人教版高中数学选修1-1课件：2_导数的概念 19页

3.1.2 导数的概念 复习引入 函数 y=f ( x ) 从 x 1 到（ x 1 +△x ）的平均变化率： 例：高台跳水 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度 h ( 单位 : m ) 与起跳后的时间 t ( 单位 : s ) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态 , 那么 : 在 2≤ t ≤2+ △ t 这段时间里 , △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t = 0.01 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 2.01 △ t ▼ -13. 1 -13. 149 t(s) v(m/s) △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 2.01 2.001 △ t ▼ -13. 1 -13. 149 -13. 1049 t(s) v(m/s) △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 2.01 2.001 △ t 2.0001 ▼ -13. 1 -13. 149 -13. 1049 -13. 10049 t(s) v(m/s) △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 2.01 2.001 △ t 2.0001 2.00001 ▼ -13. 1 -13. 149 -13. 1049 -13. 10049 -13. 100049 t(s) v(m/s) △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, △ t =0.000001, …… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 2.01 2.001 △ t 2.0001 2.000001 2.00001 ▼ -13. 1 -13. 149 -13. 1049 -13. 10049 -13. 100049 -13. 1000049 t(s) v(m/s) △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t = - 0.01 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 1.99 △ t ▼ -13. 1 -13. 051 t(s) v(m/s) 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, △ t =0.000001, △ t = 0.00001, …… △t<0 时 , 在 [ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t =-0.001 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 1.999 △ t ▼ -13. 1 -13. 0951 t(s) v(m/s) 当 △ t = - 0.01 时 , 1.99 -13. 051 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, △ t =0.000001, △ t = 0.00001, …… △t<0 时 , 在 [ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t =-0.001 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 1.999 ▼ -13. 1 t(s) v(m/s) 当 △ t = - 0.01 时 , 1.99 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, △ t =0.000001, △ t = 0.00001, …… 当 △ t =-0.0001 时 , 1.9999 △ t -13. 0951 -13. 051 -13. 09951 △t<0 时 , 在 [ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t =-0.001 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 1.999 ▼ -13. 1 t(s) v(m/s) 当 △ t = - 0.01 时 , 1.99 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, △ t =0.000001, △ t = 0.00001, …… 当 △ t =-0.0001 时 , 1.9999 △ t =-0.00001, △ t 1.99999 -13. 0951 -13. 051 -13. 0951 -13. 0951 △t<0 时 , 在 [ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t>0 时 , 在 [2, 2 +△t ] 这段时间内 当 △ t =-0.001 时 , 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 . 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢 ? 2 1.999 ▼ -13. 1 t(s) v(m/s) 当 △ t = - 0.01 时 , 1.99 当 △ t = 0.01 时 , 当 △ t =0.001 时 , 当 △ t =0.0001 时 , △ t = 0.00001, △ t =0.000001, △ t = 0.00001, …… 当 △ t =-0.0001 时 , 1.9999 △ t =-0.00001, 1.99999 -13. 0951 -13. 051 -13. 0951 -13. 09951 △ t =-0.00001, -13. 099951 △ t 1.999999 △t<0 时 , 在 [ 2+△t, 2 ] 这段时间内 …… 探 究 : 1. 运动员在某一时刻 t 0 的瞬时速度怎样表示 ? 2. 函数 f ( x ) 在 x = x 0 处的瞬时变化率怎样表示 ? 函数 函数 定义 : 函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 处的瞬时变化率是 称为函数 y = f ( x ) 在 x = x 0 处的 导数 , 记作 或 , 即 题 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要对原油进行冷却和加热 . 如果第 x h 时 , 原油的温度 ( 单位 : ) 为 f ( x ) = x 2 – 7 x +15 ( 0 ≤ x ≤8 ) . 计算第 2 h 和第 6 h , 原油温度的瞬时变化率 , 并说明它们的意义 . 解 : 在第 2 h 和第 6 h 时 , 原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数的定义 , 所以 , 同理可得 在第 2 h 和第 6 h 时 , 原油温度的瞬时变化率分别为 –3 和 5. 它说明在第 2 h 附近 , 原油温度大约以 3 / h 的速率下降 ; 在第 6h 附近 , 原油温度大约以 5 / h 的速率上升 . 小结： 题 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品 , 需要对原油进行冷却和加热 . 如果第 x h 时 , 原油的温度 ( 单位 : ) 为 f ( x ) = x 2 – 7 x +15 ( 0 ≤ x ≤8 ) . 计算第 2 h 和第 6 h , 原油温度的瞬时变化率 , 并说明它们的意义 . 练习 : 计算第 3h 和第 5h 时原油的瞬时变化率 , 并说明它们的意义 . 由导数的定义可知 , 求函数 y = f ( x ) 的导数的一般方法 : 求函数的改变量 2. 求平均变化率 3. 求值 一差、二化、三极限