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  • 2021-06-24 发布

四川省成都石室中学2019-2020学年高二上学期入学考试数学试题

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成都石室中学2019-2020学年度上期高2021届 入学考试试题 一、选择题(共12小题;共60分)‎ ‎1.设集合,集合,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题结合一元二次不等式的解法,考察集合的并集运算。‎ ‎【详解】可解得集合A,,选B.‎ ‎【点睛】解决一元二次不等式应注意大前提是二次项系数大于零时才满足:小于取中间,大于取两边。‎ ‎2.在等比数列中,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 应当做整体处理,可看做,求出,再进行求解。‎ ‎【详解】,可求出=6,,选D.‎ ‎【点睛】等比数列的求法主要是解决的问题,整体代换解决是数学中常用的方法,考生应强化指数的相关运算。‎ ‎3.已知为平面,为直线,下列命题正确的是( )‎ A. ,若,则 B. ,则 C. ,则 D. ,则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 选项直线有可能在平面内;选项需要直线在平面内才成立;选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理,故正确.‎ ‎4.与直线的距离等于的直线方程为( )‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查平行直线间的距离公式。‎ ‎【详解】设直线方程为,两平行直线间的距离为,解得c=0或-2。‎ 直线的方程为 或 正确答案选C。‎ ‎【点睛】平行直线间的距离公式为 ‎5.已知向量,,,若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考察的是向量的数量积公式的坐标运算、同角三角函数的求法、正切角的和角公式。‎ ‎【详解】= ,,,,,选B.‎ ‎【点睛】本题不难,但综合性强,三角函数的基本公式能熟练运用,同角三角函数能进行快速转换是本题快速解题的关键。‎ ‎6.已知数列的通项公式为,则满足的的取值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考察了数列通项的表示方法、不等式分类讨论的基本思想。‎ ‎【详解】,,可得 ‎<,<,此时可分三种情况进行讨论:‎ ‎② 时,,‎ ‎②时,,‎ ‎③ 时,,‎ 所以,选B.‎ ‎【点睛】解题遇到不等式中未知项在分母时,需进行分类讨论,讨论时要做到不重不漏。‎ ‎7.若正数,满足,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题,解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑。‎ ‎【详解】解:, ‎ ‎,‎ 当且仅当,又,解得时取等号.‎ 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】基本不等式解法中应掌握三种最基本类型:‎ ‎, ,‎ ‎8.己知,,若的角平分线所在直线方程是,则直线方程为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题主要考查的是点关于直线的对称点、直线关于直线的对称直线,可通过设B的对称点,再根据对称性质进行求解。‎ ‎【详解】分析试题:由题意可知直线和直线关于直线对称。设点 关于直线的对称点为,则有,即。因为在直线上,所以直线的斜率为,所以直线的方程为,即。‎ 故A正确。‎ ‎【点睛】解决直线的对称性问题对考生来说相对较抽象,可结合草图来加强理解。‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先把三视图转化为几何体,进一步用球体的表面积公式进行求解。‎ ‎【详解】如图所示,‎ 该几何体的外接球半径为,所以,‎ ‎,外接球的表面积为。选D.‎ ‎【点睛】三视图还原几何体对部分考生来说难度大,考生应多结合实物加强理解。‎ ‎10.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且,则角A的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化边为角,再切化弦,利用和角的公式,化简求解角A.