2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课件（全国通用） 83页

第二讲　 三角恒等变换与解三角形 【 必备知识 】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ( 1)sin(α±β)=_______________________. (2)cos(α±β)=______________________. (3)tan(α±β)=____________. sinαcosβ±cosαsinβ cosαcosβ ∓ sinαsinβ 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 ( 1)sin2α=____________. (2)cos2α=_____________=_________=_________. (3)tan2α=_________. 2sinαcosα cos 2 α-sin 2 α 2cos 2 α-1 1-2sin 2 α 3. 辅助角公式 asinx+bcosx= sin(x+ φ ), 其中 tan φ = . 4. 正弦定理及其变形 在△ ABC 中 , 　　 = 　　　 = 　　　 =2R(R 为△ ABC 的 外接圆半径 ). 变形 :a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA= , sinB= ,sinC= , a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. 5. 余弦定理及其变形 在△ ABC 中 ,a 2 =_____________; 变形 :b 2 +c 2 -a 2 =________,cosA=__________. 6. 三角形面积公式 S △ABC = absinC= bcsinA= acsinB. b 2 +c 2 -2bccosA 2bccosA 【 真题体验 】 1.(2016· 全国卷 Ⅲ) 若 tanα= , 则 cos 2 α+2sin2α = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A.cos 2 α+2sin2α= 2.(2016 · 全国卷 Ⅲ) 在△ ABC 中， B= ， BC 边上的高 等于 BC ，则 cosA=( 　　 ) 【 解析 】 选 C. 设△ ABC 中角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 则由题意得 S △ABC = a · a= acsinB. 所以 c= a. 由余弦定理得 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB=a 2 + a 2 -2×a× a × = a 2 . 所以 b= a. 所以 cosA= 3.(2017· 北京高考 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 角 α 与角 β 均以 Ox 为始边 , 它们的终边关于 y 轴对称 . 若 sinα= ,cos(α-β)=________. 【 解析 】 因为 sinβ=sinα,cosβ=-cosα, 所以 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =-cos 2 α+sin 2 α=2sin 2 α-1=- . 答案 : - 4.(2016· 全国卷 Ⅱ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 cosA= ,cosC= ,a=1, 则 b=________. 【 解析 】 因为 cosA= ,cosC= , 所以 sinA= ,sinC= , sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= , 由正弦定理得 答案 : 【 大数据易错点 】 排序 1: 忽略角的范围致误 . 在给值求角、给角求值以及给角求角的恒等变换题中 , 要注意题设中所给角的范围以及三角函数值本身限定的角的范围 , 否则都会产生增解或错误 . 排序 2: 忽视正、余弦定理的应用范畴致误 . 已知三边求三角 , 两边及其夹角用余弦定理有唯一解 , 已知两角一边用正弦定理有唯一解 , 已知两边及其一边对角用正弦定理同时要判断是否多解 , 此时若用余弦定理会导致解的取舍很困难 , 导致增解出错 . 排序 3: 忽视三角形的形状致误 . 应用正、余弦定理求解边或角的值或范围时 , 注意三角形形状如锐角三角形或钝角三角形对角的范围的影响 . 排序 4: 忽视解的实际意义 . 