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- 2021-06-24 发布
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上海市虹口区2020届高三一模数学试卷
一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)
1.设全集U=R,若A={x|1},则∁UA=_____.
【答案】{x|0≤x≤1}
【解析】
【分析】
先解得不等式,再根据补集的定义求解即可
【详解】全集U=R,若A={x|1},
所以,整理得,解得x>1或x<0,
所以∁UA={x|0≤x≤1}
故答案为:{x|0≤x≤1}
【点睛】本题考查解分式不等式,考查补集的定义
2.设复数 (i为虚数单位),则=_______
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,进而可得结果.
【详解】因为,
所以.
故答案为.
【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.
3.设x∈R+,则x最小值_____.
【答案】
【解析】
【分析】
整理x,再利用均值不等式求解即可
【详解】设x∈R+ ,则x1,
当且仅当(x+1)2=2,即x=时,等号成立
故答案为:
【点睛】本题考查利用均值不等式求最值,属于基础题
4.若0,则锐角x=_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得2cos2x﹣sin2x=0,即2cos2x﹣2sinxcosx=0,则sinx=cosx,可求出
【详解】由于0,所以2cos2x﹣sin2x=0,即2cos2x﹣2sinxcosx=0,
由于x为锐角,
所以sinx=cosx解得x
故答案为:
【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查已知三角函数关系求角,考查行列式
5.设等差数列{an}的前n项和Sn,若a2+a7=12,S4=8,则an=_____.
【答案】2n﹣3
【解析】
【分析】
利用条件解得,即可求出通项公式
【详解】设首项为a1,公差为d等差数列{an}的前n项和Sn,
若a2+a7=12,S4=8,
则
解得
所以an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3
故答案为: 2n﹣3
【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查运算能力
6.抛物线x2=6y的焦点到直线3x+4y﹣1=0的距离为_____.
【答案】1
【解析】
【分析】
由题可得抛物线焦点为(0,),根据点到直线距离公式求解即可
【详解】抛物线x2=6y的焦点为(0,),
所以点(0,)到直线3x+4y﹣1=0的距离d
故答案为:1
【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查点到直线距离的应用,考查运算能力
7.设(2x﹣1)(x﹣1)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,则a5=_____.
【答案】36
【解析】
【分析】
先得到(x﹣1)6二项式的展开式,分别找到展开式中含x4的系数和x5的系数,再与2x﹣1结合,即可求出a5
【详解】利用(x﹣1)6二项式的展开式:,
令r=2时,得(x﹣1)6展开式中含x4的系数,即,
令r=1时,得(x﹣1)6展开式含x5的系数,即
所以(2x﹣1)(x﹣1)6展开式中x5的系数为2×15+(﹣1)×(﹣6)=36
故答案为:36
【点睛】本题考查二项式的展开式,考查求展开式系数,考查运算能力
8.设f﹣1(x)为函数f(x)=log2(4x﹣1)的反函数,则当f(x)=2f﹣1(x)时,x的值为_____.
【答案】1
【解析】
【分析】
由f(x)=2f﹣1(x)可知,当f(x)过(x,y)时, f﹣1(x)过(x,),则根据反函数的性质, f(x)过(,x),代入解析式求解即可
【详解】f﹣1(x)为函数f(x)=log2(4x﹣1)的反函数,
设y=f(x)=2f﹣1(x),函数过(x,y),反函数过(x,),
所以f(x)同时过(x,y),(,x),
代入,得,所以x=1
故答案为:1
【点睛】本题考查反函数的应用,考查对数的运算,考查运算能力
9.已知m、n是平面α外的两条不同直线,给出三个论断:①m⊥n;②n∥α;③m⊥α;以其中两个论断作为条件,写出一个正确的命题(论断用序号表示):_____.
【答案】②③①
【解析】
【分析】
可假设n∥α,m⊥α,求证m⊥n即可
【详解】已知m、n是平面α外的两条不同直线,给出三个论断:①m⊥n;②n∥α;③m⊥α;
当m⊥α时,m必垂直于平面α内的任意一条直线,由于n∥α,
所以m⊥n,
如图所示
故答案为:②③①
【点睛】本题考查线面垂直的应用,考查线线垂直的判定,属于基础题
10.如图所示,两块斜边长均等于的直角三角板拼在一起,则•_____.
