上海市金山中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 18页

www.ks5u.com 金山中学2018学年第二学期高一年级数学学科期末考试 ‎—、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分。‎ ‎1.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得：．‎ 考点：扇形的面积公式．‎ ‎2.在数列{}中，，则____.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等比数列的通项公式得答案．‎ ‎【详解】解：在等比数列中，由，公比，得．‎ 故答案为：18．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题．‎ ‎3.已知角的终边上一点P的坐标为，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知先求，再由三角函数的定义可得即可得解．‎ ‎【详解】解：由题意可得点到原点的距离 ‎，，‎ 由三角函数的定义可得，，，‎ 此时；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎4.在△ABC 中，若，则△ABC的形状是 ____.‎ ‎【答案】钝角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得可判断的取值范围 ‎【详解】解：，‎ 由正弦定理可得，‎ 由余弦定理可得 是钝角三角形 故答案为：钝角三角形．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题 ‎5.若，其中是第二象限角，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，又是第二象限角故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．‎ ‎6.设,则的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二倍角公式得出，再根据诱导公式即可得解。‎ ‎【详解】解：由题意知：‎ 故，‎ 即 ‎。‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题。‎ ‎7.已知{}是等差数列，是它的前项和，且，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质得，由此得解.‎ ‎【详解】解：由题意可知，；同理。‎ 故 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎8.函数在内的单调递增区间为 ____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数进行化简为，求出其单调增区间再结合，可得结论.‎ ‎【详解】解：，‎ 递增区间：，‎ 可得 ‎，‎ 在范围内单调递增区间为。‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。‎ ‎9.数列中，若，，则______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分组求和得，再根据极限定义得结果.‎ ‎【详解】因为，，……，，‎ 所以 则.‎ ‎【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.‎ ‎10.数列的前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立，则实数的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，可得是首项为，公比为的等比数列，所以，，实数的最小值为，故答案为.‎ ‎11.数列{}的前项和为，若，则{}的前2019项和____.‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据周期性，对2019项进行分类计算，可得结果。‎ ‎【详解】解：根据题意，的值以为循环周期，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=1009‎ 故答案为：1009.‎ ‎【点睛】本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。‎ ‎12.已知数列{}满足，若数列{}单调递增，数列{}单调递减，数列{}的通项公式为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出{}、{}的通项公式，再统一形式即可得解。‎ ‎【详解】解：根据题意，‎ 又单调递减， {}单调递减增 ‎ …①‎ ‎ …②‎ ‎①+②,得，‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入，有成立， ‎ 又 …③‎ ‎ …④‎ ‎③+④，得， ‎ 故 ‎ ‎ 代入，成立。‎ ‎，‎ 综上，‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题。‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。‎ ‎13.用数学归纳法证明：“”，在验证成立时，左边计算所得结果是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，给等式左边赋值，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】当时，左边为，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.‎ ‎14.设函数的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可．‎ ‎【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，得函数，‎ 其图象与的图象重合，‎ ‎，，，故，，，‎ 当时，取得最小值为．‎ 将函数的图象向右平移个单位，得到函数，‎ 其图象与的图象重合，‎ ‎，，，‎ 故，，当时，取得最小值为，‎ 的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎15.已知函数,若存在，且，使成立，则以下对实数的推述正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据的图象性质，推得函数的单调区间，再依据条件分析求解．‎ ‎【详解】解：是把的图象中轴下方的部分对称到轴上方，‎ 函数在上递减；在上递增．‎ ‎ 函数的图象可由的图象向右平移1个单位而得，‎ 在，上递减，在，上递增，‎ 若存在，，，，使成立，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移．图象可由的图象向左、向右平移个单位得到，属于基础题.‎ ‎16.已知数列是各项均为正数且公比不等于等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：①； ②； ③；④，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】①，为“保比差数列函数” ；‎ ‎②，为“保比差数列函数” ；‎ ‎③不是定值，不是“保比差数列函数” ；‎ ‎④，是“保比差数列函数”，故选C.‎ 考点：等差数列的判定及对数运算公式 点评：数列，若有是定值常数，则是等差数列 三、解答题(本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。‎ ‎17.已知等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，即可得出通项公式；‎ ‎（2）根据前项和公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，‎ 因为，所以，又，‎ 所以公差，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列通项公式与前项和公式即可，属于基础题型.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)求函数的最小正周期及单调递增区间：‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值及取最大值时的集合.‎ ‎【答案】（1）, 单调递增区间为；（2）最大值为, 取最大值时，的集合为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对 进行化简转换为正弦函数，可得其最小正周期和递增区间；（2）根据（1）的结果，可得正弦函数的最大值和此时的的集合.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎∴.‎ 增区间为：即 单调递增区间为 ‎（2）当时，的最大值为，‎ 此时，‎ ‎∴取最大值时，的集合为.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式以及正弦函数的性质，属于基础题.‎ ‎19.已知数列{}的首项.‎ ‎(1)求证：数列为等比数列；‎ ‎(2)记，若，求最大正整数.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）99.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用数列递推公式取倒数，变形可得，从而可证数列为等比数列；（2）确定数列的通项，利用等比数列的求和公式求和，即可求最大的正整数．‎ ‎【详解】解（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴数列等比数列.‎ ‎（2）由（1）可求得，∴.‎ ‎∴.‎ 因为在上单调递增，又因为，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查数列递推公式，考查等比数列的证明，考查等比数列的求和公式，属于中档题．‎ ‎20.设等比数列{}的首项为，公比为q(q为正整数),且满足是与的等差中项；数列{}满足.‎ ‎(1)求数列{}的通项公式;‎ ‎(2)试确定的值，使得数列{}为等差数列：‎ ‎(3)当{}为等差数列时，对每个正整数是，在与之间插入个2,得到一个新数列{}，设是数列{}的前项和，试求满足的所有正整数.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可求出的值，从而可求数列的通项公式；‎ ‎（2）由已知可求，从而可依次写出，，若数列为等差数列，则有，从而可确定的值；‎ ‎（3）因为，，，检验知，3，4不合题意，适合题意．当时，若后添入的数则一定不适合题意，从而必定是数列中的某一项，设则误解，即有都不合题意．故满足题意的正整数只有．‎ ‎【详解】解（1）因为，所以，‎ 解得或（舍），则 又，所以 ‎（2）由，得，‎ 所以，，，‎ 则由，得 而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列 ‎（3）因为，易知不合题意，适合题意 当时，若后添入的数，则一定不适合题意，从而必是数列中的某一项，‎ 则 ‎.‎ 整理得，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。‎ 综上：符合题意的正整数.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．‎ ‎21.已知函数的值域为A，.‎ ‎(1)当的为偶函数时，求的值；‎ ‎(2) 当时, 在A上是单调递增函数，求的取值范围； ‎ ‎(3)当时，（其中)，若，且函数的图象关于点对称，在处取 得最小值，试探讨应该满足的条件.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数为偶函数，可得，故，由此可得 的值．‎ ‎（2）化简函数，求出，化简，由题意可知：，由此可得的取值范围．‎ ‎（3）由条件得，再由，，可得．由的图象关于点，对称求得，可得．再由的图象关于直线成轴对称，所以，可得，，由此求得 满足的条件．‎ ‎【详解】解：（1）因为函数为偶函数，所以，‎ 得对恒成立，即，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ ‎，即 ，‎ ‎，‎ 由题意可知：得，‎ ‎∴.‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 又∵，，‎ ‎，‎ 不妨设，，‎ 则，其中，‎ 由函数的图像关于点对称，在处取得最小值得，‎ 即，故.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，单调性和对称性的综合应用，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