求解实际问题时 , 要注意解得的结果要与实际相吻合 . 热点考向一　三角恒等变换及求值 命题解读 : 重点考查利用三角恒等变换解决化简求值、求角问题 . 以选择题、填空题为主 , 有时解答题也有出现 . 【 典例 1】 (1)(2016· 全国卷 Ⅱ) 若 , 则 sin2α= 　 ( 　　 ) (2)(2017· 佛山二模 ) 已知 则 cos 2 世纪金榜导学号 92494043 ( 　　 ) 【 解题导引 】 (1) 根据三角恒等变换找出角之间的关系 , 利用二倍角公式求解 . (2) 首先根据两角和的正切公式求得 tanα, 然后利用降幂公式和诱导公式化简要求解的式子 , 再利用齐次方程来求出结果 . 【 规范解答 】 (1) 选 D. 因为 sin2α= (2) 选 B. 故 其中 sinαcosα= 故 【 规律方法 】 1. 化简求值的方法与思路 (1) 方法 :① 采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类 , 做到三角函数名称的统一 ; ② 通过三角恒等变换 , 化繁为简 , 便于化简求值 ; (2) 基本思路 : 找差异 , 化同名 ( 同角 ), 化简求值 . 2. 解决条件求值问题的三个关注点 (1) 分析已知角和未知角之间的关系 , 正确地用已知角来表示未知角 . (2) 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示 . (3) 求解三角函数中给值求角的问题时 , 要根据已知求这个角的某种三角函数值 , 然后结合角的取值范围 , 求出角的大小 . 【 变式 1+1】 1.( 新题预测 ) 已知 cos 2 α=sinα, 则 +cos 4 α = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 由 cos 2 α=sinα=1-sin 2 α 可得 sinα= , 所以 2.(2017· 全国卷 Ⅰ) 已知 α∈ ,tanα=2, 则 cos =________. 【 解析 】 由 tanα=2 得 sinα=2cosα, 又 sin 2 α+cos 2 α=1, 所以 cos 2 α= , 因为 α∈ , 所以 cosα= ,sinα= , 因为 所以 答案 : 【 加练备选 】 1.(2017· 淮北二模 ) 已知 α 满足 sinα= , 则 = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. = (cosα-sinα) · (cosα+sinα) = (cos 2 α-sin 2 α) = (1-2sin 2 α)= 2.(2017· 南昌二模 ) 若 θ 是第二象限角且 sinθ= , 则 = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由 θ 是第二象限角且 sinθ= 知 : cosθ= 所以 3. 设 α 为锐角 , 若 , 则 的值为 ________. 【 解析 】 因为 α 为锐角且 >0, 所以 所以 答案 : 热点考向二　正弦定理与余弦定理的应用 类型一 利用正、余弦定理进行边、角、面积的计算 【 典例 2】 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且满足 sin 2 +sinBsinC= . 　世纪金榜导学号 92494044 (1) 求角 A. (2) 若 a= ,b=2, 求△ ABC 的面积 . 【 题目拆解 】 高考大题综合性较强 , 求解时 , 把这类复杂问题拆解成若干个小问题来解决 , 可化难为易 , 得步骤分 . 学会了快速拆解题目 , 就能在解大题时得高分、得满分 . 解答本题第 (2) 问可拆解成两个小题 : ① 求边 c 或 sinC 的值 ; ② 求△ ABC 的面积 . 【 规范解答 】 (1) 由已知 , 化简得 整理得 cosBcosC-sinBsinC=- , 即 cos(B+C)=- , 由于 00, 所以 c=3, 故△ ABC 的面积为 S= bcsinA= 【 一题多解 】 由正弦定理 , 得 从而 sinB= , 又由 a>b, 知 A>B, 所以 cosB= , 故 sinC=sin(A+B)=sin =sinBcos 所以△ ABC 的面积为 S= absinC= 【 母题变式 】 1. 将问题 (2) 改为“设角 A 的平分线交 BC 于点 D,AD= BD=2, 求边 a.” 【 解析 】 由 (1) 知 A= , 所以∠ BAD= , 由正弦定理得 所以 ∠ CDA= 所以 AC=AD=2,DC=2AD · cos 所以 a=BD+DC= . 2. 将问题 (2) 改为“若 a= , 求 BC 边上的中线 AM 的最大值 .” 