2018届二轮复习 立体几何 学案（全国通用） 13页

专题04立体几何 核心考点一平行关系的证明 平行关系包括直线与直线平行、直线与平面平行及平面与平面平行，平行关系的证明一般作为解答题的第一问，难度中等或中等以下，解答此类问题要注意步骤的规范.‎ ‎【经典示例】如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：‎ ‎(1)BE∥平面DMF；‎ ‎(2)平面BDE∥平面MNG.‎ 答题模板 证明BE∥平面DMF的步骤 第一步,在平面DMF内找出一条直线MO与BE平行；‎ 第二步,指出BE平面DMF，MO平面DMF；‎ 第三步,由线面平行的判断定理得BE∥平面DMF.‎ ‎【满分答案】(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，‎ 连接MO，则MO为△ABE的中位线，‎ 所以BE∥MO.‎ 因为BE平面DMF，MO平面DMF，‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，‎ 所以DE∥GN.‎ 因为DE平面MNG，GN平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 因为M为AB的中点，‎ 所以MN为△ABD的中位线，‎ 所以BD∥MN.‎ 因为BD平面MNG，MN平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG.‎ 因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， ]‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎2. 证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义；‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；‎ ‎(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．‎ ‎3.平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．‎ 模拟训练 ‎1．如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．‎ ‎(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ ‎【解析】(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.‎ 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ ‎ ‎ ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1， ‎ 且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，‎ 平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，‎ 得BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，‎ ‎∴＝，＝，‎ 又∵＝1，∴＝1，即＝1.‎ 核心考点二垂直关系的证明 平行关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直，垂直关系的证明一般作为解答题的第一问，难度中等或中等以下，解答此类问题要注意步骤的规范.‎ ‎【经典示例】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：‎ ‎(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 答题模板 证明PD⊥平面ABE(线面垂直)的步骤：‎ 第一步,证明AE⊥PD，AB⊥PD(在平面ABE内找出两条直线与AD垂直)；.‎ 第二步,指出AB∩AE＝A (两直线相交)；.‎ 第三步,利用线面垂直的判定定理确定PD⊥平面ABE.‎ ‎【满分答案】(1)在四棱锥PABCD中，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点，‎ ‎∴AE⊥PC.‎ 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD.‎ 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.证明线面垂直的常用方法及关键 ‎(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．‎ ‎(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．‎ ‎2. 判定面面垂直的方法 ‎ ‎①面面垂直的定义；‎ ‎②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．‎ ‎(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．‎ 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．‎ ‎3. 垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：‎ 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决. ‎ 模拟训练[来源: ]‎ ‎2．如图，在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A‎1F，A‎1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A‎1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ ‎【证明】(1)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，A‎1C1∥AC.‎ 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE∥AC，于是DE∥A‎1C1.‎ 又因为DE平面A‎1C1F，A‎1C1平面A‎1C1F，‎ 所以直线DE∥平面A‎1C1F.‎ ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中，A‎1A⊥平面A1B‎1C1.‎ 因为A‎1C1平面A1B‎1C1，‎ 所以A‎1A⊥A‎1C1.‎ 又因为A‎1C1⊥A1B1，A1A平面ABB‎1A1，A1B1平面ABB‎1A1，A‎1A∩A1B1＝A1，‎ 所以A‎1C1⊥平面ABB‎1A1.‎ 因为B1D平面ABB‎1A1，‎ 所以A‎1C1⊥B1D.‎ 又因为B1D⊥A‎1F，A‎1C1平面A‎1C1F，A1F平面A‎1C1F，A‎1C1∩A‎1F＝A1，‎ 所以B1D⊥平面A‎1C1F.‎ 因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A‎1C1F.‎ 核心考点三利用空间向量证明平行与垂直 立体几何中的线面位置关系的证明，也可利用向量，用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．‎ ‎【经典示例】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，设E，F分别为PC，BD的中点．‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.‎ 答题模板 用向量证明平行或垂直的步骤 第一步, 恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标；.