‎ ‎【详解】根据 ‎,‎ 由此得到角A为,故选C.‎ ‎11.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 本题主要考查向量法求异面直线所成角的余弦值 ‎【详解】以垂直于的方向为x轴,为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,如图所示:‎ 则,,‎ 由于,则:‎ ‎,‎ 即,,‎ 设异面直线与所成角为,‎ 所以异面直线与所成角的余弦值:‎ 故本题正确答案为 ‎【点睛】选择合适的坐标系是解题的关键。‎ ‎12.2019年11月11日是石室中学周年校庆日,学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆,我爱”的活动.其中一题如下:已知数列,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.若该数列前项和为,则求满足,且是的倍数条件的整数的个数为( )‎ A. 10 B. 12 C. 21 D. 60‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前 项和。将已知数列分组,使每组第一项均为1,即:,,,,利用等比数列前项和公式,可得答案 ‎【详解】将已知数列分组,使每组第一项均为1,‎ 即:,,,,‎ 根据等比数列前项和公式,‎ 求得每项和分别为:,,,,,‎ 每项含有的项数为:1,2,3,,,‎ 总共的项数为,‎ 所有项数的和为 ‎,‎ 当时,成立,N=15,‎ 当时,成立, N=55‎ ‎,,所以多出的6项符合。‎ 综上所述,,故满足条件的N可表示为,共10个,选A.‎ ‎【点睛】此题来自于2017年全国新课标Ⅰ卷试题改编,试题本身难度大,考生解决此类问题需要学会对数据分组,合理采用赋值法,也需要不断提升计算能力。‎ 二、填空题(共4小题;共20分)‎ ‎13.在等差数列中,,,则_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本次考察的是等差数列通项公式的求法。‎ ‎【详解】,‎ ‎【点睛】等差数列通项公式除了掌握,考生还应掌握 ‎14.在中,内角,,对边的边长分别为,,,满足等式,则角的大小为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的是余弦定理。‎ ‎【详解】,化简得,‎ ‎【点睛】余弦定理涉及三个数的平方,只要观察到题中出现了之间的平方数,就应该考虑用余弦定理。‎ ‎15.若,满足约束条件则的最大值 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.‎ 考点:线性规划解法 ‎16.等差数列的前项和为,,且,直线与两坐标轴围成的三角形的面积为,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析的性质,再由直线方程转化出的表达式,进而求出的前n项和。‎ ‎【详解】由可得,,为等差数列, ,为等差数列,,‎ 又,,,,,,‎ ‎,当时,,当时,,‎ ‎=,‎ ‎=‎ ‎【点睛】构造数列和裂项求和是解决数列问题常用的基本方法,考生应掌握常见的裂项公式。‎ 三、解答题(共6小题;共70分)‎ ‎17.如图直线过点,且与直线和分别相交于,两点.‎ ‎(1)求过与交点,且与直线垂直的直线方程;‎ ‎(2)若线段恰被点平分,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查直线方程的基本求法:垂直直线的求法、点关于点对称、点在直线上的待定系数法。‎ ‎【详解】(1)由题可得交点,‎ 所以所求直线方程为,即;‎ ‎(2)设直线与直线相交于点,‎ 因为线段恰被点平分,‎ 所以直线与直线的交点的坐标为.‎ 将点,的坐标分别代入,的方程,‎ 得方程组 解得 由点和点及两点式,得直线的方程为,‎ 即.‎ ‎【点睛】直线的考法主要以点的对称和直线的平行与垂直为主。点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于直线的对称,是重点考察内容。‎ ‎18.如图所示,在△ABC中,D是BC边上的一点,且AB=14,BD=6,∠ADC=,.‎ ‎(Ⅰ)求sin∠DAC;‎ ‎(Ⅱ)求AD的长和△ABC的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)在中,已知∠ADC=,,要求sin∠DAC,所以将∠DAC用∠ADC和∠C来表示可得∠DAC=π﹣(∠ADC+∠C),进而用诱导公式可得, 再用两角和的正弦公式展开,利用条件可求得结果;(Ⅱ)在△ABD中,知道一个角、两条边,故可用余弦定理求边AD的长。