【 解析 】 因为 AM 是 BC 边上的中线 , 所以在△ ABM 中 , AM 2 + -2AM· ·cos ∠ AMB=c 2 ① , 在 △ ACM 中 ,AM 2 + -2AM · · cos∠AMC=b 2 ②, 又因为∠ AMB=π-∠AMC, 所以 cos∠AMB=-cos∠AMC, 即 cos∠AMB+cos∠AMC=0, 所以① +② 得 AM 2 = , 又 a= , 所以 b 2 +c 2 -3=bc≤ , 当且仅当 b=c 时取等号 , 所以 b 2 +c 2 ≤6, 所以 AM 2 = , 即 AM≤ , 所以 BC 边上的中线 AM 的最大值为 . 类型二 应用正、余弦定理解决实际问题 【 典例 3】 某学校的平面示意图为如 图五边形区域 ABCDE, 其中三角形区 域 ABE 为生活区 , 四边形区域 BCDE 为 教学区 ,AB,BC,CD,DE,EA,BE 为学校 的主要道路 ( 不考虑宽度 ). ∠BCD=∠CDE= ,∠BAE= ,DE=3BC=3CD= km. 　世纪金榜导学号 92494045 (1) 求道路 BE 的长度 . (2) 求生活区△ ABE 面积的最大值 . 【 解题导引 】 (1) 连接 BD, 在△ BCD 和△ BDE 中求解即可 . (2) 在△ ABE 中根据正弦定理 , 用某一角表示边 AB,AE, 并结合三角函数和角的范围可求出最值 . 【 规范解答 】 (1) 如图 , 连接 BD, 在△ BCD 中 , 由余弦定理得 :BD 2 = BC 2 +CD 2 -2BC · CDcos∠BCD= , 所以 BD= , 因为 BC=CD, 所以 ∠ CDB=∠CBD= 又∠ CDE= , 所以∠ BDE= . 在 Rt△BDE 中 ,BE= (2) 设∠ ABE=α, 因为∠ BAE= , 所以∠ AEB= -α. 在△ ABE 中 , 由正弦定理 , 得 所以 AB= 所以 S △ABE = |AB||AE|sin 因为 0<α< , 所以当 2α- , 即 α= 时 ,S △ABE 取 得最大值为 , 即生活区△ ABE 面积的最大值为 . 【 规律方法 】 1. 正、余弦定理的适用条件 (1)“ 已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理 . (2)“ 已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理 . 2. 解三角形应用题的两种情形 (1) 实际问题经抽象概括后 , 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 , 可用正弦定理或余弦定理求解 . (2) 实际问题经抽象概括后 , 已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形 , 这时需作出这些三角形 , 先解够条件的三角形 , 然后逐步求解其他三角形 . (3) 设出未知量 , 从几个三角形中列出方程 ( 组 ), 解方程 ( 组 ) 得出所要求的解 . (4) 涉及四边形等非三角形图形时 , 可以作辅助线 , 将图形分割成三角形后求解 . 【 变式训练 】 如图 , 有一个码头 P 和三个岛屿 A,B,C,PC=30 n mile, PB=90n mile,AB=30n mile,∠PCB=120°,∠ABC=90°. (1) 求 B,C 两个岛屿间的距离 . (2) 某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩 , 然后返回码头 P. 问该游船应按何路线航行 , 才能使得总航程最短 ? 求出最短航程 . 【 解析 】 (1) 在△ PBC 中 ,PB=90,PC=30 ,∠PCB=120°, 由正弦定理得 , 解得 sin∠PBC= , 又因为在△ PBC 中 ,0°<∠PBC<60°, 所以∠ PBC=30°, 所以∠ BPC=30°, 从而 BC=PC=30 , 即 B,C 两个岛屿间的距离为 30 n mile. (2) 因为∠ ABC=90°,∠PBC=30°, 所以∠ PBA=∠ABC-∠PBC=90°-30°=60°, 在△ PAB 中 ,PB=90,AB=30, 由余弦定理得 , PA= 根据 “ 两点之间线段最短 ” 可知 , 最短航线是 “ P→A→B→C→P ” 或 “ P→C→B→A→P ” , 其航程为 S=PA+AB+BC+CP=30 +30+30 +30 =30+ 60 +30 , 所以应按航线 “ P→A→B→C→P ” 或 “ P→C→B→A→P ” 航行 , 其航程为 n mile. 