【数学】2018届一轮复习人教A版等差数列教案 11页

‎　‎ ‎1.理解等差数列的概念．‎ ‎2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．‎ ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ ‎4．了解等差数列与一次函数的关系．‎ 知识点一　等差数列的定义 ‎ 如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于__________，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d表示．‎ 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．‎ 答案 ‎2　同一个常数　公差 ‎1．判断正误 ‎(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)‎ ‎(2)等差数列的公差是相邻两项的差．(　　)‎ ‎(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ 知识点二　等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎ ‎1．若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________.‎ 若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝____________.‎ ‎2．等差数列的前n项和公式 Sn＝＝____________.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)‎ 答案 ‎1．a1＋(n－1)d　am＋(n－m)d ‎2．na1＋d ‎2．(必修⑤P39练习第5题改编)在等差数列{an}中，a2＝4，a3＋a7＝20，则a8＝(　　)‎ A．8 B．12‎ C．16 D．24‎ 解析：因为数列{an}是等差数列，由等差数列的性质得：a2＋a8＝a3＋a7，又a2＝4，a3＋a7＝20，所以a8＝a3＋a7－a2＝20－4＝16.故选C.‎ 答案：C ‎3．(2016·北京卷)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以S6＝‎6a1＋×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.‎ 答案：6‎ 热点一　　等差数列的基本运算 ‎ ‎【例1】　(1)(2016·新课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．99‎ C．98 D．97‎ ‎(2)(2016·江苏卷)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ ‎【解析】　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝‎9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋a＝a1＋(a1＋d)2＝－3，S5＝‎5a1＋10d＝10，解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)20‎ ‎【总结反思】‎ ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．‎ ‎(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.‎ ‎(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．2 D．－2‎ ‎(2)设等差数列{an}满足a5＝11，a12＝－3，其前n项和Sn的最大值为M，则lgM＝(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．2 D．－2‎ 解析：(1)由S3＝‎3a2＝6，得a2＝2，又a3＝0，所以公差d＝－2.‎ ‎(2)由a5＝11，a12＝－3，得公差d＝＝－2，所以an＝11＋(n－5)(－2)＝21－2n，所以a1＝19，故Sn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n＝－(n－10)2＋100≤100，所以M＝100，所以lgM＝2.‎ 答案：(1)D　(2)C 热点二 等差数列的判定与证明 ‎ ‎【例2】　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.‎ ‎(1)证明：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎【解】　(1)证明：－ ‎＝＝，∴bn＋1－bn＝，‎ ‎∴{bn}是等差数列．‎ ‎(2)由(1)及b1＝＝＝1.‎ 知bn＝n＋，‎ ‎∴an－1＝，∴an＝.‎ ‎【总结反思】‎ 证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.‎ 若数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，a3＝27.‎ ‎(1)求a1，a2的值；‎ ‎(2)记bn＝(an＋t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由a3＝27,27＝‎2a2＋23＋1，得a2＝9，由9＝‎2a1＋22＋1，得a1＝2.‎ ‎(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．则2b2＝b1＋b3，即2×(9＋t)＝(2＋t)＋(27＋t)，∴t＝1.∴bn＝(an＋1)．‎ ‎∴bn－bn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)‎ ‎＝(2an－1＋2n＋1＋1)－(an－1＋1)‎ ‎＝an－1＋1＋－an－1－＝1.‎ ‎∴存在一个实数t＝1，使数列{bn}为等差数列．‎ 热点三 等差数列的性质及应用 ‎ 考向1　通项的性质应用 ‎【例3】　(1)已知数列{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝2π，则cos(a3＋a5)等于(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎(2)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．‎ ‎【解析】　(1)因为a1＋a4＋a7＝‎3a4＝2π，‎ 所以a4＝.‎ 又a3＋a5＝‎2a4＝，所以cos(a3＋a5)＝cos＝－.故选B.‎ ‎(2)设该数列为{an}，首、末项为a1，an，‎ 当n为奇数2k＋1时，有a1＋a2k＋1＝2×1 010，∴a1＝5；‎ 当n为偶数2k时，有a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝2×1 010，∴a1＝5.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)5‎ 考向2　前n项和Sn的性质 ‎【例4】　(1)(2017·广东广州毕业班综合测试)设等差数列{an ‎}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝(　　)‎ A．52 B．78‎ C．104 D．208‎ ‎(2)(2017·河北衡水中学一调)两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. ‎(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A．63 B．45‎ C．36 D．27‎ ‎【解析】　(1)∵a2＋a7＋a12＝24，∴‎3a7＝24，即a7＝8.∴S13＝＝‎13a7＝104，故选C.‎ ‎(2)设这两个数列的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝＝＝＝3，故选B.‎ ‎(3)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．‎ 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，‎ 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B　(3)B ‎【总结反思】‎ ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；‎ ‎②S2n－1＝(2n－1)an.‎ ‎(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(　　)‎ A．18 B．99‎ C．198 D．297‎ ‎(2)(2017·常德一模)已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________.‎ 解析：(1)因为a3＋a9＝27－a6,‎2a6＝a3＋a9，所以‎3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝‎11a6＝99.‎ ‎(2)法1：设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.‎ 法2：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.‎ 答案：(1)B　(2)20‎ 热点四 等差数列前n项和的最值 ‎ ‎【例5】　已知在等差数列{an}中，a1＝31，Sn是它的前n项的和，S10＝S22.‎ ‎(1)求Sn；‎ ‎(2)这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．‎ ‎【解】　(1)∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，‎ S22＝a1＋a2＋…＋a22，‎ 又S10＝S22，∴a11＋a12＋…＋a22＝0，‎ 即＝0，‎ 即a11＋a22＝‎2a1＋31d＝0.‎ 又a1＝31，∴d＝－2.‎ ‎∴Sn＝na1＋d＝31n－n(n－1)‎ ‎＝32n－n2.‎ ‎(2)法1：由(1)知，‎ Sn＝32n－n2＝－(n－16)2＋256，‎ ‎∴当n＝16时，Sn有最大值256.‎ 法2：由(1)知，令 ‎(n∈N*)，解得≤n≤，‎ ‎∵n∈N*，∴n＝16时，Sn有最大值256.‎ ‎【总结反思】‎ 求等差数列前n项和的最值的方法 ‎(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．‎ ‎(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大.‎ 在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S15 B．S16‎ C．S15或S16 D．S17‎ 解析：解法1：∵a1＝29，S10＝S20，∴‎10a1＋d＝‎20a1＋d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.‎ ‎∴当n＝15时，Sn取得最大值．‎ 解法2：∵S10＝S20，∴a11＋a12＋…＋a20＝0，∴5(a15＋a16)＝0，又a1＝29>0，∴a15>0，a16<0，∴S15最大．‎ 答案：A ‎1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ‎2．等差数列的判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎3．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．‎