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  • 2021-06-24 发布

上海市延安中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

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www.ks5u.com 延安中学2018-2019高一下期末考试卷 一.填空题(本大题14题,每题3分,共42分)‎ ‎1.函数的最小正周期是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的周期公式计算即可.‎ ‎【详解】函数的最小正周期是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用,属于基础题.‎ ‎2.计算:________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用数列的极限的运算法则求解即可.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为:3‎ ‎【点睛】本题考查数列的极限的运算法则,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎3.设函数,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反三角函数的定义,解方程即可.‎ ‎【详解】因为函数,由反三角函数的定义,解方程,‎ 得,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了反三角函数的定义,属于基础题.‎ ‎4.已知数列是等差数列,若,,则公差________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式即可得出.‎ ‎【详解】设等差数列公差为,∵,,∴,解得=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎5.已知数列等比数列,若,,则公比________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎【详解】∵数列是等比数列,若,,则,解得,即.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎6.计算:________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列前n项和公式,得=[1﹣],从而求极限即可.‎ ‎【详解】∵==[1﹣],‎ ‎∴[1﹣]=.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应用,以及数列极限的求法,属于基础题.‎ ‎7.方程的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式可得,由余弦函数的周期性可得:.‎ ‎【详解】因为方程,由诱导公式得,‎ 所以,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查解三角函数的方程,余弦函数的周期性和诱导公式的应用,属于基础题.‎ ‎8.已知数列是等差数列,记数列的前项和为,若,则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的求和公式和性质可得,代入已知式子可得.‎ ‎【详解】由等差数列的求和公式和性质可得:=,且,∴.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用,属于基础题.‎ ‎9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度,若山脚的温度是36度,山顶的温度是20度,则这座山的高度是________米 ‎【答案】2000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得,温度下降了,再求出这个温度是由几段100米得出来的,最后乘以100即可.‎ ‎【详解】由题意得,这座山的高度为:米 故答案为:2000‎ ‎【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算,解题关键是温度差里有几个0.8,属于基础题.‎ ‎10.若 ,则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反函数的运算法则,定义及其性质,求解即可.‎ ‎【详解】由,得 所以,又因为,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则,反函数的定义域,考查学生计算能力,属于基础题.‎ ‎11.若函数,的最大值为,则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为,由的范围可得的范围,根据最大值可得的值.‎ ‎【详解】∵函数=2()=,‎ ‎∵,∴∈[,],又∵的最大值为,‎ 所以的最大值为,即=,解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用,正弦函数的定义域和最值,属于基础题.‎ ‎12.已知,且这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则_______________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:由题意得,为等差数列时,一定为等差中项,即,为等比数列时,-2为等比中项,即,所以.‎ 考点:等差,等比数列的性质 ‎13.已知数列满足,,,记数列的前项和为,则________.‎ ‎【答案】7500‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的奇偶性,分别化简递推公式,根据等差数列的定义得的通项公式,进而可求.‎ ‎【详解】当是奇数时,=﹣1,由,得,‎ 所以,,,…,…是以为首项,以2为公差的等差数列,‎ 当为偶数时,=1,由,得,‎ 所以,,,…,…是首项为,以4为公差的等差数列,‎ 则 ,‎ 所以.‎ 故答案为:7500‎ ‎【点睛】本题考查数列递推公式的化简,等差数列的通项公式,以及等差数列前n项和公式的应用,也考查了分类讨论思想,属于中档题.‎ ‎14.已知数列的通项公式是,若将数列中的项从小到大按如下方式分组:第一组:,第二组:,第三组:,…,则2018位于第________组.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中数的个数及最后的数,从中寻找规律使问题得到解决.‎ ‎【详解】根据题意:第一组有2=1×2个数,最后一个数为4;‎ 第二组有4=2×2个数,最后一个数为12,即2×(2+4);‎ 第三组有6=2×3个数,最后一个数为24,即2×(2+4+6);‎ ‎…‎ ‎∴第n组有2n个数,其中最后一个数为2×(2+4+…+2n)=4(1+2+3+…+n)=2n(n+1).