上海市延安中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 16页

www.ks5u.com 延安中学2018-2019高一下期末考试卷 一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分）‎ ‎1.函数的最小正周期是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的周期公式计算即可.‎ ‎【详解】函数的最小正周期是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．‎ ‎2.计算：________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用数列的极限的运算法则求解即可．‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎3.设函数，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反三角函数的定义，解方程即可．‎ ‎【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，‎ 得，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎4.已知数列是等差数列，若，，则公差________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎5.已知数列等比数列，若，，则公比________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎6.计算：________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列前n项和公式，得=[1﹣]，从而求极限即可．‎ ‎【详解】∵＝＝[1﹣]，‎ ‎∴[1﹣]=．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题．‎ ‎7.方程的解集为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：.‎ ‎【详解】因为方程，由诱导公式得，‎ 所以，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．‎ ‎8.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得．‎ ‎【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴.‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．‎ ‎9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米 ‎【答案】2000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.‎ ‎【详解】由题意得，这座山的高度为：米 故答案为：2000‎ ‎【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.‎ ‎10.若 ，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．‎ ‎【详解】由，得 所以，又因为，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．‎ ‎11.若函数，的最大值为，则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为，由的范围可得的范围，根据最大值可得的值.‎ ‎【详解】∵函数＝2（）＝，‎ ‎∵，∴∈[，]，又∵的最大值为，‎ 所以的最大值为，即=，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题．‎ ‎12.已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以.‎ 考点：等差，等比数列的性质 ‎13.已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.‎ ‎【答案】7500‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求.‎ ‎【详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得，‎ 所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，‎ 当为偶数时，＝1，由，得，‎ 所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，‎ 则 ，‎ 所以.‎ 故答案为：7500‎ ‎【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎14.已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2018位于第________组.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．‎ ‎【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4；‎ 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；‎ 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）；‎ ‎…‎ ‎∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）．‎ ‎∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，‎ ‎∴当n＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组．‎ 故答案为：32．‎ ‎【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．‎ 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）‎ ‎15.“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】若数列是等比数列，则，∴，∴数列是等比数列，‎ 若数列是等比数列，则，∴，∴数列不是等比数列，‎ ‎∴数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．‎ ‎16.设，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，再计算即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．‎ ‎17.已知等差数列公差d＞0，则下列四个命题：‎ ‎①数列是递增数列； ‎ ‎②数列是递增数列；‎ ‎③数列是递增数列； ‎ ‎④数列是递增数列；‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．‎ ‎【详解】设等差数列，d＞0‎ ‎∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题．‎ 对于②，数列，得，‎ ‎，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题．‎ 对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题．‎ 对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查用定义判断数列 单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．‎ ‎18.已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．‎ ‎【详解】由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确；‎ 对于B：由，，得不成立，所以B不正确；‎ 对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确；‎ 对于D：由，，得，‎ ‎∴不成立，所以D不正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查新定义 理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共4题，共42分）‎ ‎19.解关于的方程：‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出.‎ ‎【详解】由，得，‎ 所以或，所以或，‎ 所以的解集为：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，当时，，即可得出．‎ ‎【详解】∵已知数列的前项和为，且，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 检验：当时，不符合上式，‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎21.已知等比数列是递增数列，且满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式：‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；‎ ‎（2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．‎ ‎【详解】（1）由题意，得，又，所以，，或 ，，‎ 由是递增的等比数列，得 ，所以，，且，‎ ‎∴，即；‎ ‎（2）由（1）得，‎ 得，‎ 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎22.已知数列满足，．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围．‎ ‎【答案】（1）见解析，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出；‎ ‎（2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围．‎ ‎【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又，‎ ‎∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴，∴． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴＝，‎ 要使不等式Sn＜对一切恒成立，则．‎ ‎∴的范围为:．‎ ‎【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．‎ ‎23.己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和.‎ ‎（1）若＝1，＞1，求的值；‎ ‎（2）若首项，，是正整数，满足不等式|﹣63|＜62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？‎ ‎【答案】（1）；（2）114‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值；‎ ‎（2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解．‎ ‎【详解】（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1，‎ ‎ ， ，‎ 则；‎ ‎（2） 满足不等式|﹣63|＜62，．‎ ‎ ， ，且，‎ ‎，得随着的增大而增大，得 ，‎ 又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数，‎ 满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列．‎ ‎【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