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  • 2021-06-24 发布

北京市中国人民大学附属中学2020届高三4月质量检测数学试题

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人大附中2019~2020学年度高三4月质量检测试题 数学 ‎2020年4月13日 第一部分 一、选择题(本大题共10个小题,在每道小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请将答案涂在机读卡上的相应位置上.)‎ ‎1.集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,再计算交集得到答案.‎ ‎【详解】,,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.‎ ‎2.已知复数是正实数,则实数的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.‎ ‎【详解】因为为正实数,‎ 所以且,解得.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.‎ ‎3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.‎ ‎【详解】A. ,值域为,非奇非偶函数,排除; ‎ B. ,值域为,奇函数,排除;‎ C. ,值域为,奇函数,满足; ‎ D. ,值域为,非奇非偶函数,排除;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性,意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎4.设等差数列的前项和为,若,则( )‎ A. 10 B. ‎9 ‎C. 8 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意,解得,,得到答案.‎ ‎【详解】,解得,,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.在平面直角坐标系中,将点绕原点逆时针旋转到点,设直线与轴正半轴所成的最小正角为,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为,由任意角的三角函数的定义可以求得的值,依题有,则,利用诱导公式即可得到答案.‎ ‎【详解】如图,设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为 因为点在角的终边上,所以 依题有,则,‎ 所以,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式,属于基础题.‎ ‎6.设为非零实数,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 取,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.‎ ‎【详解】,故,,故正确;‎ 取,计算知错误;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示:在边长为正方体中,四棱锥满足条件,故,得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:在边长为的正方体中,四棱锥满足条件.‎ 故,,.‎ 故,故,.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了三视图,元素和集合的关系,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎8.已知点,点在曲线上运动,点为抛物线的焦点,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,设,,则,利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:过点作垂直准线于,交轴于,则,‎ 设,,则,‎ 当,即时等号成立.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎9.已知函数的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( )‎ ‎①绕着轴上一点旋转; ‎ ‎②沿轴正方向平移;‎ ‎③以轴为轴作轴对称;‎ ‎④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.‎ A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到,,故函数是周期函数,轴对称图形,故②④正确,根据图像知①③错误,得到答案.‎ ‎【详解】,,,‎ 当沿轴正方向平移个单位时,重合,故②正确;‎ ‎,,‎ 故,函数关于对称,故④正确;‎ 根据图像知:①③不正确;‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质,意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.‎ ‎10.设函数若关于的方程有四个实数解,其中,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图像,根据图像知:,,,计算得到答案.‎ ‎【详解】,画出函数图像,如图所示:‎ 根据图像知:,,故,且.‎ 故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,画出图像是解题的关键.‎ 第二部分 二、填空题(本大题共6个小题)‎ ‎11.在二项式的展开式中,的系数为________.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案 ‎【详解】二项式的展开式通项为:,‎ 取,则的系数为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎12.若向量满足,则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算,解得答案.‎ ‎【详解】,故,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积,意在考查学生的计算能力.‎ ‎13.在党中央的正确指导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报,甲、乙两个省份从‎2月7日到‎2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下:‎ 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对,通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.‎ ‎①_________________________________________________.‎ ‎②_________________________________________________.‎ ‎【答案】 (1). 甲省比乙省的新增人数的平均数低 (2). 甲省比乙省的方差要大 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据折线图得到答案.‎ ‎【详解】根据折线图知:‎ ‎①甲省比乙省的新增人数的平均数低;②甲省比乙省的方差要大.‎ 故答案为:甲省比乙省的新增人数的平均数低;甲省比乙省的方差要大.‎ ‎【点睛】本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎14.函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增,则的最大值为________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算得到答案,根据题意得到,,解得答案.‎ ‎【详解】,故,当时,,‎ 故,解得.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎15.集合,,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则下列说法正确的为________‎ ‎①的值可以为2;‎ ‎②的值可以为;‎ ‎③的值可以为;‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性,只需研究第一象限的情况,计算:,得到,,得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:根据对称性,只需研究第一象限的情况,‎ 集合:,故,即或,‎ 集合:,是平面上正八边形的顶点所构成的集合,‎ 故所在的直线的倾斜角为,,故:,‎ 解得,此时,,此时.