‎ ‎∴当n=31时,第31组的最后一个数为2×31×32=1984,‎ ‎∴当n=32时,第32组的最后一个数为2×32×33=2112,∴2018位于第32组.‎ 故答案为:32.‎ ‎【点睛】本题考查观察与分析问题的能力,考查归纳法的应用,从有限项得到一般规律是解决问题的关键点,属于中档题.‎ 二、选择题(本大题共4题,每题4分,共16分)‎ ‎15.“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的()‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推,然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】若数列是等比数列,则,∴,∴数列是等比数列,‎ 若数列是等比数列,则,∴,∴数列不是等比数列,‎ ‎∴数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断,注意等比数列的性质的灵活运用,属于基础题.‎ ‎16.设,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得,再计算即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 所以 故选:D ‎【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题,以及归纳推理的应用,属于基础题.‎ ‎17.已知等差数列公差d>0,则下列四个命题:‎ ‎①数列是递增数列; ‎ ‎②数列是递增数列;‎ ‎③数列是递增数列; ‎ ‎④数列是递增数列;‎ 其中正确命题的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于各个选项中的数列,计算第n+1项与第n项的差,看此差的符号,再根据递增数列的定义得出结论.‎ ‎【详解】设等差数列,d>0‎ ‎∵对于①,n+1﹣n=d>0,∴数列是递增数列成立,是真命题.‎ 对于②,数列,得,‎ ‎,所以不一定是正实数,即数列不一定是递增数列,是假命题.‎ 对于③,数列,得,,不一定是正实数,故是假命题.‎ 对于④,数列,故数列是递增数列成立,是真命题.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查用定义判断数列 单调性,考查学生的计算能力,正确运用递增数列的定义是关键,属于基础题.‎ ‎18.已知数列和数列都是无穷数列,若区间满足下列条件:①;②;则称数列和数列可构成“区间套”,则下列可以构成“区间套”的数列是( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用已知条件,判断选项是否满足两个条件即可.‎ ‎【详解】由题意,对于A:,,∵,∴不成立,所以A不正确;‎ 对于B:由,,得不成立,所以B不正确;‎ 对于C:,∵,∴成立,并且也成立,所以C正确;‎ 对于D:由,,得,‎ ‎∴不成立,所以D不正确;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查新定义 理解和运用,考查数列的极限的求法,考查分析问题解决问题的能力及运算能力,属于中档题.‎ 三、解答题(本大题共4题,共42分)‎ ‎19.解关于的方程:‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程解出或,利用三角函数的定义解出,再根据终边相同角的表示即可求出.‎ ‎【详解】由,得,‎ 所以或,所以或,‎ 所以的解集为:.‎ ‎【点睛】本题考查了三角方程的解法,终边相同角的表示,反三角函数的定义,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎20.已知数列的前项和为,且,求数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时,,当时,,即可得出.‎ ‎【详解】∵已知数列的前项和为,且,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 检验:当时,不符合上式,‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎21.已知等比数列是递增数列,且满足:,.‎ ‎(1)求数列的通项公式:‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比,由此得通项公式;‎ ‎(2)由(1)得,再利用等差数列的求和公式进行解答即可.‎ ‎【详解】(1)由题意,得,又,所以,,或 ,,‎ 由是递增的等比数列,得 ,所以,,且,‎ ‎∴,即;‎ ‎(2)由(1)得,‎ 得,‎ 所以数列是以1为首项,以2为公差的等差数列,‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式,以及等差数列的其前n项和公式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎22.已知数列满足,.‎ ‎(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,数列的前n项和为,求使不等式<对一切恒成立的实数的范围.‎ ‎【答案】(1)见解析,;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对递推式两边取倒数化简,即可得出,利用等差数列的通项公式得出,再得出;‎ ‎(2)由(1)得,再使用裂项相消法求出,使用不等式得出的范围,从而得出的范围.‎ ‎【详解】(1)∵,两边取倒数,∴,即,又,‎ ‎∴数列是以1为首项,2为公差的等差数列,‎ ‎∴,∴. ‎ ‎(2)由(1)得,‎ ‎∴=,‎ 要使不等式Sn<对一切恒成立,则.‎ ‎∴的范围为:.‎ ‎【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式,裂项相消法求数列的和,属于中档题.‎ ‎23.己知数列是等比数列,且公比为,记是数列的前项和.‎ ‎(1)若=1,>1,求的值;‎ ‎(2)若首项,,是正整数,满足不等式|﹣63|<62,且对于任意正整数都成立,问:这样的数列有几个?‎ ‎【答案】(1);(2)114‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等比数列的求和公式,进而可求的值;‎ ‎(2)根据满足不等式|﹣63|<62,可确定的范围,进而可得随着的增大而增大,利用,可求解.‎ ‎【详解】(1)已知数列是等比数列,且公比为,记是数列的前项和,=1,‎ ‎ , ,‎ 则;‎ ‎(2) 满足不等式|﹣63|<62,.‎ ‎ , ,且,‎ ‎,得随着的增大而增大,得 ,‎ 又且对于任意正整数都成立,得,,且是正整数,‎ 满足的个数为:124﹣11+1=114个,即有114个,所以有114个数列.‎ ‎【点睛】本题以等比数列为载体,考查数列的极限,考查等比数列的求和,考查数列的单调性,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎

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