【 加练备选 】 要测量电视塔 AB 的高度 , 在 C 点测得塔 顶 A 的仰角是 45°, 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°, 并测得水平面上的∠ BCD=120°,CD=40m, 求电视塔的高度 . 【 解析 】 如图 , 设电视塔 AB 高为 xm, 则在 Rt△ABC 中 , 由∠ ACB=45°, 得 BC=x. 在 Rt△ADB 中 ,∠ADB=30°, 则 BD= x. 在△ BDC 中 , 由余弦定理得 , BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC · CD · cos120°, 即 ( x) 2 =x 2 +40 2 -2 · x · 40 · cos120°, 解得 x=40, 所以电视塔高为 40m. 热点考向三　与解三角形有关的交汇问题 命题解读 : 以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具 , 常与三角函数、数列、向量、不等式等交汇命题 . 三种题型均可能出现 . 【 典例 4】 (1)(2017· 河南百校联盟 ) 已知△ ABC 的 外接圆半径为 R, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 asinBcosC+ csinC= , 则△ ABC 面积的最大值为 　 ( 　　 ) (2)(2017· 江淮十校三模 ) 已知向量 m =(sinx,-1), 向 量 n = 函数 f(x)= · m . 世纪金榜导学号 92494046 ① 求 f(x) 的最小正周期 T; ② 已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边 ,A 为锐角 ,a=2 ,c=4, 且 f(x) 恰是 f(x) 在 上的最大值 , 求 A 和 b 的值 . 【 解题导引 】 (1) 先用正弦定理把 R 和正弦转化成边 , 然后用余弦定理求出边角关系 , 结合面积公式和不等 式求解 . (2)① 结合向量数量积化成三角形式 , 再用辅助角公式 化解即可 .② 根据 f(A) 恰是 f(x) 在 上的最大值求 出 A, 然后利用余弦定理求出 b. 【 规范解答 】 (1) 选 C. 依题意 , asinBcosC+ csinC= , 故 abcosC+ c 2 =4, 故 ab · c 2 =4, 整理得 a 2 +b 2 +2c 2 =8, 结合余弦定理可知 8-3c 2 =2abcosC①; 记△ ABC 的面积为 S, 则 4S=2absinC②, 将①②平方相加可得 (8-3c 2 ) 2 +16S 2 =4a 2 b 2 ≤ 故 16S 2 ≤c 2 (16-5c 2 )≤ , 即 S 2 ≤ ,S≤ , 当且仅当 c 2 = 时等号成立 . (2)①f(x)= · m =sin 2 x+1+ sinxcosx+ ② 由①知 :f(x)=sin +2, 所以当 x∈ 时 , 当 2x- 时 f(x) 取得最大值 3, 此时 x= . 由 f(A)=3 得 A= . 由余弦定理 , 得 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA, 所以 12=b 2 +16-2×4b× , 即 b 2 -4b+4=0, 则 b=2. 【 规律方法 】 与解三角形有关的交汇问题的关注点 (1) 根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化 . (2) 结合内角和定理、面积公式等 , 灵活运用三角恒等变换公式 . 【 变式训练 】 已知向量 a = b =(-sinx, sinx), f(x)= a · b . 　世纪金榜导学号 92494047 (1) 求函数 f(x) 的最小正周期及 f(x) 的最大值 . (2) 在锐角△ ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 =1,a=2 , 求△ ABC 面积的最大值 . 【 解析 】 (1) 易得 a =(-sinx,cosx), 则 f(x)= a · b =sin 2 x+ sinxcosx 所以 f(x) 的最小正周期 T= =π, 当 2x- +2kπ,k∈Z 时 , 即 x= +kπ(k∈Z) 时 ,f(x) 取最大值是 . 因为 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA, 所以 12=b 2 +c 2 -bc, 所以 b 2 +c 2 =bc+12≥2bc, 所以 bc≤12( 当且仅当 b=c 时等号成立 ), 所以 S= 所以当△ ABC 为等边三角形时面积取最大值是 3 .