【答案】
【解析】
【分析】
将图形放入平面直角坐标系中,分别求得点的坐标,进而求解•的值
【详解】以O为原点,OA、OB分别为x、y轴,建立如图所示平面直角坐标系,
由题,,所以,,则:
O(0,0),A(1,0),B(0,1),,,
所以,,
所以
故答案为:
【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查求数量积,考查运算能力
11.如图,F1、F2分别是双曲线C:y2=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A、B两点,若,•0,则双曲线C的焦距|F1F2|为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由渐近线方程设A(m,)(m>0),根据可得B为(2m﹣c,),代入渐近线方程可得m,由•0,代入可得,从而求出焦距
【详解】由题,渐近线方程为,
设A(m,)(m>0),F2(c,0),,
因为,所以为的中点,由中点坐标公式可得B为(2m﹣c,),
代入渐近线方程y,得,解得m,
因为,,
由•0,则,
将m代入,得,解得,
所以
故答案为:
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的应用,考查双曲线焦距,考查运算能力
12.已知函数f(x)的定义域为R,当x∈(0,2]时,f(x)=x(2﹣x),且对任意的x∈R,均有f(x+2)=2f(x),若不等式f(x)在x∈(﹣∞,a]上恒成立,则实数a的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由,即可得,则,因为当时,值域为,则当时,值域为,则当,,由恒成立进而求得即可
【详解】由题,,令,则,则,即,令,则,则,以此类推,则,设,则,
因为当时,易得值域为,则当时,值域为.
所以,令,则,,
因为在恒成立,所以
故答案为:
【点睛】本题考查换元法对值域和解析式的应用,考查转化思想,考查二次函数的图象与性质的应用
二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)
13.已知,则条件“”是条件“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先将题干中的不等式的解求出,再利用充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】由得,由得,根据充分条件、必要条件的概念可知是的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的概念的应用,属基础题.
14.已知函数f(x)sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数,且在[0,]上为增函数,则θ的一个值可以是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简可得,根据偶函数可解得,因为周期为且在上单调递增,则是一个完整的单调增区间,可得,即得,对赋值,即可得到选项
【详解】由题,,因为是偶函数,所以,
即,此时,
因为在上单调递增,是一个完整单调增区间,则,
即,所以,即,
所以当时,
故选:D
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性,考查正弦型函数的单调性的应用,考查运算能力
15.已知函数f(x)=|x+2|,g(x)=|x+t|,定义函数F(x),若对任意的x∈R,都有F(x)=F(2﹣x)成立,则t的取值为( )
A. ﹣4 B. ﹣2 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用可得关于对称,因为关于对称,则推测关于对称,再将代回检验即可
【详解】由可得关于对称,
因为,则关于对称,所以关于对称,即,
此时符合条件,故符合题意,
故选:A
【点睛】本题考查函数的对称性的应用,考查数形结合思想
16.正四面体ABCD的体积为1,O为其中心,正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题分析,是正四面体的外接球球心,可得为的底面的高,即到底面的距离为高的,因为两个正四面体关于对称,则两个对称水平面之间的距离为底面高的,即顶点到水平面的距离为底面高的,进而得到小正四面体的体积为正四面体的,对应四个顶点由四个小正四面体,进而求得公共部分的体积
【详解】若将正四面体放在一个水平面上,易知其中心到点的距离是到底面距离的,所以反射的对称面是距离为到的底面距离的水平,因此,它割点所在的小正四面体时原正四面体的,同理,对三点处所切割的正四面体也是原正四面体的,则可得到两个正四面体的公共部分体积为,
故选:B
【点睛】本题考查外接球的应用,考查空间想象能力,考查运算能力
三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)
17.在△ABC中,a=8,b=6,cosA,求:
(1)角B;
(2)BC边上的高.
【答案】(1)B(2)4
【解析】
【分析】
(1)由同角的三角函数关系可得sinA,再根据正弦定理解得sinB,即可求角;
(2)先可求得,即可求得面积,进而求得BC边上的高
【详解】(1)在△ABC中,a=8,b=6,cosA,所以角A为钝角,由sin2A+cos2A=1,解得sinA,
由正弦定理可得,解得sinB,所以B
(2)由(1)可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
所以,
由于,解得h=4,
故BC边上的高为4
【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力
18.如图,在圆柱OO1中,它的轴截面ABB1A1是一个边长为2的正方形,点C为棱BB1的中点,点C1为弧A1B1的中点,求:
(1)异面直线OC与A1C1所成角的大小;
(2)直线CC1与圆柱OO1底面所成角的大小;
(3)三棱锥C1﹣OA1C的体积.
【答案】(1)(2)arcsin(3)
【解析】
【分析】
(1)作OD∥O1C1,以O为原点,OD为x轴,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系,求得和,进而求解即可;
(2)由题得到及底面法向量,进而求解即可;
(3)先求出三角形的面积,且棱锥中面上的高为半径1,进而求得体积即可
【详解】(1)作OD∥O1C1,以O为原点,OD为x轴,OB为y轴,OO1为z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示:
由题,则O(0,0,0),C(0,1,1),A1(0,﹣1,2),C1(1,0,2),
则,,
异面直线OC和A1C1的夹角为
所以异面直线OC与A1C1所成角的大小为
(2)由(1),,底面的法向量为,
所以线面的夹角为,
所以直线CC1与底面的夹角为arcsin
(3)锥体的体积,
在△OA1C中,,,,则中边上的高,
所以等腰三角形的面积为,
棱锥的高即为C1到底面OA1C的距离r=1,
所以三棱锥C1﹣OA1C的体积为
【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线夹角,求线面角,考查棱锥体积,考查运算能力
19.某企业接到生产3000台某产品的三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件),已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产部件的人数为,分别写出完成三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【答案】(1);(2)当时完成订单任务的时间最短,此时生产三种部件的人数分别为44,88,68.
