2019-2020学年江西省南昌市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年江西省南昌市第二中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由，，∴，∴，故选．‎ ‎2．下列角终边位于第二象限的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】终边位于第一象限，终边位于第二象限，选B.‎ ‎3．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都得相同，故只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数 对于B选项，由于f（x）的定义域为R，定义域为{x|x≠-1}，∴不是同一函数；‎ 对于C选项，f（x）和 g（x）的定义域均为R，对应关系相同，∴是同一函数 对于D选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域均为[0,+∞）∴不是同一函数 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．‎ ‎4．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是减函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的奇偶性和单调性的判断方法，分别对选项加以判断，即可得到在其定义域内，既是奇函数又是减函数的函数．‎ ‎【详解】‎ 对于A．函数是奇函数，但在（﹣∞，0），（0，+∞）均为减函数，故A错；‎ 对于B．函数定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，故B错；‎ 对于C．定义域为R，且有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，且f′（x）＝﹣3x2≤0，即f（x）为减函数，故C对；‎ 对于D．定义域为R，但f（0）＝-1≠0，故不是奇函数，故D错．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义加以判断，同时注意函数的定义域，属于基础题和易错题．‎ ‎5．终边在直线上的角的集合为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出终边在上的度数，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 在[0，2π]内终边在直线上的角为和，‎ 则终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝2kπ或2kπ}，k∈Z，‎ 即{α|α＝kπ，k∈Z}，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查终边相同角的表示，熟记特殊角是关键，比较基础．‎ ‎6．已知函数（且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令对数的真数等于0，求得x、y的值，可得图象经过的定点坐标．再根据在幂函数y＝f（x）的图象上，求出函数f（x）的解析式，从而求出的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵已知a＞0且a≠1，对于函数，令x﹣1＝1，求得x＝2，y，‎ 可得它的图象恒过定点P（2，4），‎ ‎∵点P在幂函数y＝f（x）＝xn 的图象上，∴2n，∴n，∴f（x）‎ 则f（2）,故 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求函数值，属于基础题．‎ ‎7．已知函数是定义在的偶函数,则（ ）‎ A．5 B． C．0 D．2019‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数，即可求出a，b，从而得出f（x）的解析式，进而求出f（a）+f（b）的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝ax2+bx+a﹣2b是定义在[a﹣3，2a]上的偶函数；‎ ‎∴；‎ ‎∴a＝1，b＝0；‎ ‎∴f（x）＝x2+2；‎ ‎∴f（a）+f（b）＝f（1）+f（0）＝3+2＝5．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．‎ ‎8．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析函数的奇偶性和图像变化趋势，利用排除法可得答案．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）＝满足f（﹣x）＝f（x），即函数为偶函数，图象关于原点对称，故排除A,B；‎ 当 ，故排除C，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数的图象，函数的奇偶性和函数的零点，难度中档．‎ ‎9．已知，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以；‎ 因为，，所以，‎ 所以．选C．‎ ‎10．已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，可得t＝x2﹣ax+4a＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，故有，由此解得a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数在区间[2，+∞）上是减函数，又是减函数，‎ ‎∴t＝x2﹣ax+4a＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，‎ ‎∴，解得﹣2＜a≤4，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．‎ ‎11．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意判断的零点在（，）上；再由各个函数的零点可知答案．‎ ‎【详解】‎ g（）＝2﹣＞0，g（）＜0；‎ 且连续且单增，‎ 故的零点在（，）上；‎ f（x）＝ex﹣1的零点为0，f（x）＝（x﹣1）2的零点为1； f（x）＝ln（x）的零点为；都不合题意，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点的应用，准确判断零点所在区间是关键，属于基础题．‎ ‎12．设函数，则下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎①当时，函数在上有最小值；②当时，函数在是单调增函数；③若，则；④方程可能有三个实数根.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】①当b＞0时，把函数f（x）＝|x|x-bx+c分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数判单调性，求最值即可；‎ ‎②当b＜0时，判断f（x）在和是单调增函数加以判断；‎ ‎③推导f（x）+ f（-x）＝2c即可求解；‎ ‎④对b，c取特值求方程f（x）＝0有三个实数根，故可判断．‎ ‎【详解】‎ ‎①当b＞0时，f（x）＝|x|x-bx+c，知函数f（x）在上是单调减函数,在， 上是单调增函数,故函数在上无最小值；故①错误；‎ ‎②当b＜0时，由①知函数f（x）在和是单调增函数,且函数在处连续，则在是单调增函数；故②正确；‎ ‎③f（x）+ f（-x）＝2c,故若，则；故③正确 ‎④令b＝3，c＝2，则f（x）＝|x|x﹣3x+2＝0，解得x＝1，2，‎ ‎ ．故④正确．‎ 故正确的为②③④．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 此题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决．是好题，属中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为_____.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为r，弧长为l，‎ 则解得r＝2，l＝4‎ 由扇形面积公式可得扇形面积Slr2×4＝4‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．‎ ‎14．函数的零点个数为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分别画出两函数图像即可求解 ‎【详解】‎ 的零点个数即的交点个数；‎ 在同一个坐标系画出两函数图像得：‎ 故有两个交点，即的零点个数为2‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数与对数函数的图像，考查方程与函数零点问题，考查数形结合思想，是中档题 ‎15．函数的值域为，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数f（x）＝log2（x2﹣ax+2a）的值域为R，可得t＝x2﹣ax+2a能够取到大于0的所有数，再由判别式≥0求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝log2（x2﹣ax+2a）的值域为R，‎ ‎∴t＝x2﹣ax+2a能够取到大于0的所有数，‎ 则△＝（﹣a）2﹣8a≥0，解得a≤0或a≥8，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[8，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，0]∪[8，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的值域，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎16．函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，，有且仅有5个不同实数根，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】做出f（x）的函数图象，令f（x）＝t，根据图象得出方程f（x）＝t的解的情况，得出t的范围，从而得出a的范围．‎ ‎【详解】‎ 作出f（x）的函数图象如图所示：‎ 令f（x）＝t，显然，当t＝0时，方程f（x）＝t有三个解，‎ 当0＜t时，方程f（x）＝t有四个解，‎ 当t或-1＜t＜0时，方程f（x）＝t有两解，‎ 当t≤-1或t时，方程f（x）＝t无解．‎ ‎∵关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0，a，b∈R有且仅有5个不同实数根，‎ ‎∴关于t的方程t2+at+b＝0，t∈R有两解，且一解为t1=0，另一解或t1=0，另一解-1＜＜0，‎ ‎∴b＝0，‎ ‎∵t2+at＝0的两解分别为t1＝0，t2＝﹣a，‎ ‎∴，或 -a＜0．解得或a＜1‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，考查偶函数的性质，注意分类讨论的合理运用，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）2.‎ ‎【解析】（1）利用分数指数幂运算及根式求解即可 ‎（2）利用对数运算求解 ‎【详解】‎ ‎（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数幂及对数运算，是基础题 ‎18．已知函数，其中均为实数.‎ ‎（1）若函数的图象经过点，求函数的值域；‎ ‎（2）如果函数的定义域和值域都是,求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．‎ ‎（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b的值，可得a+b 的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的图象经过点 所以,‎ 所以,‎ 因为，即，所以 故的值域为；‎ ‎（2）当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得,无解．‎ 当0