山东省潍坊市临朐县2020届高三综合模拟考试数学试题（一） 23页

高三数学试题（一）‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则集合子集个数是（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 8 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，集合B，由此求出，从而能求出集合子集个数.‎ ‎【详解】∵集合， 集合， . ∴集合子集个数是22＝4. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集的子集个数的求法，考查集合的交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎2.己知z为复数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.‎ ‎【详解】解：设， ∴复数为纯虚数， ‎ ‎. . 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎3.设p：a，b是正实数，q：，则（ ）‎ A. p是q的充分条件但不是必要条件 B. p是q的必要条件但不是充分条件 C. p是q的充要条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举例并结合充分必要条件的判断得答案.‎ ‎【详解】解：由a，b是正实数，不一定得到，如； 反之，由，不一定得到a，b是正实数，如. ∴p既不是q的充分条件，也不是q必要条件. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.‎ ‎4.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.古代数学家称直角三角形的较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 所有的基本事件个数 ‎，利用列举法求出勾股数有4个，由此能求出这三个数为勾股数的概率．‎ ‎【详解】从这15个数中随机选取3个整数，所有的基本事件个数，‎ 其中，勾股数为：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（5，12，13），共4个，‎ ‎∴这三个数为勾股数的概率为：．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率的求法，排列组合等基础知识，考查审题能力，属于基础题．‎ ‎5.已知，是两个相互垂直的单位向量，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可设，然后根据，即可得出，这样即可得出的坐标，从而可求出的值.‎ ‎【详解】解：，且，都是单位向量， ∴设，且，， ， ∴， ， . 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了通过设向量的坐标，利用向量的坐标解决向量问题的方法，单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎6.在的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A. B. ‎6 ‎C. D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式即可得出.‎ ‎【详解】解：通项公式为：， 的通项公式. 令，则. ∴含项的系数为. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎7.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线为，渐近线 与直线垂直，‎ 得，即，代入 故选C ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.‎ ‎8.已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，结合题意求导分析可得函数在上为减函数，结合函数的奇偶性分析可得函数为奇函数，进而将不等式转化为，结合函数的定义域、单调性和奇偶性可得的取值范围，即可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，设，其导数为， 又由时，有，‎ 则有， 则函数在上为减函数， 又由为定义域为的奇函数， ‎ 则，则函数为奇函数，‎ 所以函数在上为减函数， ， 所以， 即不等式的解集为. 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造新函数，并分析其单调性.‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.‎ ‎9.某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数 B. 月跑步平均里程逐月增加 C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月 D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由折线图的意义、及其统计量即可判断出正误.‎ ‎【详解】解：A.根据中位数的定义可得：月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，因此A不正确.‎ B.月跑步平均里程不逐月增加，因此B不正确；‎ C.月跑步平均里程高峰期大致在10月，因此C不正确.‎ D.1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】本题考查了折线图的意义、及其统计量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎10.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（）‎ A. 在上的最小值为 B. 在上的最小值为-1‎ C. 在上的最大值为 D. 在上的最大值为1‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象的平移可得，结合正弦函数的图像和性质可求最值.‎ ‎【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数,‎ ‎,‎ 故选AD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象平移和性质，由定义域求值域，属于中档题.‎ ‎11.实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 ‎【答案】CD ‎【解析】‎ 分析】‎ 的值相当于曲线上的点与定点的斜率的最值问题，当过的直线与曲线相切时达到最值，而由题意可得曲线为圆心，半径为1的直线，由圆心到直线的距离等于半径求出直线的最值.‎ ‎【详解】由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，‎ 由为圆上的点与定点的斜率的值，‎ 设过点的直线为，即，‎ 圆心到到直线的距离，即，整理可得解得，‎ 所以，即的最大值为，最小值为。‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了与圆相关的分式型式子的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎12.如图，在正方体中，点F是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 当点F移动至中点时，直线与平面所成角最大且为 B. 无论点F在上怎么移动，都有 C. 当点F移动至中点时，才有与相交于一点，记为点E，且 D. 无论点F在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A，当F为中点时，可求出最大角的余弦值，进而可判断； B，通过面，可判断； C，设和相交于点，则，根据相似比可判断； D，F为中点时，可求出最小角的正切值，进而可判断.‎ ‎【详解】解：对于A选项，当点F在上移动时，直线与平面所成角由小变大再变小，如图所示，其中点O为在平面上的投影，为直线与平面所成角，，当F为中点时，最小， ‎ 则最大角的余弦值为，‎ 最大角大于60°，即A错误； 对于B选项，在正方体中，面，又面，∴，即B正确； 对于C选项，当点F为中点时，也是的中点，与共面于平面，且必相交，设交点为E，连接和，如图所示， 因为，所以，即C错误； 对于D选项，当F从B移至时，异面直线与CD所成角由大变小再变大，且F为中点时，最小角的正切值为，最小角大于30°，即D正确. 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求得，从而可求得.‎ ‎【详解】解：， ， . 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题.‎ ‎14.已知定义在上的奇函数满足，且 时，，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断的周期为4，结合是奇函数，可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以的周期为4.‎ 又因为是奇函数，‎ 所以，‎ 因为时，，‎ 所以，‎ ‎，故答案为-2.