R上连续可导, f '(x)为其导函数,且f(x)=ex+e-x-f '(1)x·(ex-e-x),则f '(2)+f '(-2)-f '(0)f '(1)=(　　)‎ A.4e2+4e-2 B.4e2-4e-2‎ C.0 D.4e2‎ 答案　C　‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　求函数的导数的方法 ‎1.(2018湖南邵阳三模,4)已知函数f(x)=f '(-2)ex-x2,则f '(-2)=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.e‎2‎e‎2‎‎-1‎ B.‎4(e‎2‎-1)‎e‎2‎ C.e‎2‎‎-1‎‎4‎e‎2‎ D.‎‎4‎e‎2‎e‎2‎‎-1‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019福建福州模拟,4)已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y=‎1‎‎2‎x+2,则f(1)+f '(1)的值等于(　　)‎ A.1 B.‎5‎‎2‎ C.3 D.0‎ 答案　C　‎ 方法2　利用导数的几何意义求曲线的切线方程 ‎1.(2019黑龙江东安模拟,5)设点P是曲线y=x3-‎3‎x+‎3‎‎5‎上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎2π‎3‎ B.‎0,‎π‎2‎∪‎2π‎3‎‎,π C.π‎2‎‎,‎‎2π‎3‎ D.‎π‎3‎‎,‎‎2π‎3‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019安徽江南十校3月综合素质检测,5)曲线f(x)=‎1-2lnxx在点P(1, f(1))处的切线l的方程为(　　)‎ A.x+y-2=0 B.2x+y-3=0‎ C.3x+y+2=0 D.3x+y-4=0‎ 答案　D　‎ ‎3.(2019江西吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学4月联考,14)已知曲线y=‎1‎x+lnxa在x=1处的切线l与直线2x+3y=0垂直,则实数a的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎5‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2019课标全国Ⅲ,7,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1‎ C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1‎ 答案　D　‎ ‎2.(2019课标全国Ⅱ,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(π,-1)处的切线方程为(　　)‎ A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0‎ C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018课标全国Ⅰ,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)‎ A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案　D　‎ ‎4.(2019课标全国Ⅰ,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为　　　　. ‎ 答案　y=3x ‎5.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+‎1‎x在点(1,2)处的切线方程为　　　　　　. ‎ 答案　x-y+1=0‎ ‎6.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是　　　　. ‎ 答案　y=2x ‎7.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎8.(2018课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=ax‎2‎+x-1‎ex.‎ ‎(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;‎ ‎(2)证明:当a≥1时, f(x)+e≥0.‎ 答案　本题考查导数的几何意义、导数的综合应用.‎ ‎(1)f '(x)=‎-ax‎2‎+(2a-1)x+2‎ex, f '(0)=2.‎ 因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.‎ ‎(2)当a≥1时, f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.‎ 令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.‎ 当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;‎ 当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.‎ 所以g(x)≥g(-1)=0.‎ 因此f(x)+e≥0.‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　导数的概念与几何意义　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)‎ A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2017天津,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎3.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. ‎ 答案　(e,1)‎ 考点二　导数的运算 ‎1.(2018天津,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为　　　　. ‎ 答案　e ‎2.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎3.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2010课标全国,4,5分)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为(　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是　　　　. ‎ 答案　(e,e)‎ ‎3.(2012课标全国,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　. ‎ 答案　y=4x-3‎ ‎4.(2013江西,11,5分)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎5.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎6.(2011课标,21,12分)已知函数f(x)=alnxx+1‎+bx,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)证明:当x>0,且x≠1时, f(x)>lnxx-1‎.