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- 2021-06-24 发布
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阶段复习课
第 三 章
【
核心解读
】
1.
复数的分类
对复数
z
=
a
+
bi(a
,
b∈R)
,
当
b
=
0
时,
z
为实数;当
b≠0
时,
z
为虚数;
当
a
=
0
,
b≠0
时,
z
为纯虚数.
2.
复数中的两种思想
(1)
函数思想:求复数模的最值时,需转化为关于复数
z=x+yi(x,y∈R)
的实部
x
或虚部
y
的二次函数讨论求最值
.
(2)
方程思想:由复数的代数形式利用复数相等的条件得到
方程
(
组
)
,解决问题
.
3.
复数的运算技巧
(1)
化复为实
:
设
z
=
a
+
bi(a
,
b∈R)
,利用复数相等和相关性质将复数问题实数化,是解决复数问题的常用方法.
(2)
类比实数:在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.
4.
复数中的两种对应关系
(1)
复数与复平面上点的对应
.
(2)
复数与以坐标原点为起点的向量的对应
.
利用对应点可以把复数问题转化为几何问题、向量问题
.
主题一
复数的概念
【
典例
1】
复数
z=log
3
(x
2
-3x-3)+ilog
2
(x-3)
,当
x
为何实数时,
(1)z∈R.
(2)z
为虚数
.
【
解题指南
】
利用复数分类求
x.
【
自主解答
】
(1)
因为一个复数是实数的充要条件是虚部为
0
,
x
2
-3x-3>0
,
(i)
所以
log
2
(x-3)=0
,
(ii)
x-3>0.(iii)
由
(ii)
得
x=4
,经验证满足
(i)(iii)
式.
所以当
x=4
时,
z∈R.
(2)
因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为
0
,
x
2
-3x-3>0
,
(i)
所以
log
2
(x-3)≠0
,
(ii)
x-3>0.(iii)
由
(i)
得 或
由
(ii)
得
x≠4
,由
(iii)
得
x>3
.
所以当 且
x≠4
时,
z
为虚数
.
【
延伸探究
】
若把本题
(2)
结论改为
z
为纯虚数,则
x
的范围如何
?
【
解析
】
因为一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为
0
,且虚部不为
0
,
所以 此方程组无解.
所以复数
z
不可能是纯虚数.
【
方法技巧
】
复数的有关概念
(1)
正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念
(
如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模
)
的前提.
(2)
两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
提醒:求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义
.
【
补偿训练
】
(1)(2013·
陕西高考
)
设
z
是复数,则下列命题中的假命题是
( )
A.
若
z
2
≥0
,则
z
是实数
B.
若
z
2
<0
,则
z
是虚数
C.
若
z
是虚数,则
z
2
≥0
D.
若
z
是纯虚数,则
z
2
<0
(2)(2013·
上海高考
)
设
m∈R
,
m
2
+m-2+(m
2
-1)i
是纯虚数,其中
i
是虚数单位,则
m=________.
【
解析
】
(1)
选
C.
设
z=a+bi
,
a
,
b∈R
⇒
z
2
=a
2
-b
2
+2abi.
对选项
A
:若
z
2
≥0
,则
b=0
⇒
z
为实数,所以
z
为实数正确
.
对选项
B
:若
z
2
<0
,则
a=0
,且
b≠0
⇒
z
为纯虚数,所以
z
为虚数正确
.
对选项
C
:若
z
为纯虚数,则
a=0
,且
b≠0
⇒
z
2
<0
,所以
z
2
≥0
错误
.
对选项
D
:若
z
为纯虚数,则
a=0
,且
b≠0
⇒
z
2
<0
,所以
z
2
<0
正确
.
(2)m
2
+m-2+(m
2
-1)i
是纯虚数
⇒ ⇒
m=-2.
答案:
-2
主题二
复数的四则运算
【
典例
2】
(1)
已知
i
是虚数单位,复数
(1+bi)(2+i)
是纯虚数,
则实数
b
的值为
( )
A.-2 B.- C. D.2
(2)
已知
z
是纯虚数
,
是实数
,
那么
z
等于
( )
A.2i B.i C.-i D.-2i
【
自主解答
】
(1)
选
D.
因复数
(1+bi)(2+i)
=
2-b+(2b+1)i
是
纯虚数,所以
2-b=0,
且
2b+1≠0,
得
b=2.
(2)
选
D.
设纯虚数
z=bi(b∈R),
代入
由于其为实数,所以
b=-2.
所以
z=-2i.
【
方法技巧
】
复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算,
注意把
i
看作一个字母
(i
2
=-1),
除法运算注意应用共轭的性质
z
·
为实数
.
【
拓展延伸
】
复数运算的考查点
复数的四则运算是本章的重点,复数的乘法、除法是高考的热点,考题呈现以下特点:
(1)
复数的乘除运算
.
(2)
与复数的有关概念、复数的几何意义相结合
.
