河北省2020届高三普通高等学校招生全国统一模拟5月大联考数学（理）试题 23页

‎2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以其共轭复数为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题．‎ ‎2.集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次不等式的解法和二次函数的性质，化简集合，求出集合的补集，最后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】或，‎ ‎，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎3.下图是‎2020年2月15日至‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例折线统计图．则下列说法不正确的是（ ）‎ A. ‎2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C. ‎2020年2月19日至‎3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D. ‎2020年2月15日到‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假．‎ ‎【详解】对于A，由图可知，‎2020年2月19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从‎2月18日的1660人大幅下降至615人，所以A正确；‎ 对于B，从‎2020年2月19日起至‎2月29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以B正确；‎ 对于C，由图可知，‎2020年2月19日至‎3月2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有，‎2月20日，21日，23日，25日，26日，27日，‎3月1日，2日，共8天，所以C正确；‎ 对于D，‎2020年2月15日到‎3月2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是‎2月16日1690例，最少的是‎3月2日111例，1690-111=1579，所以D不正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题．‎ ‎4.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合作商法求解即可.‎ ‎【详解】，，则A错误；‎ ‎，，，则B错误；‎ ‎，，则C错误；‎ ‎，，则D正确 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了对数式，指数式的比较大小问题，涉及了作商法的应用，属于中档题.‎ ‎5.角谷猜想，也叫猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得出上述过程的整数，结合古典概型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】若，根据上述过程得出的整数分别为，共个数 其中奇数共有个 所以随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算，属于中档题.‎ ‎6.已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（ ）‎ A. 在上为减函数，且 B. 在上为减函数，且 C. 在上为增函数，且 D. 在上为增函数，且 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意为奇函数，可知函数关于点对称，再结合函数是偶函数可得出函数的周期为4，而，，利用周期从而可求得时的解析式，即解出．‎ ‎【详解】因为函数为奇函数，所以函数关于点对称，即，‎ 函数是偶函数，所以，于是，，用替换，可得，所以．‎ 当，，‎ 当时，，所以在 上为增函数，且．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．‎ ‎7.已知双曲线的两条渐近线的倾斜角成2倍关系，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设经过一三象限的渐近线的倾斜角为，则另一条渐近线的倾斜角为，结合渐近线的方程得出，再由二倍角的正切公式，得出，最后由离心率公式，即可得出答案.‎ ‎【详解】设经过一三象限的渐近线的倾斜角为，则另一条渐近线的倾斜角为 则有 因为，所以 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了二倍角的正切公式的应用，属于中档题.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的为（ ）‎ A. 2020 B. ‎1010 ‎C. l011 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 读懂程序框图的功能，结合等差数列的求和公式，即可得出答案.‎ ‎【详解】由程序框图可知，该程序的功能是计算 的值 则输出的为 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了由循环结构框图求输出值，属于中档题.‎ ‎9.已知，．若且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量的加法运算求出，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎，‎ 即，因而，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知是函数，的极小值点，则的值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角恒等变换化简函数解析式，根据极小值点的定义以及正弦函数的性质，得出，再计算，即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 为极小值点 ‎，即 ‎，即 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，正弦函数的性质的应用，属于中档题.‎ ‎11.把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积，‎ ‎【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，根据题意以及弧长公式可知，，解得，‎ 所以该圆锥的侧面积为．‎ 如图所示，‎ 由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，‎ 设圆锥的外接球的半径为，‎ 因为，所以，解得，‎ 因此，该圆锥的外接球的表面积为．‎ 故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎12.抛物线的焦点为，点在上且在准线上的投影为，直线交轴于点．以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，为坐标原点．若，则圆的半径为（ ）‎ A. 3 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据抛物线的性质得出，，由中位线定理可得出，结合，得出，由圆的性质得出，结合两点间距离公式，即可得出圆的半径.‎ ‎【详解】设，则，，设准线与轴交于点 ‎，为的中点 为的中点，则 由得出，点为线段的中点，则 由抛物线的定义可知，‎ ‎，即 ‎，‎ 即圆的半径为 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，中点坐标公式，两点间距离公式的应用，属于中档题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.命题，的否定为________．‎ ‎【答案】，或无意义 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由否定的定义求解即可.‎ ‎【详解】命题，否定为，或 无意义 故答案为：，或无意义 ‎【点睛】本题主要考查了写出特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎14.直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为，利用导数的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】设切点为，，‎ 又，‎ ‎，解得：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎15.对于函数的叙述，正确的有______（写出序号即可）．‎ ‎①若，则；②若有一个零点，则；③在上为减函数．‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数的性质判断①；将函数的零点转化为函数图象的交点，进而判断②；取，得出，进而判断③.