吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三上学期一摸数学（文）试题 21页

东北师大附中2020届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求得集合，再求即可 ‎【详解】由求得集合，则 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 ‎2.已知是虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算化简即可 详解】‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题 ‎3.若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先判断，，再根据指数函数性质进一步判断即可 ‎【详解】由题可知，，，设，则函数为增函数，则，则 故选：D ‎【点睛】本题考查根据指数函数的性质比大小，属于基础题 ‎4.给出下列三个命题：①“若，则”的逆命题为假命题；②“”是“函数至少有一个零点”的充要条件；③命题“”的否定是“”.其中真命题的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题①，先求逆命题，再判断真假；对命题②，先将至少有一个零点作等价转化，再结合充要条件判断；对命题③，结合命题的否定一般方法加以否定即可 ‎【详解】对①，“若时，则”的逆命题为：“若时，则”，当时不成立，逆命题为假命题，说法正确；‎ 对②，若函数至少有一个零点，等价于，即，故②为真命题；‎ 对③，存在命题的否定：存在改全称，“”改成“”，故③为真命题 故真命题的个数为3个 故选：D ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，属于基础题 ‎5.函数的图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数图像上两个点，选出正确选项.‎ ‎【详解】由于函数经过点，只有C选项符合.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.‎ ‎6.已知函数，则的图像（ ）‎ A. 关于原点对称，但不关于轴对称 B. 关于轴对称，但不关于原点对称 C. 关于原点对称，也关于轴对称 D. 既不关于原点对称，也不关于轴对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再结合奇偶函数判断方法进一步判断即可 ‎【详解】，即，函数为偶函数；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查奇偶函数的判断方法，属于基础题 ‎7.设，，则约等于（ ）（参考数据：）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可 ‎【详解】由题知，，对同取对数，得，，，即，即；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查对数的运算性质，指数与对数的互化，同取是解题关键，属于基础题 ‎8.若函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解 ‎【详解】对A，的零点为；‎ 对B，的零点为；‎ 对C，的零点为；‎ 对D，的零点为；‎ ‎，，，故零点在之间，再用二分法，取，，，故的零点，由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数零点的求法，二分法的应用，属于基础题 ‎9.若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数为分段函数，结合增函数性质可知，每一段函数图像都应是增函数，再结合临界点处取值建立不等关系求解即可 ‎【详解】由题知，为增函数，则，即；‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查根据增函数性质求解参数范围，属于基础题 ‎10.已知函数（）的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将函数转化，令，结合构造函数法转化成直线与圆的位置关系进行求解即可 ‎【详解】由，令，，要使，（）的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：‎ 当时，，此时；当时，，此时 故 故选：C ‎【点睛】本题考查根据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题 ‎11.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分函数为常函数和不是常函数两种形式讨论，当函数不是常函数时，函数为偶函数可知，对称轴为，再结合判断函数的增减性，画出拟合图形，结合绝对值含义即可求解 ‎【详解】若，则，此时和为偶函数都成立，函数值恒等于，当时，恒有，故等号成立；‎ 若不是常数，因为函数为偶函数，所以，函数关于对称，所以；‎ 由，当时，，函数单减；当时，，函数单增，可画出拟合图像，如图：‎ ‎，从绝对值本身含义出发，即等价于轴上到4的距离小于到4的距离，由图可知，，即 综上所述，则 故选:D ‎【点睛】本题考查偶函数性质的延伸，根据偶函数性质比较函数值大小，数形结合思想，对思维转化能力要求高，属于难题 ‎12.将边长为正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 梯形周长和面积采用间接法结合图形即可快速求解，再结合导数求解最值即可 ‎【详解】如图：‎ 设的边长为，则梯形周长为：，的面积为：，梯形面积为：，则，‎ ‎，当时，，当时，，故当时，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查根据导数求解实际问题的最值，属于中档题 二、填空题 ‎13.曲线在处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义和点斜式求解即可 ‎【详解】，，当时，，故函数过，由点斜式可得即曲线在处的切线方程为；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查过曲线上某点对应的切线方程的求法，属于基础题 ‎14.已知函数，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，再求值即可 ‎【详解】，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查对数的化简函数值的求法，属于基础题 ‎15.已知函数的定义域为，对于任意实数，都有，且共有五个零点，则的所有零点之和为 ______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可得函数的对称中心为，再由函数的对称性和零点个数求解即可 ‎【详解】由则函数的对称中心为，‎ 因函数有五个零点，设两对对称的零点为：和 则，，‎ 又函数过，故，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数对称中心的求法，根据函数零点个数求解零点之和，属于中档题 ‎16.已知定义域为的奇函数，满足,下面四个关于函数 的说法：①存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根；②当时，恒有；③若当时，的最小值为，则；④若关于的方程和的所有实数根之和为零，则．其中说法正确的有______．