(3)
与两复数相等的充要条件结合.
【
补偿训练
】
(2014·
大同高二检测
)
复数
=( )
【
解析
】
选
C.
依题意得
选
C.
主题三
复数的几何意义
【
典例
3】
在复平面内,复数
z=i(1+2i)
,对应的点位于
( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
【
自主解答
】
选
B.
因为
z=i(1+2i)=i+2i
2
=-2+i
,所以复数
z
所对应的点为
(-2
,
1)
,故选
B.
【
方法技巧
】
数形结合
复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法
(1)
复数的几何表示法:即复数
z=a+bi(a
,
b∈R)
可以用复平面内的点
Z(a
,
b)
来表示.此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程
(
组
)
或不等式
(
组
)
求解.
(2)
复数的向量表示:以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.
【
补偿训练
】
(2014·
兰州高二检测
)
复数
m(3+i)-(2+i)(m∈R
,
i
为虚数单位
)
在复平面内对应的点不可能位于
( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
【
解析
】
选
B.
因为
m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i
,设复数
m(3+i)-(2+i)(m∈R
,
i
为虚数单位
)
在复平面内对应的点
M
的坐标为
(x
,
y)
,则 消去
m
得:
x-3y-1=0
,因为直线
x-3y-1=0
经过第一、三、四象限,所以,复数
m(3+i)-(2+i)(m∈R
,
i
为虚数单位
)
在复平面内对应的点不可能位于第二象限,故选
B.
【
拓展类型
】
共轭复数、复数的模
【
备选例题
】
(1)(2013·
新课标全国卷
Ⅱ) =( )
(2)(2013·
新课标全国卷
Ⅰ)
若复数
z
满足
(3
-
4i)z=|4+3i|
,
则
z
的虚部为
( )
【
解题指南
】
(1)
先化简 然后计算模
.
(2)
首先设
z=a+bi(a,b∈R),
利用复数的运算法则进行化简
,
然后利用复数相等列出关于
a,b
的方程组,求出
b
的值
.
【自主解答】
(1)
选
C.
所以 选
C.
(2)
选
D.
设
z=a+bi(a,b∈R)
,则
(3
-
4i)z=(3
-
4i)(a+bi)=5
,
化简得
3a+4b+(3b
-
4a)i=5
,所以
解得
即 所以
z
的虚部为
【
方法技巧
】
化复为实
利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想;根据复数模的意义,结合图形,可利用平面几何知识解答本题.
【
补偿训练
】
把复数
z
的共轭复数记作 已知
(1+2i)+ =4+3i
,则
【
解析
】
(1+2i)+ =4+3i
=
3+i
,从而有
z=3
-
i
,
所以
答案:
【
强化训练
】
1.(2014·
江西高考
)
若复数
z
满足
z(1+i)=2i(i
为虚数单位
)
,则
|z|=( )
A.1
B.2
C.
D.
【
解题指南
】
运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算
.
【
解析
】
选
C.
2.(2014·
湖南高考
)
满足
=i(i
为虚数单位
)
的复数
z=( )
【
解题指南
】
先解关于
z
的方程,再用复数的除法法则进行
运算
.
【
解析
】
选
B.
因为
=i
,
所以
z+i=zi,
3.(2014·
北京高考
)
若
(x+i)i=-1+2i(x∈R)
,则
x=
_____
.
【
解题指南
】
展开后利用复数相等列式求解
.
【
解析
】
由已知得
-1+xi=-1+2i
,所以
x=2.
答案:
2
4.
设
(1+i)sin θ-(1+icos θ)
对应的点在直线
x+y+1=0
上,
则
tan θ
的值为
_______.
【
解析
】
由题意,得
sin θ
-
1
+
sin θ
-
cos θ
+
1
=
0
,
所以
tan θ
=
答案:
5.
实数
m
分别取什么数时,复数
z=(1+i)m
2
+(5
-
2i)m+6
-
15i
是:
(1)
实数
.(2)
虚数
.(3)
纯虚数
.(4)
对应点在第三象限
.(5)
对应点在直线
x+y+5=0
上
.(6)
共轭复数的虚部为
12.
【
解析
】
z=(1+i)m
2
+(5
-
2i)m+6
-
15i
=(m
2
+5m+6)+(m
2
-
2m
-
15)i.
因为
m∈R,
所以
z
的实部为
m
2
+5m+6,
虚部为
m
2
-
2m
-
15.
(1)
若
z
是实数,则
(2)
若
z
是虚数,则
m
2
-
2m
-
15≠0 m≠5
且
m≠
-
3.
(3)
若
z
是纯虚数,则
(4)
若
z
的对应点在第三象限,则
(5)
若
z
对应的点在直线
x+y+5=0
上,则
(m
2
+5m+6)+(m
2
-
2m
-
15)+5=0
(6)
若
z
的共轭复数的虚部为
12
,则-
(m
2
-
2m
-
15)=12
m=
-
1
或
m=3.