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  • 2021-06-24 发布

上海市嘉定区2020届高三上学期期中考试数学试题

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嘉定区2019-2020学年第一学期期中考试 高三数学(卷)‎ 一、填空题(本大题共有12题,满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分.‎ ‎1.函数的最小正周期为__ __.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据三角函数周期公式 考点:正余弦函数的周期公式 ‎2.设,,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据指数函数的性质求出集合B,再进行集合运算即可.‎ ‎【详解】由在R上为增函数,所以,‎ ‎∴={x|x<1},‎ ‎∴,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集的运算,考查指数函数性质的应用,是一道基础题.‎ ‎3.不等式的解集是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原不等式即为或,分别解出,再求交集即可.‎ ‎【详解】不等式10‎ 即为0,‎ 即为或,‎ 即有x∈∅或x4,‎ 则解集为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法,考查转化为一次不等式组求解,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎4.命题A:|x-1|<3,命题B:(x+2)(x+a)<0;若A是B的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是 .‎ ‎【答案】(-∞,-4)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】对于命题A:∵|x-1|<3,∴-24,即实数a的取值范围是(-∞,-4)‎ ‎5.己知是函数的反函数,且.则实数________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由y=f﹣1(x)是函数y=x3+a的反函数且f﹣1(2)=1知2=13+a,从而解得.‎ 详解】∵f﹣1(2)=1,‎ ‎∴2=13+a,‎ 解得,a=1‎ 故答案为:1.‎ ‎【点睛】本题考查了反函数的定义及性质的应用,属于基础题.‎ ‎6.已知,且,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数的基本关系式及角所在的象限求出正弦函数值,求解即可.‎ ‎【详解】∵第四象限角,,∴,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.‎ ‎7.在中角所对的边分别为,若则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,;由正弦定理,得,解得.‎ 考点:正弦定理.‎ ‎8.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的正半轴重合,角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点,则= .(用数值表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由已知得,‎ 从而由三角函数的定义可知,‎ 从而=.‎ 故答案为:.‎ 考点:1.三角函数的定义;2.二倍角公式.‎ ‎9.定义在R上的偶函数在为单调递增,则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数的性质,再结合函数的单调性可得,再解绝对值不等式即可得解.‎ ‎【详解】解:因为函数为定义在R上的偶函数,则由可得,又函数在为单调递增,则,解得,‎ 故不等式的解集是:.‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数的性质及利用函数的单调性求参数的范围,重点考查了函数思想,属基础题.‎ ‎10.若将函数的图像向右平移个单位,所得图像关于轴对称,则的最小正值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意,将其图象向右平移个单位,得 ‎,要使图象关于轴对称,则,解得,当时,取最小正值.‎ 考点:1.三角函数的平移;2.三角函数恒等变换与图象性质.‎ ‎11.函数,的最小值为________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用三角函数的恒等变换化简f(x),结合基本不等式求出f(x)的最值即可.‎ ‎【详解】‎ 此时时取等,‎ 但,所以,当时,有最小值为5,‎ 故答案为:5.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了逻辑推理与计算能力,是综合性题目.‎ ‎12.若关于的不等式的解集恰好是,则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析: 设,对称轴为,此时,有题意可得;,且,由,解得:(舍去)或,可得,由抛物线的对称轴为得到,所以 考点:二次函数的性质 二、选择题(本大题共有4题,每题5分,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.