（将所有正确说法的标号填在横线上）‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，画出函数图像，结合函数图像和函数性质逐一判断即可 ‎【详解】结合函数为奇函数，则，‎ 当时，，，‎ 当时，，，作出函数图像，如图：‎ 对①，如图，存在实数使得函数有7个交点，故①对；‎ 对②，结合函数图像，明显函数不是严格的减函数，故②错；‎ 对③，可令，如图，两函数相交时，可求得交点为，要使函数最小值为1，则，③对；‎ 对④，若，令，则，令，则，‎ 若满足④的条件，则，则，故④错；‎ 故答案为：①③‎ ‎【点睛】本题考查分段函数与奇函数的综合性质，函数的零点与方程的关系，数形结合的思想，属于难题 三、解答题 ‎17.在中，角的对边长分别为，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用诱导公式和三角形内角和进行代换即可求解；‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理即可求解 ‎【详解】（Ⅰ）为的内角，且，，‎ ‎，，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，‎ 在中，由正弦定理得．‎ ‎【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的使用，正弦定理解三角形，同角三角函数的基本求法，属于基础题 ‎18.设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，判断的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极小值为，无极大值；（Ⅱ）函数在上单调递增．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求的导数，将时，代入，结合导数正负求解原函数的极值即可；‎ ‎（Ⅱ）结合和二次函数性质判断导数正负，再判断单调区间即可 ‎【详解】（Ⅰ）由已知，的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，令，得．‎ 又，所以，‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值；‎ ‎（Ⅱ）由已知，的定义域为，‎ ‎，‎ 令，‎ 则在上递减，在上递增，‎ 因此，有最小值．‎ 当时，，则，‎ 此时，函数在上单调递增．‎ ‎【点睛】本题考查根据导数求解函数极值，求解含参函数的单调性，属于中档题 ‎19.已知四棱锥，底面是菱形，，为正三角形，平面底面，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）要证，即证与所在平面垂直，可取取的中点，连结，证明平面；‎ ‎（Ⅱ）采用等体积法进行转化，由求解，先求的体积，再求，即可求得到平面的距离 ‎【详解】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，则，‎ 因为底面是菱形，，‎ 所以是正三角形，所以，‎ 又因，所以平面，‎ 而平面，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为平面底面，且，‎ 所以平面，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 在中，，，‎ 取的中点，连结，则，‎ ‎，‎ 因为，‎ 设点到平面的距离为，‎ 则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，由等体积法求点到直线距离，属于中档题 ‎20.在直角坐标系中，动点（其中）到点的距离的倍与点到直线的距离的倍之和记为，且.‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与轨迹交于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意列出方程，化简即可求得；‎ ‎（Ⅱ）分析可知，曲线只包括部分图像，分两种具体情况讨论：当斜率不存在时和斜率存在时，先确定弦长对应斜率的范围，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理表示出根与系数关系，利用焦半径公式表示出，，结合前式韦达定理表示出关于的表达式，利用不等式性质即可求解 ‎【详解】（Ⅰ）依题意，，‎ 化简得，‎ 点的轨迹的方程为（）．‎ ‎（Ⅱ）将代入曲线方程，解得，设点，．‎ 由（Ⅰ）知，轨迹是椭圆在直线的右侧的部分（包括点）．‎ 可求出直线的斜率为，直线的斜率为.‎ ‎（1）当直线的斜率不存在时，设，，‎ 此时，.‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，直线的方程为.‎ 由已知，直线与轨迹交于两点，‎ 则或.‎ 设，，‎ 由（Ⅰ）知，，，‎ 所以 由，得.‎ 则，‎ 所以 因为或，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，即.‎ 综上可知，．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的轨迹方程求解，直线与椭圆相交弦长的求法，属于中档题 ‎21.己知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，函数在上是减函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若方程的两个根分别为，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由题，可将条件进行转化，依题意，在上是减函数等价于对恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）由于方程的两个根分别为，故有 ‎，可解得，化简并联立前式可得，再设，则整体可代换为，求，根据的正负即可得证 ‎【详解】（Ⅰ）在上递减，‎ 对恒成立.‎ 即对恒成立，所以只需.‎ ‎，，‎ 当且仅当时取“”，.‎ ‎（Ⅱ）由已知，得，‎ 两式相减，‎ 得.‎ 由知 ‎，‎ 设，则.‎ ‎.‎ 在上递增，.‎ ‎，‎ ‎.‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等式恒成立问题，运算能力，属于难题 ‎22.已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将曲线的极坐标化简成直角坐标即可求解曲线的直角坐标方程，直线过的定点由参数方程即可求得；‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的标准方程，联立可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数关系，由参数的几何意义结合三角函数即可求得最值 ‎【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，‎ 直线过定点．‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入，‎ 得 设点对应的参数分别为，‎ 则，‎ 因为，所以，‎ 因此，当时，有最大值．‎ ‎【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，由直线参数的几何意义求解弦长问题，属于中档题 ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法确定分类标准，然后去绝对值号进行不等式求解.‎ ‎（2）根据范围将转化为或，再分离参数求出的范围.‎ ‎【详解】（1）当时，即 等价于：，或，或 解得或或 所以原不等式的解集为：.‎ ‎（2）所以可化为 即或 ‎①式恒成立等价于或 ‎∵，∴或，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题，属于中档题.绝对值不等式常用零点分段法进行求解，而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.‎ ‎ ‎