【解析】
【详解】(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为由题设有
期中均为1到200之间的正整数.
(2)完成订单任务的时间为其定义域为
易知,为减函数,为增函数.
注意到于是
(i)当时,此时
,
由函数的单调性知,当时,取得最小值,解得
.由于,
而.
故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为.
(ii)当时,由于为正整数,故,此时,易知为增函数,则.
由函数的单调性知,
当时,取得最小值,解得.
由于,而,
此时完成订单任务的最短时间大于.
(iii)当时,由于为正整数,故,此时由函数的单调性知,
当时取得最小值,解得.
类似(i)的讨论.此时完成订单任务的最短时间为,大于.
综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产三种部件的人数
分别为44,88,68.
【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想
20.已知两点F1(,0)、F2(,0),设圆O:x2+y2=4与x轴交于A、B两点,且动点P满足:以线段F2P为直径的圆与圆O相内切,如图所示,记动点P的轨迹为Γ,过点F2与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点.
(1)求轨迹Γ的方程;
(2)设线段MN的中点为Q,直线OQ与直线x相交于点R,求证:⊥l;
(3)记△ABM、△ABN面积分别为S1、S2,求|S1﹣S2|的最大值及此时直线l的方程.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)|S1﹣S2|的最大值为,此时直线方程为
【解析】
【分析】
(1)设|PF2|的中点为C,切点为T,由图可知OC为△F1PF2的中位线,可得,则可判断轨迹为椭圆,进而求出方程即可;
(2)联立直线与轨迹Γ,进而求得中点的坐标,则可解得直线,从而求得,再求出直线的方向向量,利用数量积证明垂直即可;
(3)分析可得,将代入,可得到关于的函数关系,求得最值时的即可
【详解】(1)依题意,圆O:x2+y2=4的半径为2,设|PF2|的中点为C,切点为T,由图可知OC为△F1PF2的中位线,
所以,
所以点P的轨迹为椭圆,所以a=2,
因为F1(,0)、F2(,0),
所以c,b=1,
所以轨迹Γ的方程为
(2)证明:设直线为:y=k(x)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
所以
即,
所以,,
则点Q的横坐标,
点Q的纵坐标,
所以直线OQ的斜率为,则直线OQ为 ,
因为直线OQ与直线x相交于点R,所以R(),
由,直线l的方向向量(1,k),
所以,即:⊥l
(3)在(2)的基础上设点M和N在x轴的上下两侧,
所以,,
所以,
由
所以,代入,
所以4,
当且仅当4k,即k时取等,此时|S1﹣S2|的最大值为,
则直线方程为
【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程,考查向量法证明线线垂直,考查图形中的最值问题,考查数形结合思想和运算能力,灵活利用图形中的中点是解题切入点,将图形问题转化为函数问题是解题关键
21.在数列{an}中,a1=0,且对任意的m∈N*,a2m﹣1、a2m、a2m+1构成以2m为公差的等差数列.
(1)求证:a4、a5、a6成等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Sn,试问Sn﹣2n是否存在极限?若存在,求出其值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)答案不唯一,具体见解析(3)存在,极限为
【解析】
【分析】
(1)由a2m﹣1、a2m、a2m+1为以2m为公差的等差数列,根据等差数列的性质,分别令,即可求解;
(2)由题观察可得a2m+1﹣a2m﹣1=4m,利用累加法可得,再分别讨论为奇数和偶数的情况,即得所求;
(3)由(2),按照为奇数和偶数情况分别求和,即可求得极限值
【详解】(1)证明:令m=1时,a1,a2,a3构成以2为公差的等差数列,因为a1=0,所以a2=2,a3=4;
令m=2时,a3,a4,a5构成以4为公差的等差数列,所以a4=8,a5=12;
令m=3时,a5,a6,a7构成以6为公差的等差数列,所以a6=18,a7=24;
由,得到a4,a5,a6成等比数列
(2)解:由(1)得数列{an}的前几项为:0,2,4,8,12,18,24,
所以
所以a2m+1﹣a2m﹣1=4m,
由累加法得到2m(m﹣1),
当n为奇数时,令2m﹣1=n,所以m,所以;
当n为偶数时,令2m=n,所以m,所以
(3)解:存在,
由(2),当n为奇数时,;
当n为偶数时,;
所以
【点睛】本题考查等比数列的证明,考查求数列的通项公式,考查数列的极限,把数列的项按照奇数项和偶数项讨论是解决此题的关键