△ACD中,根据条件由正弦定理可求CD边长,进而可求BC边长,根据条件分别求的面积即可得所求。‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)△ACD中,因为∠DAC=π﹣(∠ADC+∠C),∠ADC=,‎ 所以 =; ‎ 因为 ,0<∠C<π,所以 ; ‎ 所以 ; ‎ ‎(Ⅱ)在△ABD中,由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB, ‎ 所以 ,所以 AD2+6AD﹣160=0,即 (AD+16)(AD﹣10)=0,‎ 解得AD=10或AD=﹣16(不合题意,舍去);所以 AD=10; ‎ 在中,由正弦定理得,即 ,解得CD=15;所以 ,即.‎ ‎【点睛】三角形中已知边和角,求其它的边、角,应用正弦定理或余弦定理。⑴已知三边,可用余弦定理求角;⑵已知两边一角,可用余弦定理求第三边;⑶已知两边一对角,可用正弦定理或余弦定理求第三边;⑷已知两角一边,应用正弦定理求边。‎ ‎19.如图,在三棱柱中,底面,,,,是棱的中点,是棱的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使得?请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)存在.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证线面平行只需证线线平行,并说明所需证明直线在平面内即可。‎ ‎(2)要证线面垂直可通过面面垂直来进行证明,并说明该垂直直线垂直于两平面交线。‎ ‎【详解】(1)取中点,连接,则,‎ 又,所以四边形是平行四边形 则,又面,面,所以;‎ ‎(2)因为在侧面中,,,是棱的中点,所以,,‎ 则,‎ 因为平面,‎ 所以,‎ 所以平面,‎ 又平面,‎ 所以平面平面,且平面平面,‎ 过点作于,‎ 所以平面,‎ 则,‎ 所以在线段上存在点,使得.‎ ‎【点睛】点线面的位置关系一般可以通过相互推到和转化进行证明。‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴方程;‎ ‎(2)中,角,,所对的边分别为,,,若,则求函数的值域.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过化简和辅助角公式可得出最简式。‎ 化简得出的表达式,可用整体法转化成二次函数形式进行求值。‎ ‎【详解】(1).‎ 所以最小正周期.‎ 由得.‎ 函数图象的对称轴方程为.‎ ‎(2).‎ 当时,取得最小值;故的值域为.‎ ‎【点睛】三角函数考生应以基础函数的图像与性质记忆为主,求解过程中常采用换元法,此时应注意换元法中新元的定义域。‎ ‎21.已知四边形为直角梯形,,,且,,点,分别在线段和上,使四边形为正方形,将四边形沿翻折至使.‎ ‎(1)若线段中点为,求翻折后形成的多面体的体积;‎ ‎(2)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)多面体一般可通过切割的方式转化成常规几何体进行求解。分析题意可得 ‎(2)求线面角需要先作直线在平面的垂线,找出垂足,进而找出直线在平面的线段投影,再根据几何关系进行求解。‎ ‎【详解】(1);‎ ‎(2)易证.‎ 所以直线与平面所成角就是直线与平面的所成角.‎ 过作于点,连接,如图,‎ 由四边形为正方形,‎ 所以,,‎ 所以平面,‎ 所以,‎ 所以平面,‎ 所以为直线与平面所成的角,‎ 因为为中点,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以.‎ 即直线与平面所成角的正弦值是.‎ ‎22.已知数列满足:,.‎ ‎(1)求数列的通项;‎ ‎(2)若,求数列的前项和;‎ ‎(3)设,,求证:.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)采用叠加法可直接求出 ‎(2)通项为等差乘等比的形式,采用错位相减法可求得 ‎(3)复杂题型的裂项需要先进行试值,经检验。符合裂项公式,再采用叠加法求值即可。‎ ‎【详解】(1)因为,‎ 所以当时,‎ ‎;‎ 又,故.‎ ‎(2)由(1)及题设知:,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎(3)由(1)及题设知:,所以 所以,‎ 即,所以.‎ 又是递增数列,所以的最小值为,‎ 即证.‎ ‎【点睛】错位相减法一定要注意位置对应关系及两式相减后的符号正负。数列求恒成立问题基本上是通过叠加法、放缩法、裂项法、构造函数法等相关方法求得。‎ ‎ ‎