山西省长治市第二中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 18页

www.ks5u.com ‎2018—2019学年第二学期高一期末考试数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在△ABC中，，,．值为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理列方程求解。‎ ‎【详解】由正弦定理可得：，‎ 所以，解得：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于基础题。‎ ‎2.不等式的解集是 A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把原不等式化简为，即可求解不等式的解集.‎ ‎【详解】由不等式即，即，得，‎ 则不等式的解集为，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中把不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用等比数列的性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.‎ ‎4.若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，依次分析选项：‎ 对于A、，时，有成立，故A错误；‎ 对于B、，时，有成立，故B错误；‎ 对于C、，时，有成立，故C错误；‎ 对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．‎ ‎5.已知数列为等差数列，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得a7=，而tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．‎ ‎【详解】∵数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，‎ ‎∴a1+a7+a13=3a7=4π，解得a7=，‎ ‎∴tan（a2+a12）=tan（2a7）‎ ‎=tan=tan（3π﹣）=﹣tan=﹣‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及三角函数中特殊角的正切函数值的运算，属基础题．‎ ‎6.已知满足条件，则目标函数的最小值为 A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出不等式区域如图所示：‎ 求目标函数的最小值等价于求直线的最小纵截距.‎ 平移直线经过点A(-2,0)时最小为-2.‎ 故选C.‎ ‎7.公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ，则等于 （ ）‎ A. 18 B. 24 C. 60 D. 90‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.‎ ‎【详解】因为是与的等比中项，‎ 所以，‎ 即，‎ 整理得，‎ 又因为，所以，故，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题，‎ 涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.‎ ‎8.若关于x的一元二次不等式的解集为R，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，得出，再分析不等式开口和判别式，可得结果.‎ ‎【详解】由题，因为为一元二次不等式，所以 ‎ 又因为的解集为R 所以 ‎ 故选B ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，利用二次函数图形解题是关键，属于基础题.‎ ‎9.在中，边，，分别是角，，的对边，且满足，若，则 的值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得的值，由可得的值 ‎【详解】在中，‎ 由正弦定理可得 化为：‎ 即 在中，，故 ‎,‎ 可得，即 故选 ‎【点睛】本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。‎ ‎10.若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为( )‎ A. -4 B. -3 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦达定理确定 ，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值。‎ ‎【详解】由韦达定理得： ， ，所以 ， ‎ 由题意 这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间 所以，即 因为 这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在 的中间 假设 ，则 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且 ，，则2必为等比中项，有 ‎。‎ ‎11.在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为 A. B. 3 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得外接圆半径，然后结合正弦定理得到关于∠A的三角函数式，结合辅助角公式求解AC＋BC的最大值即可.‎ ‎【详解】△ABC中,AB=2,C=，‎ 则：，由正弦定理可得：‎ ‎，‎ 由于，，所以，‎ 所以当时，AC＋BC取得最大值.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，辅助角公式，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎12.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.‎ 详解：由题意,，‎ 则，很明显 n⩾2时,，‎ 两式作差可得：，‎ 则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，‎ 则an−kn=(2−k)n+2，‎ 则数列{an−kn}为等差数列，‎ 故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：‎ a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；‎ 即，解得：.‎ 实数的取值范围为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 二、填空题.‎ ‎13.在中，，，则角_____.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以通过解三角形面积公式得出的值，再根据三角形内角的取值范围得出角的值。‎ ‎【详解】由解三角形面积公式可得：‎ 即 因为，‎ 所以或 ‎【点睛】在解三角形过程中，要注意求出来的角的值可能有多种情况。‎ ‎14.记为等差数列的前项和，若，则___________.‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.‎ ‎【详解】得 ‎【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键。‎ ‎15.已知正实数满足，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ ‎【详解】解：∵正实数满足，‎ ‎∴（2a+b），当且仅当时取等号．‎ ‎∴的最小值为 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎16.已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ , 即 ‎ 为首项为 ，公差为 等差数列， ， ， ，由 得 ，因为 或 时， 有最大值 ， ，即 的最小值为，故答案为 .‎ ‎【方法点晴】裂项相消法是最难把握 求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②‎ ‎；③；‎ ‎④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ 三、解答题。‎ ‎17.已知等差数列满足．‎ ‎（1） 求的通项公式；‎ ‎（2） 设等比数列满足,求前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.‎ ‎【详解】解：（1）设的公差为，则由得,‎ 故的通项公式，即．‎ ‎（2）由（1）得．‎ 设的公比为，则，从而，‎ 故的前项和．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.‎ ‎18.在锐角中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B的度数；（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，将b，c及cosA的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】(1),‎ 由正弦定理得，所以，‎ 因为三角形ABC为锐角三角形，所以.‎ ‎（2）由余弦定理得，‎ ‎，所以 所以.‎ ‎19.已知数列的前项和为，且2，，成等差数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和；‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用 求解；‎ ‎（2）由（1）知，，差比数列，利用错位相减法求其前n项和.‎ ‎【详解】（1）由题意知成等差数列，所以 ① ,‎ 可得 ②‎ ‎①-②得，又，，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎.‎ ‎（2）由（1）可得，用错位相减法得：‎ ‎　①‎ ‎　②‎ ‎①-②可得.‎ ‎【点睛】已知 与的关系式利用公式求解 错位相减法求等差乘等比数列的前n项和。‎ ‎20. 在中，内角所对的边分别为.已知，.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值. ‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值 ‎(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，‎ 又由，得，即.‎ 又因，得到，.‎ 由余弦定理可得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，‎ 从而，.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.‎ ‎21.已知数列满足，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，构造是以为首项，为公比等比数列，利用等比数列的通项公式可得结果；‎ ‎（2）由（1）得，利用裂项相消可求.‎ ‎【详解】（1）由得：，即，且 数列是以为首项，为公比的等比数列 ‎ 数列的通项公式为： ‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎【点睛】关系式可构造为，中档题。‎ ‎22.设数列,，已知，，‎ ‎（1)求数列的通项公式；‎ ‎（2)设为数列的前项和,对任意.‎ ‎（i）求证：；‎ ‎（ii)若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2) （i）见证明；（ii)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1)计算可知数列为等比数列；‎ ‎（2）（i）要证即证{}恒为0；‎ ‎（ii)由前两问求出再求出，带入式子，再解不等式.‎ ‎【详解】(1)，‎ 又，‎ 是以2为首项，为公比的等比数列，‎ ‎；‎ ‎（2）（i），‎ 又恒成立，即 ‎（ii)由,，‎ 两式相加即得：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 当n为奇数时，随n的增大而递增，且；‎ 当n为偶数时，随n的增大而递减，且；‎ 的最大值为，的最小值为2，‎ 解得，所以实数p的取值范围为．‎ ‎【点睛】本类试题，注意看问题，一般情况，问题都会指明解题方向 ‎ ‎