‎ ‎【详解】对①，，‎ 当时，由于，则，则①正确；‎ 对②，由①可知，当时，，此时函数无零点 当时，令，得，即 函数的图象，如下图所示 若函数有一个零点，则函数与的图象有一个交点 由图象可知，，则②正确；‎ 对③，当时，，，则 即当时，函数在上不减函数，则③错误；‎ 故答案为：①②‎ ‎【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数，属于中档题.‎ ‎16.已知分别为的三个内角的对边，，，为内一点，且，，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理的角化边以及余弦定理得出，再由得出为的重心，作辅助线，利用三角形全等，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系得出，最后由重心的性质得出.‎ ‎【详解】由正弦定理可得，即 ‎，‎ ‎，为的重心 取的中点为，连接，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，交的延长线于点，如下图所示 显然，，设，，则 因为，‎ 所以 由于在中，，，则，‎ 在中，，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及余弦定理，涉及三角形重心的判断，直角三角形的边角关系，属于中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题 ‎17.已知数列满足，，且数列为等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出的前两项，确定其首项以及公差，得出的通项公式，再求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出的通项公式，再结合裂项求和法求解即可.‎ ‎【详解】（1）由，可求得 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎（2）‎ ‎【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.‎ ‎18.如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，线段的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理证明即可；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出，再由勾股定理得出线段的长．‎ ‎【详解】（1）平面，平面 取的中点为，连接 又平面平面，平面平面，平面 平面 又平面 ‎，平面 平面 ‎（2）设，由（1）知，平面，平面，‎ 如图，分别以所在直线为轴，轴，过点作轴，且平行于 建立空间直角坐标系 易得 平面的法向量为 设平面的法向量为 解得，即 从而得出，在中，‎ 线段的长为 ‎【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆的焦距为4．且过点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设，，，过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线相交于点P．证明：（O为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出，然后根据求出，即可得到椭圆E的方程（或直接根据点在椭圆上，以及，即可解出）；‎ ‎（2）由直线l的方程可得点，联立直线l与椭圆的方程可计算出点的坐标，再根据联立直线与直线的方程可得点的坐标，然后根据斜率公式分别计算出直线的斜率，根据斜率相等，即可证得．‎ ‎【详解】（1）由题可知，，， ‎ 椭圆的左，右焦点分别为，．‎ 由椭圆的定义知， ‎ ‎，，‎ 椭圆E的方程为． ‎ ‎（另解：由题可知，解得）．‎ ‎（2）易得，，，‎ 直线与椭圆联立，得，‎ ‎，从而，． ‎ 直线AM的斜率为，直线AM的方程为．‎ 令，得， ‎ 直线PQ的斜率． ‎ 直线OC的斜率， ‎ ‎，从而．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎20.2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队，比赛赛制釆取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3—0或3—1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3—2取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为．‎ ‎（1）第10轮比赛中，记中国队3—1取胜的概率为，求的最大值点．‎ ‎（2）以（1）中的作为的值．‎ ‎（i）在第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列；‎ ‎（ⅱ）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（i）见解析（ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先得出，结合导数得出函数的单调性，进而得出的最大值点；‎ ‎（2）（i）先得出的可能取值，再得出其相应概率，列出分布列即可；‎ ‎（ⅱ）若中国队在第10轮比赛中，获得积分，则总积分为分，即便美国队第 都获得分，则总积分为分，则中国队可以提前一轮夺得冠军，最后由（i）得出其概率.‎ ‎【详解】（1）‎ 由此 令，得 当时，在上为增函数；‎ 当时，在上为减函数；‎ 所以的最大值点 ‎（2）由（1）知 ‎（i）可取 所以的分布列为 ‎（ⅱ）若，则中国队轮后的总积分为分，美国队即便第轮和第轮都积分，则轮过后的总积分是分，，所以，中国队如果第轮积 分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为 ‎【点睛】本题主要考查了独立事件的实际应用，写出离散型随机变量的分布列以及导数的应用，属于中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数证明函数的单调性即可；‎ ‎（2）利用导数以及零点存在性定理得出函数的单调性以及最值，再构造函数，利用导数证明其单调性，即可得出结论.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 令 当，得；当，得 在上单调递增，在上单调递减 在上恒成立 在上为减函数,‎ 的单调区间是.‎ ‎（2），令 令，得 在上恒成立，在上单调递增，‎ 即在上单调递增 由于，则 存在，使得，‎ 即 在上单调递减，在上单调递增 令恒成立 在上为减函数 ‎，从而，命题得证 ‎【点睛】本题主要考查了利用导数证明单调性以及利用导数证明不等式，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线，曲线（为参数）；在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．l与，分别交于异于极点的A，B两点，且．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，消去参数，即可求得曲线普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可求得曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）将曲线化成极坐标方程，然后将分别代入，曲线和的极坐标方程即可求得，由题意列出方程，即可解出实数a的值．‎ ‎【详解】（1）把曲线化成普通方程为，即， ‎ 所以曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（2）把曲线化成极坐标方程为， ‎ 把分别代入和得，， ‎ ‎， ‎ ‎，，解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系下的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数的图象与直线围成的图形的面积为6，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据绝对值的定义，确定分段点，，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别解不等式即可求出；‎ ‎（2）根据题意作出函数函数的图象与直线，由图可知，围成的图形为三角形，再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数a的值．‎ ‎【详解】（1）， ‎ 当时，由，得，解得； ‎ 当时，由，得，无解； ‎ 当时，由，得，解得． ‎ 所以的解集为． ‎ ‎（2）由（1）知，方程的解为或．‎ 作出函数的图象，如图所示：‎ 由图象可知，函数的图象与直线围成的图形为三角形，面积为，故，解得．‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式，以及分段函数图象的应用，属于基础题．‎