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- 2021-06-24 发布
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嘉定区2019-2020学年第一学期期中考试
高三数学(卷)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分.
1.函数的最小正周期为__ __.
【答案】
【解析】
试题分析:根据三角函数周期公式
考点:正余弦函数的周期公式
2.设,,,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据指数函数的性质求出集合B,再进行集合运算即可.
【详解】由在R上为增函数,所以,
∴={x|x<1},
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查集合的交集的运算,考查指数函数性质的应用,是一道基础题.
3.不等式的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
原不等式即为或,分别解出,再求交集即可.
【详解】不等式10
即为0,
即为或,
即有x∈∅或x4,
则解集为.
故答案为:.
【点睛】本题考查分式不等式的解法,考查转化为一次不等式组求解,考查运算能力,属于基础题.
4.命题A:|x-1|<3,命题B:(x+2)(x+a)<0;若A是B的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是 .
【答案】(-∞,-4)
【解析】
【详解】对于命题A:∵|x-1|<3,∴-24,即实数a的取值范围是(-∞,-4)
5.己知是函数的反函数,且.则实数________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由y=f﹣1(x)是函数y=x3+a的反函数且f﹣1(2)=1知2=13+a,从而解得.
详解】∵f﹣1(2)=1,
∴2=13+a,
解得,a=1
故答案为:1.
【点睛】本题考查了反函数的定义及性质的应用,属于基础题.
6.已知,且,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值,求解即可.
【详解】∵第四象限角,,∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.
7.在中角所对的边分别为,若则___________
【答案】
【解析】
,;由正弦定理,得,解得.
考点:正弦定理.
8.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合,角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点,则= .(用数值表示)
【答案】
【解析】
试题分析:由已知得,
从而由三角函数的定义可知,
从而=.
故答案为:.
考点:1.三角函数的定义;2.二倍角公式.
9.定义在R上的偶函数在为单调递增,则不等式的解集是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由偶函数的性质,再结合函数的单调性可得,再解绝对值不等式即可得解.
【详解】解:因为函数为定义在R上的偶函数,则由可得,又函数在为单调递增,则,解得,
故不等式的解集是:.
【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围,重点考查了函数思想,属基础题.
10.若将函数的图像向右平移个单位,所得图像关于轴对称,则的最小正值是________.
【答案】
【解析】
试题分析:由题意,将其图象向右平移个单位,得
,要使图象关于轴对称,则,解得,当时,取最小正值.
考点:1.三角函数的平移;2.三角函数恒等变换与图象性质.
11.函数,的最小值为________.
【答案】5
【解析】
【分析】
用三角函数的恒等变换化简f(x),结合基本不等式求出f(x)的最值即可.
【详解】
此时时取等,
但,所以,当时,有最小值为5,
故答案为:5.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了逻辑推理与计算能力,是综合性题目.
12.若关于的不等式的解集恰好是,则 .
【答案】4
【解析】
【详解】试题分析: 设,对称轴为,此时,有题意可得;,且,由,解得:(舍去)或,可得,由抛物线的对称轴为得到,所以
考点:二次函数的性质
二、选择题(本大题共有4题,每题5分,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.“”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
解方程,得出的值,然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系.
【详解】解方程,得,
因此,“”是“”的必要非充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查必要不充分条件判断,一般转化为两集合的包含关系来进行判断,也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断,考查推理能力,属于基础题.
14.下列函数是在为减函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项.
【详解】对数函数,底数大于1时,在上增函数,不满足题意;
指数函数,底数大于1时,在上增函数,不满足题意;
余弦函数,从最高点往下走,即上为减函数;
反比例型函数,在与上分别为减函数,不满足题意;
故选:C.
【点睛】考查余弦函数,指数函数,正弦函数,以及正切函数的单调性,熟悉基本函数的图象性质是关键.
15.已知函数,的值域是,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定二次函数对称轴为,代入得,再结合定义域和函数图像的对称性可求得的取值范围
【详解】
如图,二次函数对称轴为,代入得,当时,,由二次函数的对称性可知,,的值域是,所以
故选:C
【点睛】本题考查由二次函数值域求解定义域中参数范围,二次函数对称性问题,是基础题型,常规求解思路为:先确定对称轴,再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间
16.在中,,则角A的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知的不等式,再利用余弦定理表示出cosA,将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中,得出cosA的范围,由A为三角形的内角,根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围.
详解】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得:a2≤b2+c2﹣bc,
变形得:b2+c2﹣a2≥bc,
∴cosA,
又∵A为三角形的内角,
∴A的取值范围是(0,].
故选:A.
【点睛】此题考查了正弦、余弦定理,特殊角的三角函数值,以及余弦函数的图象与性质,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键,属于基础题.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.已知.
(1)解关于x的不等式:.
(2)已知,,,求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)先将绝对值去掉,转化为两个一元二次不等式,解出后取并集即可.
(2)先化简集合B,由分、、、四种情况分别求解即可.
【详解】(1)∵即,
∴,或
由,即,得
由,即
∵,∴;
综上,.