“”是“”的( )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程,得出的值,然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系.‎ ‎【详解】解方程,得,‎ 因此,“”是“”的必要非充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查必要不充分条件判断,一般转化为两集合的包含关系来进行判断,也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断,考查推理能力,属于基础题.‎ ‎14.下列函数是在为减函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项.‎ ‎【详解】对数函数,底数大于1时,在上增函数,不满足题意;‎ 指数函数,底数大于1时,在上增函数,不满足题意;‎ 余弦函数,从最高点往下走,即上为减函数; ‎ 反比例型函数,在与上分别为减函数,不满足题意;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】考查余弦函数,指数函数,正弦函数,以及正切函数的单调性,熟悉基本函数的图象性质是关键.‎ ‎15.已知函数,的值域是,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定二次函数对称轴为,代入得,再结合定义域和函数图像的对称性可求得的取值范围 ‎【详解】‎ 如图,二次函数对称轴为,代入得,当时,,由二次函数的对称性可知,,的值域是,所以 故选:C ‎【点睛】本题考查由二次函数值域求解定义域中参数范围,二次函数对称性问题,是基础题型,常规求解思路为:先确定对称轴,再由值域和二次函数的对称性来确定自变量对应区间 ‎16.在中,,则角A的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化简已知的不等式,再利用余弦定理表示出cosA,将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中,得出cosA的范围,由A为三角形的内角,根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围.‎ 详解】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得:a2≤b2+c2﹣bc,‎ 变形得:b2+c2﹣a2≥bc,‎ ‎∴cosA,‎ 又∵A为三角形的内角,‎ ‎∴A的取值范围是(0,].‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】此题考查了正弦、余弦定理,特殊角的三角函数值,以及余弦函数的图象与性质,熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键,属于基础题.‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.已知.‎ ‎(1)解关于x的不等式:.‎ ‎(2)已知,,,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先将绝对值去掉,转化为两个一元二次不等式,解出后取并集即可.‎ ‎(2)先化简集合B,由分、、、四种情况分别求解即可.‎ ‎【详解】(1)∵即,‎ ‎∴,或 由,即,得 由,即 ‎∵,∴;‎ 综上,.‎ ‎(2)∵,∴A是B的子集;‎ 由,解得,或;∴‎ ‎(i)当时,,解得 ‎(ii)时,可知,,得:‎ 检验:,,可得,满足题意;‎ ‎(iii)时,可知,,解得:‎ 检验:,,解得,,符合题意;‎ ‎(iv)时,由韦达定理可知,且,无解;‎ 综上,‎ ‎【点睛】本题考查了集合的基本关系,二次不等式的解法,考查了分类讨论思想,属于基础题.‎ ‎18.设的三个内角A,B,C的对均分别为a,b,c.满足:‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若,试判断的形状,并说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)为等边三角形,理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理,可得tanA,从而可求A的大小;‎ ‎(2)利用二倍角公式,结合辅助角公式,可得三角形的形状.‎ ‎【详解】(1)由正弦定理进行边角互化:‎ ‎,又∴‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴1﹣cosB+1﹣cosC=1,‎ ‎∴cosB+cosC=1,‎ ‎∴cosB+cos(120°﹣B)=1,‎ ‎∴cosBcosBsinB=1,‎ ‎∴cosBsinB=1,‎ ‎∴sin(B+30°)=1,‎ ‎∴B=60°,‎ ‎∴C=60°,‎ ‎∴△ABC是等边三角形.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的运用,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,正确运用二倍角公式是关键.‎ ‎19.已知我国华为公司生产某款手机年固定成本为万元,每生产万只还需另投入万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完,每万只的销售收入为万元,且.