‎ ‎【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎15.已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点M坐标代入抛物线方程可得p值，然后由抛物线的定义可得答案.‎ ‎【详解】点代入抛物线方程得：‎ ‎，解得：；‎ 抛物线方程为：，准线方程为：，‎ 点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：‎ 故答案为2,2‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线的标准方程，属于简单题.‎ ‎16.三棱锥的个顶点在半径为的球面上，平面，是边长为的正三角形，则点到平面的距离为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，球心在三棱锥各顶点的距离相等，球心到底面的距离等于三棱锥的高PA的一半，求出PA,，然后利用等体积求点到平面的距离 ‎【详解】△ABC是边长为的正三角形，可得外接圆的半径2r2，即r＝1．‎ ‎∵PA⊥平面ABC，PA＝h，球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即，‎ 那么球的半径R,解得h=2,又 ‎ 由 知 ，得 故点到平面的距离为 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查外接球问题，锥的体积，考查计算求解能力，是基础题 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在①，②（），③（）这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由.已知数列为等比数列，，，数列的首项，其前n项和为，______，是否存在，使得对任意，恒成立？‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列为等比数列可得，①通过，整理可得，进而可求出数列的通项公式，求出，利用单调性可判断；②由可得数列为等比数列，求出数列的通项公式，求出，利用单调性可判断；③由知数列是等差数列，求出数列的通项公式，求出，利用作差法求最大项即可判断..‎ ‎【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，‎ 所以，‎ 故.‎ 若选择①，则，则（），两式相减整理得（），又，‎ 所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以 所以 由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，‎ 所以不存在，使得对任意，恒成立.‎ 若选择②，则由（），，知数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ 所以 所以 因为.当且仅当时取得最大值.‎ 所以存在，使得对任意，恒成立.‎ 若选择③，则由（）知数列是公差为2的等差数列.‎ 又，所以.‎ 设，‎ 则 所以当时，，当时，.‎ 即 所以存在，使得对任意，恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎18.在中，角、、所对的边分别为、、，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且的面积，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边角互化思想得，然后在等式两边同时除以，利用余弦定理可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，从而可求出的值；‎ ‎（2）由正弦定理边角互化思想得出，然后利用三角形的面积公式可求出的值.‎ ‎【详解】（1）因，故，‎ ‎，故，‎ 因此，；‎ ‎（2）因为，故，即，‎ 的面积为，即，故，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.已知的各边长为3，点D，E分别是，上的点，且满足，D为的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将沿折起到的位置，使二面角的平面角为，连接，（如图（2））.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点P，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）存在，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）等边中，由已知得到，，由余弦定理算出DE，从而得到，则.结合题意得为二面角的平面角，又二面角为直二面角,利用面面垂直的性质定理，可证出平面； （2）以D为坐标原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，通过线面角的向量公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】（1）证明：由图（1）可得：，，.‎ 从而 故得，∴，.‎ ‎∴，，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 又二面角为直二面角，∴，即，‎ ‎∵且，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）存在，由（1）知，平面.‎ 以D为坐标原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，‎ 过P作交于点H，‎ 设（），则，，，‎ 易知，，，所以.‎ 因为平面，所以平面的一个法向量为 因为直线与平面所成的角为，所以，解得.‎ ‎∴，满足，符合题意.‎ 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并利用空间向量法求直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题.‎ ‎20.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示．‎ ‎（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；‎ ‎②若，则，．‎ ‎【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布，从而求出；②根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望.‎ 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：‎ ‎．‎ ‎（2）①∵服从正态分布，且，，‎ ‎∴，‎ ‎∴落在内的概率是．　‎ ‎②根据题意得，‎ ‎；；；；.‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎ ‎21.已知椭圆：过点，且离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知斜率为的直线与椭圆交于两个不同点，点的坐标为，设直线与的倾斜角分别为，证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；‎ ‎(2)‎ 设出直线方程，与椭圆方程联立，将原问题转化为直线斜率的之间关系的问题，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得 解得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线，‎ 由消去得，，‎ 解得．‎ 设，‎ 则，‎ 由题意，易知与的斜率存在，所以．‎ 设直线与的斜率分别为，‎ 则，，‎ 要证，即证，‎ 只需证，‎ ‎∵，，‎ 故，‎ 又，，‎ 所以 ‎，‎ ‎∴，．‎ ‎【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性；‎ ‎(2)若有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据的取值对导函数的正负的影响分类讨论即可.‎ ‎(2)根据题意，需求的最值，结合(1)可得且，于是此式可转化为关于的函数，再利用导数求其最值即可.‎ ‎【详解】（1）由题意得，‎ ‎，‎ 令.‎ ‎①当时，恒成立，则在上单调递减.‎ ‎②当时，，函数与轴有两个不同的交点，‎ 则，‎ 所以当时，单调递增；‎ 当时，单调递减. ‎ ‎③当时，，函数与轴有两个不同的交点，‎ 则，‎ 所以时，单调递减；‎ 时，单调递增；‎ 时，单调递减.‎ 综上所述：当时，在上单调递减.‎ 当时，时，单调递增；‎ 时，单调递减.‎ 当时，时，单调递减；‎ 时，单调递增；‎ 时，单调递减.‎ ‎（2）由（1）知：时有两个极值点，‎ 且为方程的两根，‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以.‎ 所以在时恒成立.‎ 令，则.‎ 令则，‎ 所以在上单调递减.又，‎ 所以在上恒成立，即.所以.‎ 所以在上减函数.所以.‎ 所以，即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性，解决不等式恒成立问题.利用导数讨论函数的单调性时，导函数若是二次型，一般可按二次项系数的正负、判别式的正负、根的大小结合定义域进行讨论.‎