‎ 答案　(1)f '(x)=ax+1‎x‎-lnx‎(x+1‎‎)‎‎2‎-bx‎2‎.‎ 由于直线x+2y-3=0的斜率为-‎1‎‎2‎,且过点(1,1),‎ 故f(1)=1,‎f '(1)=-‎1‎‎2‎,‎即b=1,‎a‎2‎‎-b=-‎1‎‎2‎.‎ 解得a=1,b=1.‎ ‎(2)证明:由(1)知f(x)=lnxx+1‎+‎1‎x,‎ 所以f(x)-lnxx-1‎=‎1‎‎1-‎x‎2‎‎2lnx-‎x‎2‎‎-1‎x.‎ 考虑函数h(x)=2ln x-x‎2‎‎-1‎x(x>0),‎ 则h'(x)=‎2‎x-‎‎2x‎2‎-(x‎2‎-1)‎x‎2‎ ‎=-‎(x-1‎‎)‎‎2‎x‎2‎.‎ 所以当x≠1时,h'(x)<0.‎ 而h(1)=0,故当x∈(0,1)时,h(x)>0,可得‎1‎‎1-‎x‎2‎h(x)>0;‎ 当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得‎1‎‎1-‎x‎2‎h(x)>0.‎ 从而当x>0,且x≠1时, f(x)-lnxx-1‎>0,即f(x)>lnxx-1‎.‎ ‎7.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=x‎2‎ex.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;‎ ‎(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.‎ 答案　(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,‎ 所以f '(1)=2,‎ 又f '(x)=ln x+ax+1,‎ 所以a=1.‎ ‎(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.‎ 设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-x‎2‎ex,‎ 当x∈(0,1]时,h(x)<0.‎ 又h(2)=3ln 2-‎4‎e‎2‎=ln 8-‎4‎e‎2‎>1-1=0,‎ 所以存在x0∈(1,2),‎ 使得h(x0)=0.‎ 因为h'(x)=ln x+‎1‎x+1+x(x-2)‎ex,‎ 所以当x∈(1,2)时,h'(x)>1-‎1‎e>0,‎ 当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,‎ 所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.‎ 所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.‎ ‎(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,‎ 且x∈(0,x0)时, f(x)g(x),‎ 所以m(x)=‎‎(x+1)lnx,　x∈(0,x‎0‎],‎x‎2‎ex‎,x∈(x‎0‎,+∞).‎ 当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;‎ 若x∈(1,x0),由m'(x)=ln x+‎1‎x+1>0,‎ 可知00,m(x)单调递增;‎ x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,‎ 可知m(x)≤m(2)=‎4‎e‎2‎,且m(x0)1‎图象上在点P1,P2处的切线.l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则A,B两点之间的距离是(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　B　‎ 二、解答题(共20分)‎ ‎9.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,22)已知定义在实数集R上的函数f(x)=x2+x,g(x)=‎1‎‎3‎x3-2x+m.‎ ‎(1)求函数f(x)的图象在x=1处的切线方程;‎ ‎(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[-4,4]恒成立,求实数m的取值范围.‎ 答案　(1)∵f(x)=x2+x,∴f(1)=2.‎ ‎∵f '(x)=2x+1,∴f '(1)=3.‎ ‎∴所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.(4分)‎ ‎(2)令h(x)=g(x)-f(x)=‎1‎‎3‎x3-x2-3x+m,‎ 则h'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),‎ ‎∴当-4≤x<-1时,h'(x)>0;当-10.(8分)‎ 要使f(x)≥g(x)恒成立,需h(x)max≤0.‎ 由h(x)的单调性知h(x)的最大值在x=-1或x=4处取得.‎ 而h(-1)=m+‎5‎‎3‎,h(4)=m-‎20‎‎3‎,易知h(-1)>h(4),故h(x)max=h(-1),∴m+‎5‎‎3‎≤0,解得m≤-‎5‎‎3‎.‎ ‎∴实数m的取值范围为‎-∞,-‎‎5‎‎3‎.(10分)‎ ‎10.(2020届湖北沙市中学月考,21)已知函数f(x)=ax-‎‎1‎x-bln x(a,b∈R),g(x)=x2.‎ ‎(1)若a=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,求b的值;‎ ‎(2)若b=2,试探究函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,求出a值的个数;若不存在,请说明理由.‎ 答案　(1)当a=1时,f(x)=x-‎1‎x-bln x,‎ ‎∴f '(x)=1+‎1‎x‎2‎-bx.‎ ‎∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,‎ ‎∴该切线的斜率为0,即f '(1)=0,即1+1-b=0,∴b=2.‎ ‎(2)假设f(x)与g(x)的图象在其公共点(x0,y0)处存在公切线.‎ 由f(x)=ax-‎‎1‎x-2ln x,g(x)=x2,得f '(x)=ax‎2‎-2x+ax‎2‎,g'(x)=2x.‎ 由题意得f '(x0)=g'(x0),即ax‎0‎‎2‎-2x‎0‎+ax‎0‎‎2‎=2x0,化简得2x‎0‎‎3‎-ax‎0‎‎2‎+2x0-a=0,即(x‎0‎‎2‎+1)(2x0-a)=0,得x0=a‎2‎.‎ 又易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ 当a≤0时,x0=a‎2‎≤0,则f(x),g(x)的图象在其公共点(x0,y0)处不存在公切线.‎ 当a>0时,令fa‎2‎=ga‎2‎,即a‎2‎‎2‎-2ln a‎2‎-2=a‎2‎‎4‎,即a‎2‎‎-8‎‎8‎=ln a‎2‎.‎ 令h(x)=x‎2‎‎-8‎‎8‎-ln x‎2‎(x>0),则h'(x)=‎1‎‎4‎x-‎1‎x=x‎2‎‎-4‎‎4x,‎ 则h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且h(2)=-‎1‎‎2‎<0.‎ 当x→0时,h(x)→+∞,当x→+∞时,h(x)→+∞,∴h(x)在(0,+∞)上有两个零点,∴方程a‎2‎‎-8‎‎8‎=ln a‎2‎在(0,+∞)上有两个不同解.‎ 综上,当a≤0时,函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处不存在公切线;‎ 当a>0时,函数f(x)与g(x)的图象在其公共点处存在公切线,a的值有两个.‎