‎ ‎(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)当年产量为多少万只时,公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:(1)利用利润等于收入减去成本,可得分段函数解析式; (2)分段求出函数的最大值,比较可得结论.‎ 试题解析:(1)当时,,‎ 当时,,‎ 所以.‎ ‎(2)①当时,,所以;‎ ‎②当时,,‎ 由于,‎ 当且仅当,即时,取等号,‎ 所以的最大值为,‎ 综合①②可知,当时,取得最大值为.‎ ‎20.已知函数,其中.‎ ‎(1)令,判断函数的奇偶性,并说明理由;‎ ‎(2)令,的最大值为A,函数在区间上单调递增函数,求的取值范围;‎ ‎(3)令,将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,对任意,求在区间上零点个数的所有可能值.‎ ‎【答案】(1)非奇非偶函数,理由见解析;(2);(3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)特值法:ω=1时,写出f(x)、F(x),求出F()、F(‎ ‎),结合函数奇偶性的定义可作出正确判断;‎ ‎(2)当时,利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h(x),进而求得h(x)的最大值A,由题意可知:对称轴,解得,即可求得θ的取值范围.‎ ‎(3)根据图象平移变换求出g(x),令g(x)=0可得g(x)可能的零点,而[a,a+10π]恰含10个周期,分a是零点,a不是零点两种情况讨论,结合图象可得g(x)在[a,a+10π]上零点个数的所有可能值;‎ ‎【详解】(1)当时,f(x)=2sinx,‎ ‎∴F(x)=f(x)+f(x)=2sinx+2sin(x)=2(sinx+cosx),‎ F()=2,F()=0,F()≠F(),F()≠﹣F(),‎ 所以,F(x)既不是奇函数,也不是偶函数.‎ ‎(2)当时,‎ ‎∵∴‎ 由题意,在区间上单调递减 ‎∴抛物线对称轴,即 ‎∴‎ ‎(3)f(x)=2sin2x,‎ 将y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位后得到y=2sin2(x)+1的图象,所以g(x)=2sin2(x)+1.‎ 令g(x)=0,得x=kπ或x=kπ(k∈z),‎ 因为[a,a+10π]恰含10个周期,所以,当a是零点时,在[a,a+10π]上零点个数21,‎ 当a不是零点时,a+kπ(k∈z)也都不是零点,区间[a+kπ,a+(k+1)π]上恰有两个零点,故在[a,a+10π]上有20个零点.‎ 综上,y=g(x)在[a,a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数性质,两角和的正弦公式,辅助角公式、诱导公式,,考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换、函数的奇偶性、根的存在性及根的个数的判断,考查分类讨论思想,属于中档题.‎ ‎21.已知函数是奇函数(其中)‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)已知关于x的方程在区间上有实数解,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)当时,的值域是,求实数n与a的值.‎ ‎【答案】(1);(2);(3),.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由f(x)是奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),结合对数的真数大于0求出m的值;‎ ‎(2)由题意问题转化为求函数在x∈[2,6]上的值域,求导判断出单调性,进而求得值域,可得k的范围.‎ ‎(3)先判定函数的单调性,进而由x时,f(x)的值域为(1,+∞),根据函数的单调性得出n与a的方程,从而求出n、a的值.‎ ‎【详解】(1)∵f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(﹣x)=﹣f(x),‎ ‎∴logalogaloga,‎ ‎∴,‎ 即1﹣m2x2=1﹣x2对一切x∈D都成立,‎ ‎∴m2=1,m=±1,‎ 由于0,∴m=﹣1;‎ ‎(2)由(1)得,,∴‎ 即,令,‎ 则,‎ ‎∴在区间上单调递减,当时,;当时,;所以,.‎ ‎(3)由(1)得,,且 ‎∵在与上单调递减 ‎∵x∈(n,a﹣2),定义域D=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),‎ ‎①当n≥1时,则1≤n<a﹣2,即a>1+2,‎ ‎∴f(x)在(n,a﹣2)上为减函数,值域为(1,+∞),‎ ‎∴f(a﹣2)=1,‎ 即a,‎ ‎∴a3,或a1(不合题意,舍去),且n=1;‎ ‎②当n<1时,则(n,a﹣2)⊆(﹣∞,﹣1),‎ ‎∴n<a﹣21,‎ 即a<21,‎ 且f(x)在(n,a﹣2)上的值域是(1,+∞);‎ ‎∴f(a﹣2)=1,‎ 即a,‎ 解得a3(不合题意,舍去),或a1;‎ 此时n=﹣1(舍去);‎ 综上,a3,n=1.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域、值域、方程的根,不等式以及单调性与奇偶性的综合运用,涉及利用导数进行函数单调性的判定及应用,属中档题.‎ ‎ ‎