‎ 第二步,把平行与垂直问题转化为直线方向向量或平面法向量之间的数量关系；‎ 第三步,通过计算得出结论；‎ 第四步,还原结论.‎ ‎【满分答案】‎ ‎(1)如图，取AD的中点O，连接OP，OF.‎ 因为PA＝PD，所以PO⊥AD.‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ 所以PO⊥平面ABCD.‎ 又O，F分别为AD，BD的中点，所以OF∥AB.‎ 又ABCD是正方形，所以OF⊥AD.‎ 因为PA＝PD＝AD，所以PA⊥PD，OP＝OA＝.‎ 以O为原点，OA，OF，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A(，0,0)，F(0，，0)，D(－，0,0)，P(0,0，)，B(，a,0)，C(－，a,0)．‎ 因为E为PC的中点，所以E(－，，)．‎ 易知平面PAD的一个法向量为＝(0，，0)，‎ 因为＝(，0，－)，‎ 且·＝(0，，0)·(，0，－)＝0，‎ 所以EF∥平面PAD.‎ ‎(2)因为＝(，0，－)，＝(0，－a,0)，‎ 所以·＝(，0，－)·(0，－a,0)＝0，‎ 所以⊥，所以PA⊥CD.‎ 又PA⊥PD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PDC.‎ 又PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．‎ ‎2.证明垂直问题的方法 ‎(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．‎ ‎(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．‎ ‎3. 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．‎ 模拟训练 ‎3．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．‎ ‎(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；‎ ‎(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．‎ 依题意得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)，‎ 所以＝(－，0，－1)，＝(－1,0,1)，‎ 因为|cos〈，〉|＝＝＝.‎ 所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.‎ ‎(2)假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN.‎ 连接AE，如图所示．‎ 因为＝(0,1,1)，可设＝λ＝(0，λ，λ)，‎ 又＝(，－1,0)，‎ 所以＝＋＝(，λ－1，λ)．‎ 由ES⊥平面AMN，‎ 得即解得λ＝，‎ 此时＝(0，，)，||＝.‎ 经检验，当AS＝时，ES⊥平面AMN.‎ 故线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，此时AS＝.‎ 核心考点四利用空间向量求空间角 利用空间向量求空间角是全国卷高考必考内容，重点是直线与平面所成角及二面角，此类问题模式化较强，在高考中属于得分题，但运算量一般较大,要注意运算的准确性. ‎ ‎【经典示例】如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1 DE B为直二面角，连接A1B，A‎1C.‎ ‎(1)求证：A1D⊥平面BCED；‎ ‎(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．‎ 答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步,建立空间直角坐标系；‎ 第二步,确定点的坐标；‎ 第三步,求向量(直线的方向向量、平面的法向量)；‎ 第四步,计算向量的夹角(或函数值)；‎ 第五步，将向量夹角转化为所求的空间角；‎ 第六步，反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范 ‎【满分答案】　(1)证明：因为等边△ABC的边长为3，‎ 且＝＝，‎ 所以AD＝1，AE＝2.‎ 在△ADE中，∠DAE＝60°，‎ 由余弦定理得DE＝＝.‎ 所以AD2＋DE2＝AE2，‎ 所以AD⊥DE.‎ 折叠后有A1D⊥DE，‎ 因为二面角A1 DE B是直二面角，‎ 所以平面A1DE⊥平面BCED，‎ 又平面A1DE∩平面BCED＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED.‎ ‎(2)假设存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°.如图所示，在BC上取点P ‎，连接A1P，过点P作PH垂直BD于点H，连接A1H.由(1)的证明，可知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.‎ 以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系D xyz.‎ 设PB＝‎2a(0≤‎2a≤3)，‎ 则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，‎ 所以D(0,0,0)，A1(0,0,1)，P(2－a，a,0)，E(0，，0)，‎ 所以＝(a－2，－a,1)，‎ 因为ED⊥平面A1BD，‎ 所以平面A1BD的一个法向量为＝(0，，0)．‎ 因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，‎ 所以sin 60°＝cos〈，〉＝＝，‎ 解得a＝，即PB＝‎2a＝，满足0≤‎2a≤3，符合题意，‎ 所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．‎ ‎2.利用向量法求线面角的方法 ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．‎ ‎3.利用向量法计算二面角大小的常用方法 ‎(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．‎ ‎(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． ‎ 模拟训练 ‎4．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点 G为AB的中点，AB＝BE＝2.‎ ‎(1)求证：EG∥平面ADF；‎ ‎(2)求二面角O—EF—C的正弦值；‎ ‎(3)设H为线段AF上的点，且AH＝HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．‎ ‎【解析】(1)证明　依题意，OF⊥平面ABCD，‎ 如图，以O为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，‎ D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(0,0,2)，G(－1,0,0)． ‎ ‎ ‎ ‎(2)解　易证＝(－1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，＝(1,1,0)，＝(－1,1,2)．‎ 设n2＝(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，‎ 则 即 不妨取x2＝1，可得n2＝(1，－1,1)．‎ 因此有cos〈，n2〉＝＝－，‎ 于是sin〈，n2〉＝.‎ 所以二面角O—EF—C的正弦值为.‎ ‎(3)解　由AH＝HF，得AH＝AF.‎ 因为＝(1，－1,2)，‎ 所以＝＝，‎ 进而有H，从而＝.‎ 因此cos〈，n2〉＝＝－.‎ 所以直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.‎