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- 2021-06-24 发布
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第七章不等式 推理与证明
7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
专题1
二元一次不等式(组)表示的平面区域问题
■(2015甘肃省兰州一中三模,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题,理16)关于x的不等式<2-ax有唯一整数解x=1,则的取值范围是 .
解析:∵<2-ax⇔x2+ax+2b<0,
∴函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴在[0,1)和(1,2]内各有一个交点.
∴作出可行域,如图所示:
∵为可行域内的点(a,b)与定点P(1,2)的连线的斜率,
由图可知,kPA<f(-2)=2;
当-2≤x≤0时,f(x)≥f(0)=1;
当x>0时,f(x)>f(0)=1.
综上可得:函数f(x)的最小值为1,∴a=1.
(2)由(1)可知:m2+n2=1,
∴1≥2mn,∴mn≤.
∵m,n>0,∴≥2≥2,当且仅当m=n=时取等号.
∴的最小值为2.
■(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,利用基本不等式求最值,填空题,理16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中
m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=,且≥8恒成立,则正实数a的最小值为 .
解析:∵PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,
∴VP-ABC=×3×2×1=1=+x+y,即x+y=,则2x+2y=1.
(2x+2y)=2+2a+≥2+2a+4≥8,
解得a≥1,∴正实数a的最小值为1.故答案为1.
答案:1
7.5直接证明与间接证明
专题1
综合法
■(2015河南省六市高考数学二模,综合法,填空题,理15)已知数列{an}的首项为a1=1,a2=3,且满足对任意的n∈N*,都有an+1-an≤2n,an+2-an≥3×2n成立,则a2 015= .
解析:∵an+1-an≤2n,∴-an+1+an≥-2n,
又an+2-an≥3×2n,
∴an+2-an+1=an+2-an-an+1+an≥3×2n-2n=2n+1,
∴an+1-an≥2n,
又an+1-an≤2n,∴an+1-an=2n,
∴a2015=a2015-a2014+a2014-a2013+…+a3-a2+a2-a1+a1
=22014+22013+…+22+2+1
=
=22015-1,故答案为22015-1.
答案:22 015-1
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