‎ 故答案为:②③.‎ ‎【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力,利用对称性是解题的关键.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)‎ ‎16.已知函数(,)满足下列3个条件中的2个条件:‎ ‎①函数的周期为;‎ ‎②是函数的对称轴;‎ ‎③且在区间上单调.‎ ‎(Ⅰ)请指出这二个条件,并求出函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)若,求函数的值域.‎ ‎【答案】(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)依次讨论①②成立,①③成立,②③成立,计算得到只有①②成立,得到答案.‎ ‎(Ⅱ)得到,得到函数值域.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;‎ 由③得,,,;‎ 若①②成立,则,,,‎ 若①③成立,则,,不合题意,‎ 若②③成立,则,,‎ 与③中的矛盾,所以②③不成立,‎ 所以只有①②成立,.‎ ‎(Ⅱ)由题意得,,‎ 所以函数的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期,对称轴,单调性,值域,表达式,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎17.在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且 ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.‎ ‎(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.‎ ‎(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.‎ 平面.‎ ‎(Ⅱ)平面,四边形为正方形.‎ 所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,‎ 则,,,,‎ 设平面法向量为,则,‎ 连结,可得,又所以,平面,‎ 平面的法向量,‎ 设二面角的平面角为,则.‎ ‎(Ⅲ)线段上存在点使得,设,‎ ‎,,,‎ 所以点为线段的中点.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定位置,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎18.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:‎ ‎(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;‎ ‎(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)‎ ‎【答案】(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析, ;(Ⅲ)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.‎ ‎(Ⅱ) 的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,解得答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.‎ ‎(Ⅱ) 8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.‎ ‎,,.‎ 故分布列为:‎ ‎(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ,故,故.‎ 故最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎19.设函数其中 ‎(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导得到,,解得答案.‎ ‎(Ⅱ) ,故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.‎ ‎【详解】(Ⅰ),故,‎ ‎,故.‎ ‎(Ⅱ) ,即,存在唯一零点,‎ 设零点为,故,即,‎ 在上单调递减,在上单调递增,‎ 故 ‎,‎ 设,则,‎ 设,则,单调递减,‎ ‎,故恒成立,故单调递减.‎ ‎,故当时,.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.‎ ‎20.设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.‎ ‎(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;‎ ‎(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)不能,证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)计算得到故,,,,计算得到面积.‎ ‎(Ⅱ) 设为,联立方程得到,计算,同理,根据得到,得到证明.‎ ‎(Ⅲ) 设中点为,根据点差法得到,同理,故 ‎,得到结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ),,故,,,.‎ 故四边形的面积为.‎ ‎(Ⅱ)设为,则,故,‎ 设,,故,‎ ‎,‎ 同理可得,‎ ‎,故,‎ 即,,故.‎ ‎(Ⅲ)设中点为,则,,‎ 相减得到,即,‎ 同理可得:的中点,满足,‎ 故,故四边形不能为矩形.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积,形状,根据四边形形状求参数,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.对于正整数,如果个整数满足,‎ 且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.‎ ‎(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;‎ ‎(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;‎ ‎(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.‎ ‎(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)‎ ‎【答案】(Ⅰ) ,,,,;(Ⅱ) 为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据题意直接写出答案.‎ ‎(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.‎ ‎(Ⅲ) 讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时, ‎ 根据对应关系得到,再计算,,得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.‎ ‎(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;‎ 当为奇数时,时,最大为;‎ 综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.‎ ‎(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;‎ 当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,‎ 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,‎ 故.‎ 综上所述:.‎ 当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;‎ 当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,‎ 故;‎ 当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.‎ 综上所述:使成立的为:或.‎ ‎【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎ ‎