(2)∵,∴A是B的子集;
由,解得,或;∴
(i)当时,,解得
(ii)时,可知,,得:
检验:,,可得,满足题意;
(iii)时,可知,,解得:
检验:,,解得,,符合题意;
(iv)时,由韦达定理可知,且,无解;
综上,
【点睛】本题考查了集合的基本关系,二次不等式的解法,考查了分类讨论思想,属于基础题.
18.设的三个内角A,B,C的对均分别为a,b,c.满足:
(1)求角A的大小;
(2)若,试判断的形状,并说明理由.
【答案】(1);(2)为等边三角形,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理,可得tanA,从而可求A的大小;
(2)利用二倍角公式,结合辅助角公式,可得三角形的形状.
【详解】(1)由正弦定理进行边角互化:
,又∴
(2)∵,
∴1﹣cosB+1﹣cosC=1,
∴cosB+cosC=1,
∴cosB+cos(120°﹣B)=1,
∴cosBcosBsinB=1,
∴cosBsinB=1,
∴sin(B+30°)=1,
∴B=60°,
∴C=60°,
∴△ABC是等边三角形.
【点睛】本题考查正弦定理的运用,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,正确运用二倍角公式是关键.
19.已知我国华为公司生产某款手机年固定成本为万元,每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完,每万只的销售收入为万元,且.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数的解析式;
(Ⅱ)当年产量为多少万只时,公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析.
【解析】
【详解】试题分析:(1)利用利润等于收入减去成本,可得分段函数解析式;
(2)分段求出函数的最大值,比较可得结论.
试题解析:(1)当时,,
当时,,
所以.
(2)①当时,,所以;
②当时,,
由于,
当且仅当,即时,取等号,
所以的最大值为,
综合①②可知,当时,取得最大值为.
20.已知函数,其中.
(1)令,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)令,的最大值为A,函数在区间上单调递增函数,求的取值范围;
(3)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,对任意,求在区间上零点个数的所有可能值.
【答案】(1)非奇非偶函数,理由见解析;(2);(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)特值法:ω=1时,写出f(x)、F(x),求出F()、F(
),结合函数奇偶性的定义可作出正确判断;
(2)当时,利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h(x),进而求得h(x)的最大值A,由题意可知:对称轴,解得,即可求得θ的取值范围.
(3)根据图象平移变换求出g(x),令g(x)=0可得g(x)可能的零点,而[a,a+10π]恰含10个周期,分a是零点,a不是零点两种情况讨论,结合图象可得g(x)在[a,a+10π]上零点个数的所有可能值;
【详解】(1)当时,f(x)=2sinx,
∴F(x)=f(x)+f(x)=2sinx+2sin(x)=2(sinx+cosx),
F()=2,F()=0,F()≠F(),F()≠﹣F(),
所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)当时,
∵∴
由题意,在区间上单调递减
∴抛物线对称轴,即
∴
(3)f(x)=2sin2x,
将y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到y=2sin2(x)+1的图象,所以g(x)=2sin2(x)+1.
令g(x)=0,得x=kπ或x=kπ(k∈z),
因为[a,a+10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a+10π]上零点个数21,
当a不是零点时,a+kπ(k∈z)也都不是零点,区间[a+kπ,a+(k+1)π]上恰有两个零点,故在[a,a+10π]上有20个零点.
综上,y=g(x)在[a,a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20.
【点睛】本题考查二次函数性质,两角和的正弦公式,辅助角公式、诱导公式,,考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断,考查分类讨论思想,属于中档题.
21.已知函数是奇函数(其中)
(1)求实数m的值;
(2)已知关于x的方程在区间上有实数解,求实数k的取值范围;
(3)当时,的值域是,求实数n与a的值.
【答案】(1);(2);(3),.
【解析】
【分析】
(1)由f(x)是奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),结合对数的真数大于0求出m的值;
(2)由题意问题转化为求函数在x∈[2,6]上的值域,求导判断出单调性,进而求得值域,可得k的范围.
(3)先判定函数的单调性,进而由x时,f(x)的值域为(1,+∞),根据函数的单调性得出n与a的方程,从而求出n、a的值.
【详解】(1)∵f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴logalogaloga,
∴,
即1﹣m2x2=1﹣x2对一切x∈D都成立,
∴m2=1,m=±1,
由于0,∴m=﹣1;
(2)由(1)得,,∴
即,令,
则,
∴在区间上单调递减,当时,;当时,;所以,.
(3)由(1)得,,且
∵在与上单调递减
∵x∈(n,a﹣2),定义域D=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),
①当n≥1时,则1≤n<a﹣2,即a>1+2,
∴f(x)在(n,a﹣2)上为减函数,值域为(1,+∞),
∴f(a﹣2)=1,
即a,
∴a3,或a1(不合题意,舍去),且n=1;
②当n<1时,则(n,a﹣2)⊆(﹣∞,﹣1),
∴n<a﹣21,
即a<21,
且f(x)在(n,a﹣2)上的值域是(1,+∞);
∴f(a﹣2)=1,
即a,
解得a3(不合题意,舍去),或a1;
此时n=﹣1(舍去);
综上,a3,n=1.
【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根,不等式以及单调性与奇偶性的综合运用,涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用,属中档题.